Perspectives sobre l'ensenyament de la geometria al segle XXI Publicat com a Document de Debat de la Comissió Internacional sobre la Instrucció Matemàtica (ICMI) al número 14 de la Newsletter de la EMS Traducció d’Antoni Gomà publicada per la Societat Catalana de Matemàtiques a SCM/Notícies, maig 1995, número 1 5. Les noves tecnologies i l'ensenyament de la geometria Hi ha una llarga tradició dels matemàtics pel que fa a l'ús d'eines tecnològiques i, recíprocament, l'ús d'aquestes eines ha provocat el repte de resoldre molts problemes matemàtics (com és ara les construccions geomètriques possibles amb regle i compàs, o bé els càlculs numèrics amb logaritmes i instruments mecànics). Els darrers anys les noves tecnologies i, molt en particular els ordinadors, han influït de manera dramàtica en la nostra societat, des de múltiples aspectes. Moltes activitats tradicionals han esdevingut obsoletes i, en canvi, han sorgit noves professions i nous desafiaments. Per exemple, el dibuix tècnic ja no es fa a mà sinó que, avui dia, hom empra programes comercials d'ordinador, plotters i d'altres recursos tecnològics. Hi ha un ampli programari de CAD/CAM i d'àlgebra simbòlica a l'abast del públic interessat. Els ordinadors també han fet possible construir "realitats virtuals" i generar de manera interactiva animacions o gràfics sorprenents (com és ara els fractals) i, encara més, es poden emprar per a enllestir experiments que altrament serien inaccessibles o bé accessibles únicament amb una despesa de molt de temps amb un treball repetitiu i pesat. Sense cap dubte la geometria està estretament implicada en totes aquestes activitats, per una banda per a millorar la capacitat d'emprar les eines tecnològiques de manera apropiada i, per l'altra, per a interpretar i entendre el significat de les imatges que aquestes eines ens proporcionen. Un altre aspecte en què ens poden ajudar els ordinadors, mitjançant l'ús de programari dissenyat específicament amb finalitat didàctiques, és l'aprofundiment en la comprensió de les estructures geomètriques. Es pot esmentar la possibilitat de simular les tradicionals construccions amb regle i compàs, o la possibilitat de moure els elements bàsics d'una construcció realitzada a la pantalla però conservant les relacions entre ells, cosa que pot conduir a una presentació dinàmica dels objectes geomètrics i pot afavorir la identificació dels invariants. Fins ara la pràctica escolar només ha estat influïda marginalment per les innovacions que acabem de comentar. Però hem d'esperar que en un futur immediat, si més no, algunes d'aquestes possibilitats trobaran el seu lloc en els currícula. Això planteja grans qüestions: Com influirà l'ús dels ordinadors en l'ensenyament de la geometria, els seus objectius, els seus continguts i els seus mètodes? Es podran preservar els valors culturals de la geometria clàssica o bé aquests valors hauran d'evolucionar, i com? En aquells països en què la situació econòmica no permeti una dotació generalitzada i urgent d'ordinadors a les escoles, serà possible, tanmateix, reestructurar els currícula de geometria per tal de donar resposta als reptes principals derivats de l'ús de mitjans tecnològics? 6. Temes-clau i reptes per al futur En aquesta secció explicitarem algunes de les qüestions més rellevants que sorgeixen a partir de les consideracions que han aparegut fins ara en aquest document. Creiem que si entre tots podem aclarir aquests temes haurem contribuït a un progrés significatiu en l'ensenyament de la geometria. Evidentment que no pensem que tots els problemes que plantegem siguin resolubles ni que les solucions siguin úniques i tinguin validesa universal. Ben al contrari, les solucions poden ser variades, adaptades a les successives etapes de l'ensenyament, als diversos tipus d'escola i als diferents entorns culturals. 6.1. Objectius Per què és aconsellable i/o necessari ensenyar geometria? Quins dels objectius següents han de ser considerats com els més rellevants pel que fa a l'ensenyament de la geometria? Descriure, entendre i interpretar el món real i els seus fenòmens. Oferir un exemple de teoria axiomàtica. Aportar una col·lecció rica i variada de problemes i exercicis per a l'activitat individual dels estudiants. Incloure en l'aprenentatge els hàbits de fer suposicions, exposar conjectures, construir demostracions, i mostrar exemples i contra-exemples. Servir com a eina de treball per a d'altres àrees de les matemàtiques. Enriquir la percepció social de les matemàtiques. 