Sumari

En l’estudi de les propietats geomètriques dels triangles, així com de les altres figures a les quals es dedica el mòdul següent, es distingeixen dos camps principals d’activitat:

A) La realització de construccions

El seu objectiu és procedir, amb regle i compàs, a la construcció efectiva d’un triangle a partir d’un conjunt de dades.

En el cas del triangle aquestes dades són generalment tres. El problema té moltes variants.
La construcció efectiva equival a la determinació numèrica dels elements (angles i costats) desconeguts; aquesta activitat és característica de la trigonometria.

L’art de les construccions geomètriques no és fàcil de dominar i no es pot pretendre que la majoria dels alumnes el practiquin. Ara bé, és important que sàpiguen, si no inventar una construcció, com a mínim explicar els passos que se segueixen en algunes de les més elementals i en algunes que el professor pugui fer.

Aquesta explicació ha de ser tan algorísmica com sigui possible: s’ha de dividir clarament en passos, cada pas ha de treballar amb objectes genèrics o existents des dels passos anteriors, cada pas ha de consistir en una sola acció, i cal referir-se als objectes pel seu nom.
 

B) El descobriment de relacions

La geometria del triangle és molt fèrtil en relacions, sovint inesperades, que lliguen entre sí com en una xarxa les desenes d’objectes que apareixen en el seu estudi.
Entre ells es poden citar:

punts de: Gergonne, Nobbs, Fletcher, De Longchamps, Evans, Soddy, Rigby, Oldknow, Lemoine, Nagel, Miquel, Brocard, Steiner, Tarry, Fermat, Vecten, etc.

circumferències de: Adams, Spieker, Miquel, Taylor, Fuhrmann, Lemoine, Tucker, Brocard, etc.

rectes de: Gergonne, Soddy, Simson, Newton, Steiner, etc.

triangles de: Brocard, Fuhrmann, etc.

La investigació d’aquestes relacions és un antic filó de satisfacció matemàtica, que dista d’estar esgotat. L'obra de Clark Kimberling esmentada a la bibliografia cita actualment 526 punts notables d'un triangle!.

Li manca, però, una línia directriu i una estructura coherent i que encaixi amb el desenvolupament actual de les matemàtiques. 
 

A diferència de la geometria del triangle, no s’ha creat una “geometria del quadrilàter” i les propietats dels quadrilàters han estat poc investigades. L’èmfasi de la geometria de polígons està en les construccions. Les construccions de quadrilàters particulars a partir de quatre o més dels seus elements no estan sistematitzades i poden ser molt difícils.