Sumari

La construcció de polígons regulars ha estat explorada exhaustivament.

Se sap, des de Gauss, que només poden construir-se dins de la geometria euclidiana (és a dir, amb regle i compàs) els polígons regulars que tinguin un nombre de costats format per factors primers 2 i .

Els primers d’aquests nombres són 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16 i 17.

Amb eines més desenvolupades, com ara aquelles de que disposa Cabri-Géomètre, es pot estendre aquest criteri de constructibilitat. Efectivament, ha estat demostrat que amb la possibilitat del traçat de còniques són constructibles els polígons regulars que tinguin un nombre de costats  on els  són nombres primers diferents de la forma 

Hi ha, però, un mètode aproximat de construcció de polígons regulars de qualsevol nombre de costats que sovint s’ensenya sense remarcar el seu caràcter aproximat, i que dóna resultats bastant bons.
 

Quant a la geometria de les circumferències, es desenvolupa d’acord amb les següents direccions:

A) La determinació de circumferències per mitjà de relacions que estableixen amb punts, rectes i altres circumferències. Aquestes relacions poden ser d’incidència (punts) i de tangència (rectes, circumferències). El cas més general de determinació es coneix com a problema d’Apol·loni.
Altres problemes clàssics de determinació són el problema de Soddy i el problema de Malfatti.

B) La inscripció i circumscripció de polígons en una circumferència. El cas dels polígons regulars ja ha estat tractat. Altres problemes es refereixen a la inscripció de polígons els costats dels quals passen per punts predeterminats (problemes d’Alhazen i de Castillon).

C) Les relacions d’ortogonalitat entre dues o més circumferències i la seva generalització als anomenats sistemes coaxials i circumferències de Steiner.