La construcció de l'escala musical

En aquest apartat, exposarem els orígens de l'escala musical que fem servir a occident. Aquesta escala ha anat variant amb els anys, i l'actual és fruït de convenis, però té un fonament físic fort.

Les matemàtiques tenen també gran importància en els seus orígens i la seva posterior evolució. Explicarem com es construeix l'escala musical a partir de proporcions de les freqüències de les diferents notes a partir d'una nota donada. I també, com això ha donat problemes per fixar una escala definitiva a gust de tothom.

L'origen de l'escala musical

L'escala actual (escala occidental) és el resultat d'un llarg procés d'aprenentatge de les notes. Els pitagòrics van construir un aparell anomenat monocordi que es componia d'una tabla, una corda tensa i una tabla més petita que s'anava movent per la gran.
Monocordi

Els pitagòrics van observar que fent més o menys llarga la corda (movent la taula mòbil) es produïen sons diferents. Entre aquests sons van escollir alguns que eren harmoniosos amb el so original (corda sencera).

Els més importants, per la seva simplicitat i la seva importància a l'hora de construir l'escala musical, són:

  • L'octava. Quan la corda feia un mig de la total, el so es repetia, però més agut. L'octava és el que correspondria a un salt de vuit tecles blanques del piano; o més ben dit, una octava és la repetició d'un so amb una corda amb la meitat de llargària, per tant, una altra nota harmoniosa. La seva freqüència és doble.
  • La quinta és un altre interval entre notes que s'obté amb una corda de llargària dos terços de la inicial. La seva freqüència és tres mitjos del so inicial. Correspon a un salt de cinc tecles blanques en un piano.
  • La quarta és, com les anteriors, un altre interval entre notes que s'obté amb una corda de llargària tres quarts de la inicial. La seva freqüència és quatre terços de la nota inicial.

Així, a partir d'un so original obtenim diferents notes harmonioses. Fent un petit esquema ens aclarirem més:

Nota Freqüència Long. corda
Original
$f$
$L$
Octava
$2\cdot f$
$\frac{1}{2}\cdot L$
Quinta
$\frac32\cdot f$
$\frac{2}{3}\cdot L$
Quarta
$\frac43\cdot f$
$\frac{3}{4}\cdot L$

Si suposem que la nota inicial és el do, llavors l'octava, quinta i quarta són les notes:

Nota base Quarta Quinta Octava
Do Fa Sol Do (1 octava més alta)

que corresponen, respectivament, a la quarta, quinta i vuitena notes de l'escala diatònica (les tecles blanques del piano). Totes aquestes relacions entre les notes s'anomenen intervals.

 

La construcció de l'escala musical

Però, com es poden trobar les notes de la nostra escala musical a partir d'una nota base (tònica)?. Anem a fer un procés repetitiu a partir d'aquesta nota, fent servir les quintes i les octaves.

El que volem fer és trobar notes harmonioses amb la nota base que es trobin entre la nota original i la seva octava.

Suposarem que la nota original té una freqüència $f$. Llavors, l'octava tindrà freqüència $2\cdot f$. Volem trobar notes que tinguin freqüència entre $f$ i $2\cdot f$

La primera que tenim és la quinta, la freqüència és $\frac{3}{2}\cdot f$. Correspon a una corda de longitud 2/3 la inicial.

El següent pas és trobar la quinta de la quinta. La freqüència serà $\frac{3}{2}\cdot \frac{3}{2}\cdot f= \frac{9}{4}\cdot f$. El problema és que aquesta nota té una freqüència més gran que $2\cdot f$. El que fem és trobar una nota una octava més avall. És a dir, una nota amb freqüència $\frac{9}{4}\cdot f$.