6.2. Continguts Què és el que hem d'ensenyar? En què hem de posar l'èmfasi quan ensenyem geometria, en la "quantitat" o en la "qualitat"? És possible/recomanable identificar un currículum essencial? En cas d'una resposta afirmativa, quins temes s'han d'incloure en el programa en les diferents etapes escolars? Si, en canvi, la resposta és negativa, per què creiem que es pot deixar llibertat als ensenyants o a les autoritats locals per escollir els continguts geomètrics d'acord amb les seves preferències (és aquest punt de vista comú a d'altres apartats de les matemàtiques o és una qüestió peculiar de la geometria)? S'ha d'ensenyar la geometria com una matèria específica, separada, o bé inclosa en els continguts de l'àrea de matemàtiques? Sembla que hi ha un acord generalitzat en el sentit que l'ensenyament de la geometria ha de reflectir les necessitats actuals i potencials de la societat. En particular, cal potenciar en tots els nivells escolars una visió acurada de la geometria de l'espai i les seves relacions amb la geometria plana. Així doncs, hem de plantejar-nos com podem modificar i millorar l'actual status (en què únicament s'afavoreix la geometria plana) i hem d'arribar al convenciment que cal fer-ho. De quina manera l'estudi de l'àlgebra lineal pot reforçar la comprensió de la geometria? En quina etapa de l'aprenentatge caldria introduir l'estructura "abstracta" d'espai vectorial? I quines són les finalitats d'aquesta introducció? Seria possible (i recomanable?) incloure també en els currícula alguns elements de geometria no euclidiana? 6.3. Mètodes Com hem d'ensenyar geometria? Qualsevol aspecte de la geometria que s'hagi tractat es podrà localitzar entre els dos extrems: el punt de vista "intuïtiu" a un costat, el punt de vista "formal" o "axiomàtic" a l'altre. Hem de potenciar únicament un d'aquests punts de vista en cada nivell escolar, o bé hem de plantejar la interacció dialèctica entre ells, o bé hi ha d'haver un pas gradual de l'un a l'altre, paral·lel a l'augment de l'edat dels alumnes i el seu progrés escolar? Quin és el paper de l'axiomàtica en el marc de l'ensenyament de la geometria? Convé presentar un sistema d'axiomes complet des del primer moment (i si fos així, a quina edat i en quin nivell escolar) o és més recomanable introduir els axiomes gradualment, és a dir, a través d'un mètode de "deduccions locals"? Tradicionalment, la geometria és la matèria on "es demostren teoremes". La "demostració de teoremes", s'ha de restringir a la geometria? Hem d'exposar les demostracions als alumnes amb diferents nivells de rigor (d'acord amb l'etapa de l'aprenentatge)? Les demostracions, han de ser instruments per a la comprensió personal, per a convèncer els altres, o per a explicar, aclarir, verificar? A partir d'un determinat nivell escolar, hem de demostrar qualsevol afirmació o convé seleccionar alguns pocs teoremes per a treballar la seva demostració? Si fos així, quines proposicions triaríem: les que són "més importants" en un determinat context de treball o bé aquelles que són "més difícils" de demostrar? els resultats més intuïtius o aquells que, d'alguna manera, van "contra" la intuïció? Tothom veu que hi ha hagut una tendència internacional cap a la introducció cada vegada més precoç dels mètodes analítics, en comptes d'altres aspectes (sintètics) de la geometria. Hom al·lega que la geometria analítica presenta models algebraics per als problemes geomètrics. Tanmateix, de seguida que els estudiants comencen a treballar amb aquests nous mètodes es veuen abocats ràpidament a un mou món de símbols i càlculs que fa que perdin de vista el lligam entre la geometria i el model algebraic, ajudats pel fet que la interpretació geomètrica dels càlculs és, sovint, oblidada. Pensant en tot això, a quina edat i en quin nivell escolar ha de començar l'aprenentatge de la geometria analítica? Quines activitats, mètodes i marcs de treball teòrics caldria emprar per a recuperar el lligam entre els models algebraics de l'espai i les situacions geomètriques que simbolitzen? Com podríem augmentar de manera eficaç la capacitat de l'alumnat per a escollir el plantejament i les eines adequades per a la resolució de problemes geomètrics específics (conceptual, manipulatiu, tecnològic)? 