Sumari

Una transformació del pla és una aplicació bijectiva del pla en ell mateix. Les transformacions del pla formen un grup G.

Segons els elements que deixa invariants es distingeix una jerarquia de cinc tipus de transformacions:

  • Les transformacions conformes, que conserven els angles. Un exemple són les inversions.
  • Les transformacions projectives, que conserven la raó doble.
  • Les transformacions afins o colineacions, que conserven l’alineació dels punts i per tant les rectes.
  • Les semblances, que conserven la raó simple, o sigui la proporcionalitat de segments.
  • Els moviments o isometries, que conserven les distàncies.
El conjunt de totes les transformacions és un grup i les de cada un dels tipus anteriors formen una cadena de subgrups d’aquest grup.

Una dilatació és una colineació en què cada recta és paral·lela a la seva transformada. Les dilatacions formen un grup D.

Entre les dilatacions hi ha les traslacions, que formen un grup T, i les simetries centrals. Aquestes no formen un grup, però engendren un grup H que consisteix en les simetries centrals i les traslacions. H és un subgrup de D.

Entre les semblances hi ha les homotècies, que són dilatacions. Totes les dilatacions són traslacions o homotècies. Les isometries i les homotècies engendren el grup de les semblances.

Les simetries axials no són dilatacions. El producte de simetries d’eixos paral·lels és una traslació, i tota traslació es descompon en dues simetries d’eixos paral·lels.

Els girs contenen les simetries centrals. Els girs del mateix centre formen un grup. El producte de simetries d’eixos no paral·lels és un gir, i tot gir es descompon en producte de simetries d’eixos no paral·lels.

Les traslacions, els girs, les simetries centrals i les simetries són moviments. Les simetries engendren el grup de moviments.
Els moviments es classifiquen en:

directes:  - girs (2 simetries)
              - traslacions (2 simetries)             
          inversos: - simetries (1 simetria)
                        - simetries lliscants (3 simetries)
Els subgrups del grup de moviments són:
  • Subgrups finits

    • No poden contenir traslacions ni simetries lliscants, perquè aquestes no són d’ordre finit. Pot ser doncs que:
    • Només continguin girs. Llavors tots els girs han de ser concèntrics i els grups són els grups cíclics engendrats pels girs d’angle 360/n.
    • Continguin alguna simetria. S’anomenen els grups dièdrics i estan engendrats pel gir d’angle 360/n i una simetria.
  • Subgrups infinits
    • Contenen traslacions en una sola direcció anomenada eix. Són els set grups dels frisos.
    • Contenen traslacions en dues direccions diferents. Són els disset grups cristal·logràfics o dels mosaics.