Exercicis

1. Feu, en una mateixa figura, un triangle rectangle, un triangle isòsceles i un triangle equilàter. Vetlleu que tinguin els punts genèrics que s’indiquen al text de la pràctica 1, i que mantinguin les seves relacions constitutives quan aquests punts es desplacin.
Deseu la figura com XXXX_M31.FIG.
 

2. Obriu la figura TRIRECT. Heu de construir quatre triangles rectangles diferents en una mateixa figura aprofitant cada cop dos dels elements que teniu dibuixats al marge esquerre:
- el catet BA i el catet CA  (color negre)
- el catet BA i la hipotenusa BC (color verd)
- el catet BA i l’angle B   (color vermell)
- la hipotenusa BC i l’angle B.  (color blau)
Els triangles han d’estar físicament separats dels elements donats, i si algun d’aquests elements es modifica, els triangles que l’utilitzen han de variar d’acord amb el canvi.
Haureu de fer servir abundosament  el compàs i les macros de transport.
Deseu la figura com XXXX_M32.FIG.
 

3. Obriu la figura TRIQUAL. Heu de construir quatre triangles diferents en una mateixa figura aprofitant cada cop tres dels elements que teniu dibuixats al marge esquerre:
- els tres costats BA, CA i BC  (color negre)
- els costats BA i BC, i l’angle B (color verd)
- el costat BC i els angles B i C (color vermell)
- els costats BA i BC i l’angle C (color blau)
Els triangles han d’estar físicament separats dels elements donats, i si algun d’aquests elements es modifica, els triangles que l’utilitzen han de variar d’acord amb el canvi.
Haureu de fer servir abundosament  el compàs i les macros de transport.
Deseu la figura com XXXX_M33.FIG.

 
4. Quins dels quatre punts *centre poden ser exteriors al triangle, i en quins triangles passa això? Quins poden estar sobre un costat o en un vèrtex, i en quins casos?  ¿És possible determinar una zona del triangle, per criteris depenents només d’aquest, de la qual no poden sortir aquests punts quan són interiors?
Expliqueu per escrit les vostres conclusions en un document de text XXXX_M3.
 

5. Dibuixeu el baricentre, l’ortocentre, el circumcentre i l’incentre d’un triangle i també els del seu triangle medial. Són vuit punts diferents? Expliqueu les vostres conclusions en XXXX_M3.
 

6. Obriu la figura PUNTNOT. Hi veureu un triangle i cinc punts: el circumcentre, el baricentre, l’ortocentre, l’incentre i el punt de Spieker. Investigueu quin és cadascun. Feu-ho de la forma més “econòmica” possible”!
Analitzeu en profunditat la posició relativa dels cinc punts i expliqueu les vostres conclusions en XXXX_M3.
 

7. Creeu una macroconstrucció nova que, donats els tres vèrtexs d’un triangle  i una recta que passi per un vèrtex, us dibuixi la recta isogonal.
Deseu-la com XXXX_ISOGONAL.MAC
 

8. Estudieu les isogonals de les mitjanes i de les altures, i els punts conjugats isogonals del baricentre, de l’ortocentre i del circumcentre. Expliqueu les vostres conclusions en XXXX_M3.
Atenció: és clar que les mediatrius no són cevianes, però això no us ha d'impedir calcular el punt conjugat isogonal del circumcentre.
 

9. Estudieu
a) quines són les bisectrius del triangle òrtic?
b) quins són els excentres del triangle òrtic?
c) què podeu dir dels punts d’intersecció de cada costat del triangle òrtic i el costat “oposat” del triangle original? us recorda alguna cosa?
Expliqueu les vostres conclusions en XXXX_M3.
 

10. Estudieu
a) quina relació hi ha entre el radi de la circumferència dels nou punts i el de la circumferència circumscrita?
b) quina és la posició del centre de la circumferència dels nou punts amb relació als punts notables del triangle?
c) quina relació hi ha entre la circumferència dels nou punts i la circumferència inscrita? i amb les circumferències exinscrites?
Expliqueu les vostres conclusions en XXXX_M3.
 

11. Feu, en una mateixa figura, un paral·lelogram general, un rectangle, un quadrat i un rombe. Vetlleu que tinguin els punts genèrics que s’indiquen al text de la pràctica 1, i que mantinguin les seves relacions constitutives quan aquests punts es desplacin.
Deseu la figura com XXXX_M34.FIG.
 

12. Feu, en una mateixa figura, un trapezi general, un trapezi rectangle, un trapezi isòsceles, un estel general i un estel rectangle. Vetlleu que tinguin tants punts genèrics com sigui possible, i que mantinguin les seves relacions constitutives quan aquests punts es desplacin.
Deseu la figura com XXXX_M35.FIG.
 

13. Poseu SÍ o NO en el quadre següent segons si es compleixen o no les propietats enunciades a la primera columna:
 

les diagonals d’un	paral·lelogram	rectangle	quadrat	rombe	trapezi isòsceles	trapezi rectangle	estel
són d’igual longitud
són perpendiculars
es tallen al seu punt mitjà

Investigueu si les tres propietats de les diagonals que heu anotat en aquest quadre caracteritzen el tipus de quadrilàter.
És a dir: les diagonals d’un quadrat són d’igual longitud, perpendiculars i es tallen al seu punt mitjà. Hi ha quadrilàters no quadrats que acompleixin això? El mateix per a cada tipus.
 

14. Quatre punts concíclics determinen, tres a tres, quatre triangles. Investigueu la posició dels baricentres, ortocentres, circumcentres i incentres d’aquests quatre triangles.
Prepareu les figures que creieu necessàries i expliqueu a part les vostres conclusions. Anomeneu les figures com XXXX_M36, 37, 38 i 39
 

15. Investigant el procés de formació de la figura BICENTRIC.FIG redacteu les instruccions per construir un quadrilàter bicèntric ABCD coneguts A, B i C.
Proveu que el vostre mètode funciona correctament, però no us preocupeu si falla quan A, B i C deixen d'estar en una mateixa semicircumferència.
Escriviu els passos al fitxer XXXX_M3