Ascensió, caiguda i possible transfiguració de la geometria del triangle

1. Introducció

 Què ha passat? Aquest tema s’ha integrat en algun altre, o ha mort completament?

 Què és la geometria del triangle? Segons els autors de l’Encyklopädie, no és fàcil definir-la estrictament, però sembla referir-se a això: en un triangle arbitrari hi ha punts, línies i corbes que tenen propietats remarcables respecte del triangle. Per exemple, el baricentre, l’ortocentre, l’incentre i el circumcentre. Aquests quatre punts són coneguts des de l’antiguitat.

 El 1803, Klügel els va batejar com "els quatre punts notables del triangle" (merkwürdige Punkte). Durant els anys següents van aflorar molts més elements notables, i Berkhan i Meyer van renunciar a nomenar-los tots. En alguna publicació s’han llistat més de 100. I no tan sols van tenir noms propis, sinó fins i tot es van escriure històries de molts d’ells.

 Berkhan i Meyer van proposar definir la geometria del triangle com "l’estudi dels punts, rectes, circumferències i còniques notables associats a un triangle"; tot deixant a l’opinió subjectiva de cada matemàtic quins eren mereixedors de la notorietat.

 En el famós Programa d’Erlangen, el mateix Klein en va donar una definició més refinada: la geometria del triangle és la teoria dels invariants de cinc punts pel grup projectiu. Aquesta definició és més concreta, però no transmet la flaire tradicional del tema.

 La consideració de la geometria del triangle com un camp autònom de les matemàtiques comença cap a 1870 per obra d’Emile Lemoine (...) Es va arribar a escriure un llibre amb 566 fórmules mètriques que relacionaven els elements notables del triangle!. Alguns autors eufòrics pensaven la geometria del triangle com la culminació definitiva de l’obra d’Euclides, tal com el Nou Testament era la culminació de l’Antic.

 (...)

 Com es van descobrir els teoremes de la geometria del triangle? No és corrent trobar a la literatura matemàtica gaires pistes sobre el camí per arribar als resultats. Possiblement, com a bona part de les matemàtiques, van sorgir de moltes hores de manipulació. De manipulació sintètica, seguint els mètodes d’Euclides; però també emprant l’àlgebra, la trigonometria i els diferents sistemes de coordenades.

 Però també hi ha hagut, sens dubte, un altre tipus de manipulació. Les figures de la geometria del triangle són fàcils de dibuixar amb precisió amb regle i compàs. Crec que bastants teoremes es van descobrir així, visualment. Avui en dia aquesta manipulació pot fer-se amb ordinador, i pot recuperar el seu prestigiós nom: experimentació matemàtica.
 
 

2. La geometria del triangle, peça de museu

 La geometria del triangle va ser lentament degradada a un conjunt d’exercicis per al lector de llibres de text. El 1940 Bell en va dir: "els geòmetres del segle XX han anat desant tots aquests tresors al museu de la geometria, i allà la pols de la història ha fet esvair la seva resplendor".

 El tema es manté, encara, com a font de problemes d’entreteniment més o menys enginyós en revistes especialitzades. Tret d’aquesta tranquil·la activitat, no hi ha cap pertorbació a les aigües de la geometria del triangle. Els matemàtics s’hi poden dedicar, ocasionalment, com una forma de relaxació; però ningú vol comprometre la seva reputació professional amb treballs d’aquest tipus.

 "La cançó ja ha acabat, però la melodia encara ressona".
 
 

3. Per què va morir la geometria del triangle?

• La sensació que el tema era part de les matemàtiques elementals o recreatives, i per tant de baix status professional. No era un tema "profund". Sempre es podia aconseguir la prova d’un resultat que no fos immediat per mitjà de l’artilleria de la geometria analítica.

(...) 
• L’esgotament de l’interès i de la varietat dels resultats i dels mètodes. La geometria del triangle no tenia problemes oberts, ni direccions per a un desenvolupament futur. No contenia cap desafiament per a la imaginació ni cap estímul perquè un matemàtic pogués lluir-se. 
• Els resultats s’anaven fent cada cop més avorrits i més complicats visualment. 
• Es va anar imposant des de finals del segle XIX una visió de la geometria menys visual i més dependent dels components algebraics. 
• La susceptibilitat al sentiment de sorpresa té els seus alts i baixos. Els professionals estan exposats a tants teoremes sorprenents que l’interès es devalua psicològicament i acaba en l’avorriment. 
• Alguns aspectes de la geometria del triangle van emigrar a altres camps de les matemàtiques, ja sigui tradicionals (geometria projectiva) o acabats d’aparèixer (geometria algebraica). 
• No tenia aplicacions a la ciència ni connexions amb altres temes més vius. 
• La competència d’altres branques recents de la geometria amb un fort component visual i més possibilitats d’aplicació, com ara la geometria convexa, els fractals, les tesel·lacions, la teoria de grafs, etc.

(...) 

6. La transfiguració de la geometria del triangle

 Però encara hi ha més: l’experiència adquirida en aquest canvi ha proporcionat un valuós material per discutir la naturalesa de la prova, les metodologies de recerca, el paper de la intuïció, els valors educatius, etcètera.

 Quines implicacions té aquest treball? Encara és aviat per dir-ho, però algunes direccions semblen clares:
 
 

• L’establishment matemàtic porta mil·lennis obsessionat per la creença que les matemàtiques poden proporcionar la certesa absoluta, i menyspreant altres tipus de proves: visuals, mecàniques, experimentals, probabilístiques. Actualment, però, les proves per ordinador i l’experimentació matemàtica comencen a ser reconegudes com a metodologies legítimes i com a camins que porten a l’autèntic coneixement matemàtic. L’ideal de la demostració absolutament rigorosa es veu cada cop més com part d’una noció més àmplia, generosa i flexible que es pot anomenar "l’evidència matemàtica".

(...) 
• Els resultats individuals s’estan devaluant, perquè la màquina pot produir-los a centenars. L’èmfasi abandona el teorema, per traslladar-se al procés que l’ha produït. El mitjà s’està convertint en el missatge. 
• La importància d’un teorema està determinada per criteris històrics i subjectius. El procés que converteix un concepte matemàtic (ja sigui un punt d’un triangle o tota una teoria) en quelcom "notable" no és susceptible de formalització. És un procés històric que implica tota la comunitat científica o una part significativa d’ella. 
• La complexitat de les demostracions fetes pels ordinadors, que poden requerir polinomis de milers de termes, incrementa el respecte i l’admiració pels mètodes clàssics i la forma en què presentaven els resultats. 
• La intuïció matemàtica, misteriosa, omnipresent i essencial, amb els seus components d’experiència, analogia, i pre-coneixement transcendental inexplicable, ascendeix a un meta-nivell i pot operar en un camp més vast. 
• Quant a l’educació matemàtica, les conclusions són clares. La demostració clàssica ha de compartir l’escenari i el temps amb altres mitjans d’arribar a l’evidència i al coneixement matemàtic. Els llibres de text han de modificar la rigidesa del model expositiu d’Euclides.