Exemples: 8² = 64, mentre que 9² = 81. La diferència 81 - 64 = 17, és a dir, 9 + 8 = 17
    Això és vàlid en tots els casos...    24² = 576, 25² = 625, la diferència és 49 = 24 + 25

    A partir d'aquí podem definir que la distància entre 2 nombres qualssevol al quadrat és la coneguda fórmula, tantes vegades memoritzada, però potser no sempre valorada en aquest aspecte del càlcul:

   Exemple: 9² = 81, 5² = 25, 81 - 25 = 56, es a dir: (9 + 5) · ( 9 - 5 ) = 14 x 4 = 56

     Això, òbviament, ens pot permetre de calcular nombres al quadrat a partir dels que ja coneixem:
    Ex. Quant serà 26², si sabem que 25² = 625 ?
    Només hem de sumar 25 + 26 = 51, i això, afegir-ho al 625, és a dir, 625 + 51 = 676
    Exercici: Quant serà 37², si sabem que 30² = 900 ?      >>>  Suma = 67,  Diferència = 7
    Amb una mica d'habilitat farem 67 x 7 = 469 i li sumarem a 900, per a obtenir: 37² = 1.369

    EXERCICI: Quant serà 54², si sabem que 50² = 2.500 ?
                      Quina serà la diferència entre 41²  i  26²  ?

 

    a) Començaré amb el quadrat dels nombres de 2 xifres acabats en 5:
    El quadrat dels nombres tipus 15, 25, 35, etc. es pot fer de manera molt ràpida:

    Veiem ara alguns exemples:
    Ex. 15²:     multipliquem la seva desena 1 per la següent 2, i obtenim 2
                    afegim un 25 al darrera i tenim el 225, que és 15².
    Ex. 45² :    4 x 5 = 20, afegim el 25 i surt 2.025 = 45²
    Ex. 65² :    6 x 7 = 42, afegim el 25 i ja està el 65² = 4.225      (sorprenent o no?)

    b) Quadrat del nombres de dues xifres acabats en 1:
    El quadrat dels nombres tipus 11, 21, 31, etc. es pot fer de manera molt ràpida en tres parts:

    Exemples: 11²:   quadrat de la desena 1 x 1 = 1
                            el doble de la desena 1 + 1 = 2
                            li afegim un 1  >>>> i obtenim el 121 = 11²
    Ex. 31²:    quadrat de la desena 9, el doble de la desena 6, li afegim un 1  >>> 31² = 961

    Ex. 61²:    quadrat de la desena 36, el doble de la desena 12
    en aquest cas, al passar de 9 la suma ens portem 1, o sigui, 372, i li afegim un 1  >> 61² = 3.721

    c) Quadrat del nombres de dues xifres acabats en 9:
    El quadrat dels nombres tipus 19, 29, 39, etc. es pot fer de manera molt ràpida en tres parts:

    Ex: 29²:       quadrat de la desena següent 3 x 3 = 9, afegim el 0, o sigui, 90
                      li restem el doble de la desena 3 + 3 = 6, és a dir, 90 - 6 = 84
                      li afegim un 1  >>>> i obtenim el 841 = 29²
    Ex. 49²:       quadrat de la desena següent 25 >> 250, restem el doble de la desena següent 10,
                      250 - 10 = 240, li afegim un 1  >>> 49² = 2401

    d) Quadrat dels nombres de dues xifres acabats en 2 (i altres xifres del 3 al 8):
    D'una manera similar als acabats en 1, farem els acabats en 2:

    Ex: 22²:       quadrat de la desena 2 x 2 = 4
                      el doble de la desena 2 + 2 = 4 per 2 = 8
                      li afegim un 4  >>>> i obtenim el 484 = 22²
   Ex: 52²:       quadrat de la desena 5 x 5 = 25
                      el doble de la desena 10 per 2 = 20, és a dir, ens portem 2, per tant, 25+2 = 27 >> 270
                      li afegim un 4  >>>> i obtenim el 2704 = 52²

    El mètode es pot generalitzar per als altres nombres.
    Per a acabar veiem els acabats en 3:

    Ex: 73²:       quadrat de la desena 7 x 7 = 49
                      el doble de la desena 7 + 7 = 14 per 3 = 42, ens portem 4, per tant, 49+4 = 53 >> 532
                      li afegim un 9  >>>> i obtenim el 5.329 = 73²