Si anem repetint el procés obtenim les notes següents:

Nota Freqüència
1 $f$
2 $\frac{3}{2}\cdot f$
3 $\frac{9}{4}\cdot f$. Després d'haver descendit una octava.
4 $\frac{3}{2}\cdot \frac{9}{8}\cdot f=\frac{27}{16}\cdot f$
5 $\frac{3}{2}\cdot \frac{27}{16}\cdot f=\frac{81}{32}\cdot f$. Com la freqüència és més gran que $2·f$, descendim una octava i obtenim $\frac{81}{64}\cdot f$
6 $\frac{3}{2}\cdot \frac{81}{64}\cdot f=\frac{243}{128}\cdot f$

Hem obtingut 7 notes, comptant l'octava, que podem ordenar de freqüència més petita a més gran de la forma següent:

Nota Base
$f$
$\frac{9}{8}\cdot f$
$\frac{81}{64}\cdot f$
Quinta
$\frac{3}{2}\cdot f$
$\frac{27}{16}\cdot f$
$\frac{243}{128}\cdot f$
Octava
$2\cdot f$

D'aquesta forma hem obtingut 6 notes dins una octava. Però si ens fixem en la raó de freqüències d'una nota i l'anterior,

$\frac{9}{8}:1=\frac{9}{8}$
1,125
$\frac{81}{64}:\frac{9}{8}=\frac{9}{8}$
1,125
$\frac{3}{2}:\frac{81}{64}=\frac{32}{27}$
1,185
$\frac{27}{16}:\frac{3}{2}=\frac{9}{8}$
1,125
$\frac{243}{128}:\frac{27}{16}=\frac{9}{8}$
1,125
$2:\frac{243}{128}=\frac{256}{243}$
1,053

sembla que hi ha un forat entre $frac{81}{64}\cdot f$ i $\frac{3}{2}\cdot f$ . Curiosament entre aquest dos valors es troba $\frac{4}{3}\cdot f$, que correspon al que hem anomenat quarta.

Afegint la quarta, ens queda una escala de 7 notes amb aquestes raons entre les freqüències:

Freqüència Raó nota anterior
Tònica
f
Do
Segona
$\frac{9}{8}\cdot f$
9/8=1,125 Re
Tercera
$\frac{81}{64}\cdot f$
9/8=1,125 Mi
Quarta
$\frac{4}{3}\cdot f$
256/243=1,053 Fa
Quinta
$\frac{3}{2}\cdot f$
9/8=1,125 Sol
Sexta
$\frac{27}{16}\cdot f$
9/8=1,125 La
Setena
$\frac{243}{128}\cdot f$
9/8=1,125 Si
Octava
$2\cdot f$
256/243=1,053 Do

A la columna de la dreta hem posat el nom de la nota que correspondria si la nota base fos el do.

Aquesta és l'escala que anomenem diatònica. Consta de 7 notes, la vuitena és la mateixa que l'anterior una octava més alta. Es corresponen a les tecles blanques del piano.

Podem veure que hi ha dues raons diferents: el to 9/8 i el semitò 256/243. La pregunta que ens fem és quina relació hi ha entre les dues raons. Es pot veure que dos semitons fan quasi un to (256/243)2 =1,109, però no és exactament el mateix.

Si ara féssim servir les quartes per anar trobant noves notes harmonioses, començarien a sortir les "tecles negres" del piano, és a dir, els sostinguts i els bemolls. Quan l'escala queda completa amb 12 notes (les tecles negres i les blanques), això és el que s'anomena l'escala cromàtica.

Com que un to no és exactament dos semitons, hi havia llocs on els intervals eren més grans o més petits que en altres llocs. Això donava problemes per afinar instruments amb intervals fixes com el piano o la guitarra. És per això que es va crear l'escala temperada o equitemperada. La quantitat de notes que té és la mateixa, però la forma d'afinació és diferent. A l' escala temperada, la raó entre la freqüència d'una nota i l'anterior és sempre constant.

Si anomenem r a aquesta raó, es complirà que les freqüències formaran una progressió geomètrica del tipus:

$f, f\cdot r, f\cdot r^2, f\cdot r^3, f\cdot r^4, ..., f\cdot r^{12}= 2\cdot f $

del que es dedueix que $r^{12}= 2$, d'on $r=\root {12}{2}= 1,059... $

Aquesta escala resol els problemes d'afinació, però no podem oblidar que les notes més harmonioses eren les que s'havien trobat mitjançant el mètode geomètric, és a dir les de l'escala cromàtica. Instruments sense intervals fixos com violins, contrabaixos, etc.. poden fer servir l'afinació de l'escala cromàtica.