6.4. Llibres, ordinadors i d'altres recursos didàctics Els llibres de text tradicionals són com nosaltres voldríem que fossin, de cara a un adequat ensenyament/aprenentatge de la geometria? Com fan servir el professorat i l'alumnat actualment els llibres de text i d'altres materials auxiliars per a l'aprenentatge de la geometria? Com voldríem que l'alumnat en tragués profit? Quins canvis cal fer en l'ensenyament i l'aprenentatge de la geometria amb el punt de mira d'un accés cada vegada més generalitzat a programaris d'ordinador, vídeos, materials multimèdia i d'altres recursos tecnològics? Quins són els avantatges, des del punt de vista educacional i dels del geomètric, que es poden deduir de l'ús d'aquests recursos? Quins problemes i limitacions poden sorgir amb la implementació de mitjans tecnològics i com podem superar-los? Fins a quin punt el coneixement adquirit amb l'ajut de l'ordinador es pot traslladar a d'altres àmbits? 6.5. Avaluació Els procediments d'avaluació i de valoració dels alumnes influeixen en gran manera sobre les estratègies d'ensenyament i aprenentatge. Com podem fixar uns objectius terminals i com podem elaborar unes tècniques de valoració que siguin coherents amb aquests objectius? Hi ha alguns aspectes de l'avaluació que són peculiars a l'ensenyament i a l'aprenentage de la geometria? L'ús de calculadores, ordinadors i programes específics per a la geometria pot influir en els continguts dels exàmens i en els criteris per a la valoració de les respostes dels estudiants? Els procediments d'avaluació, s'han de basar primordialment en proves escrites (com és habitual arreu del món) o bé s'ha de deixar que juguin el seu paper la comunicació oral i el treball amb l'ordinador, fins i tot com a eina de dibuix? Què és exactament el que hem de considerar en el procés d'avaluació: Els "resultats"? Els "procediments"? Un mètode de treball? Les construccions geomètriques? 6.6. Formació del professorat La bona formació del professorat és essencial per a un procés eficaç d'ensenyament/aprenentatge. Aquesta formació ha de contemplar tant la competència en la matèria com d'altres aspectes socials, educacionals, epistemològics i tecnològics. Així doncs, quina preparació específica en geometria (que sigui realment assolible) necessita el professorat dels diferents nivells? És ben cert que el professorat tendeix a reproduir en la seva docència els mateixos models que havia experimentat en la seva etapa discent, sense tenir massa en compte altres punts de vista. Com és possible, llavors, aconseguir una motivació pel que fa a la necessitat dels canvis en la perspectiva de l'ensenyament de la geometria (tant pel que fa a continguts com pel que fa a mètodes)? Quins materials didàctics (llibres, vídeos, programari, ...) caldria potenciar en la formació permanent del professorat per tal d'afavorir una concepció flexible i oberta de l'ensenyament de la geometria? 6.7. Previsió dels efectes a llarg termini Massa sovint l'èxit (o el fracàs) d'una reforma curricular i/o d'una innovació metodològica s'avaluen sobre la base de l'observació dels seus resultats en un període curt i sense estudis comparatius dels possibles efectes tangencials del canvi de mètodes o de continguts. Ben al contrari, caldria analitzar què succeeix a llarg termini. Per exemple: Si s'imparteix una educació visual des dels primers nivells escolars, això té un impacte sobre el pensament geomètric en etapes posteriors? Quina influència té el moment de la introducció dels mètodes analítics sobre la intuïció visual de l'alumnat? Quan aquests alumnes esdevinguin professionals, es refiaran més de la visió "intuïtiva" o bé de la visió "racional" de l'ensenyament de la geometria que han rebut? Quin és l'impacte d'un ús generalitzat de les noves tecnologies en l'aprenentatge de la geometria? 6.8. Implementació Al congrés ICME-5 (Adelaida, 1984) J.Kilpatrick va formular una qüestió provocativa: Què sabem l'any 1984 sobre l'educació matemàtica que no sabéssim ja l'any 1980?. Recentment s'ha reprès el tema en un estudi de la ICMI: el que representa la recerca en l'ensenyament de les matemàtiques i quins són els seus resultats'. Per a la geometria la possibilitat de basar-se en resultats de l'experimentació i la recerca serà molt útil per tal de no repetir camins que han fracassat i trobar, en canvi, solucions profitoses per a aquests temes i per a d'altres que encara són incerts, valorant els avantatges de les possibles alternatives. A partir d'això, una pregunta crucial que formulem per acabar: Què coneixem ja de la recerca en l'ensenyament i l'aprenentatge de la geometria i què voldríem que ens aportés la recerca en el futur?