    EXERCICI: Calculeu amb aquest mètode els següents nombres al quadrat:
  35² = ;     41² = ;     32² = ;     75²  = ;     59² = ;    115² = ;

   Un aspecte interessant dels nombres al quadrat és la "pèrdua" que es va produint si augmentem i disminuïm els nombres en una quantitat constant, és a dir, la diferència d'àrea entre quadrats i rectangles amb un mateix perímetre.
    Prenem un quadrat de costat a i ho convertim en un rectangle de costats: a + k i a - k.
  Vegem el que passa amb un exemple numèric:  24² = 576
 >  25 x 23 = 575   (-1)    Hem sumat i restat 1 i la distància és 1²
 >  26 x 22 = 572   (-4)    Hem sumat i restat 2 i la distància és 2²
 >  27 x 21 = 567   (-9)    Hem sumat i restat 3 i la distància és 3²
                                                >  28 x 20 = 560   (-16)  Hem sumat i restat 4 i la distància és 4²
                                                >  29 x 19 = 551   (-25)  Hem sumat i restat 5 i la distància és 5² , etc.

    Podem concloure, per tant, que:

    D'aquí també es pot treure una aplicació numèrica en el càlcul ràpid del producte de nombres que siguin equidistants d'un nombre al quadrat, així, si observem que 18 i 12 són equidistants al 15, podríem calcular molt ràpidament 18 x 12, donat que 15² = 225 i la distància és 3² = 9, deduïm que 18 x 12 = 216.

    EXERCICI: Calculeu amb aquest mètode aquells productes que permetin la seva aplicació:
  29 x 21 = ; 35 x 30 = ; 18 x 12 = ; 23 x 31 = ; 37 x 32 = ; 54 x 46 = ;

    El gran Pitàgores de Samos ens va deixar el seu arxiconegut Teorema dels triangles rectangles, pilar fonamental de càlculs geomètrics i trigonomètrics, en el que es relacionen les mides dels catets i de la hipotenusa:

    Donat que a l'aplicar aquesta fórmula matemàtica hem d'acabar fent una arrel quadrada, quasi sempre ens trobem que no obtenint valors exactes, o millor dit, valors enters.
    Al mateix Pitàgores li devem el triangle rectangle arquetip de mides 3, 4 i 5, però si el que volem és utilitzar altres triangles rectangles amb valors enters quasi mai ens en sortim i acabem recorrent a aquest triangle pitagòric (3, 4, 5) o als seus múltiples.
    Dedico aquesta secció a exposar unes expressions matemàtiques que ens permetran obtenir la majoria dels triangles rectangles de valors enters que existeixen, són fruit d'una bona idea inicial i d'un estudi exhaustiu posterior. Així que podeu prendre nota amb certesa i, d'aquesta manera, tenir una petita eina amb la qual podreu generar problemes, etc. que tinguin per solució sempre valors enters, o simplement veure aquest capítol com una curiositat matemàtica més.

    La primera expressió ens genera les 3 mides de triangles rectangles en que el catet petit és un número senar:

  Així per n = 1 obtenim els valors: 3, 4 i 5(os sona d'alguna cosa?). Per n = 2: 5, 12, 13, etc.

    La segona expressió ens genera les 3 mides de triangles rectangles en que el catet petit és un número parell:

    Ex. per n = 1 obtenim els valors: 4, 3 i 5(un altre cop). Per n = 3: 8, 15, 17, etc.
    Vegem una taula amb els 7 primers valors de cadascuna:
 

    A les dues expressions exposades hauríem d'afegir una constant k, que al multiplicar-la per cada un dels valors obtinguts i prenent diferents valors ens permet obtenir els múltiples d'aquestes mides, que òbviament, també compleixen el Teorema de Pitàgores:

    Ara ja teniu un bon grapat d'exemples i amb les expressions matemàtiques podreu obtenir-ne més...
    De tota manera aquests no són els únics i, per això, vaig acabar per buscar un altre algoritme de càlcul més general encara.
    Tenint en compte la coneguda llei, exposada en el capítol anterior, que diu que:

