Sumari

La geometria de les corbes planes engendrades per alguna situació particular, generalment en la forma d’un lloc geomètric, data de l’antiguitat grega i va ser molt desenvolupada entre els segles XVII i XIX, quan moltes d’aquestes corbes van ser estudiades sistemàticament, van rebre noms i es van establir relacions entre elles. Actualment, la individualització d’aquestes corbes ha estat abandonada i la seva teoria s’ha subsumit en la geometria algebraica.

Uns quants noms, en forma alfabètica, basten per fer-se una idea de la riquesa d’aquest corpus de corbes: 

alisoide, anacàmptica, anaclàstica, analagmàtica, anguinea, apiana, arguesiana, astroide, atriftaloide, besace, bicorni, bifoli, cappa, clelia, clinoide, clotoide, cocleoide, concal, deltoide,...

L’envolupant d’una família de corbes (en particular de rectes) és una corba tangent a totes les de la família. Per exemple, tota corba és l’envolupant de la família de les seves tangents. Una de les envolupants més populars és l’astroide.

L’evoluta d’una corba és l’envolupant de les seves normals.

La podària d’una corba C respecte d’un punt O és el lloc geomètric dels peus de les perpendiculars traçades per O a les tangents a C. Per exemple, la podària d’una circumferència respecte d’un punt que no sigui el seu centre és un cargol de Pascal.

La contrapodària d’una corba C respecte d’un punt O és el lloc geomètric dels peus de les perpendiculars traçades per O a les normals a C.

L’ortotòmica d’una corba C respecte d’un punt O és el lloc geomètric del simètric d’O respecte de les tangents a C.

La càustica d’una corba C respecte d’un punt O és l’envolupant dels raigs reflectits en  procedents d’O. Per exemple, la càustica d’una circumferència respecte d’un punt a l’infinit és la nefroide, i respecte d’un punt de la circumferència és la cardioide. La càustica és l’evoluta de l’ortotòmica.

L’ortòptica de C és el lloc geomètric dels punts des dels quals es poden traçar dues tangents a C que siguin perpendiculars.

Si C és una corba, O un punt i m un nombre, per a cada P de C es prenen M i M’ a la recta OP tals que PM = PM’ = m. Llavors, el lloc geomètric de M i M’ és una concoide de C. Per exemple, la concoide d’una recta és la concoide de Nicomedes i la concoide d’una circumferència respecte del seu centre torna a ser el cargol de Pascal.

Una altra família especial la formen les corbes engendrades com a lloc geomètric d’un punt d’un cercle que gira sobre una recta o una circumferència: cicloide, epicicloide, hipocicloide, trocoide, epitrocoide, hipotrocoide, amb molts casos particulars.