    Es pot fer la següent demostració:
    Si tenim un número a que és múltiple d'altres el podrem expressar com a = x · y
   Segons el Teorema de Pitàgores:  a²= c² - b² = (c + b) · (c - b)
    D'aquí podem deduir que:  x² · y² = (c + b) · (c - b), i per tant:

   Si ara resolem aquest sistema d'equacions tindrem que:

    És a dir, que donat un catet de mida a el podrem expressar en forma de producte de dos divisors: x · y
    (fins i tot el nombres primers: a = a · 1 => x = a, y = 1, compleixen aquesta fórmula => veure taula)
i a partir d'aquests trobarem que:

    L'únic petit problema que tenim aquí és que a l'haver de dividir per 2 en alguns casos (si un divisor és parell i l'altre senar) no surten valors exactes, però els seus múltiples parells si que ho seran i, en qualsevol cas, com a màxim tindrem un decimal .5 prou interessant igualment.
    Vegem-ne ara uns quants exemples:
 

    En aquest últim exemple tenim que a = 36, b = 32.5, c = 48.5, d'aquí podem deduir que els seus múltiples parells si són enters com: a = 72, b = 65, c = 97, a = 144, b = 130, c = 194, etc.

    Fins aquí aquest estudi, per concloure només diré que encara queda un grapat de triangles rectangles de valors enters que no es generen amb cap de les expressions exposades, però si que amb elles n'obtindrem la majoria dels possibles i, per tant, em semblen de gran utilitat.

    Si volem calcular el que mesura la diagonal d'un quadrat coneixent el que mesuren els seus costats, només caldrà aplicar el Teorema de Pitàgores.
    Així un quadrat de costat 1, tindrà una diagonal que mesura V¯2¯ (arrel quadrada de 2)
    A partir d'aquí deduirem que la diagonal d'un quadrat de costat n mesura: d =n · V¯2¯

    Si ara volem calcular el que mesura la diagonal d'un cub, entre dos vèrtex de cares oposades, també podrem aplicar el Teorema de Pitàgores si triangulem el cub i observem el triangle rectangle format per una aresta inferior a, la diagonal de la cara lateral d i la diagonal gran D.
    Així veurem que D² = a² + d²
    En el cas del cub d'aresta a = 1 la diagonal lateral d =  V¯2¯ i, per tant:

    Òbviament podrem afirmar que la diagonal gran d'un cub de costat n mesura: D = n · V¯3¯

    Amb tot això, i si seguim aquest procediment de triangulació, podríem calcular quant mesuren les diagonals de figures geomètriques de més de 3 dimensions, és a dir, de figures que no existeixen, ni podem tampoc imaginar donada la nostre limitació tridimensional.
    La diagonal gran d'una figura tipus cub, però de 4 dimensions, serà:

    La diagonal gran d'una figura tipus cub, però de 5 dimensions, serà:

    Què maco poder calcular una cosa que ni podem imaginar la seva forma! Em meravella que una ciència com les matemàtiques pugui arribar on no ho fa ni la imaginació!
    Com m'agradaria arribar a un mon quatridimensional i demanar als seus habitants que em mostressin un dau i observar aquest objecte en que la seva diagonal mesura el doble que les seves arestes...

    Tot número no "primer" és el producte de 2 o més factors o divisors, i per tant, pot ser expressat com un producte de dues xifres:
   121 = 11 x 11 _ 480 = 80 x 6, etc. _ 989 = 43 x 23 ...

    Existeixen certs criteris de divisibilitat que de forma senzilla ens poden ajudar a conèixer ràpidament alguns divisors d'un nombre donat. En veiem uns quants, alguns força coneguts:
 - "Tots els nombres parells són divisibles per 2"
 - "Un número és múltiple de 3 -o el té per divisor- si la suma de les seves xifres és múltiple de 3"
    (és a dir, pertany a la taula del 3)
  Ex.     861 => 8 + 6 + 1 = 15 (si)  ;  563 = 5 + 6 + 3 = 14 (no)
 - "Són divisibles per 4 els nombres en els que les 2 últimes xifres són múltiples de 4 -o bé siguin 00"
   Ex. 764, 348, 920, etc.
 - "Els nombres acabats en 5 ó en 0 són divisibles per 5"
 - "Un número és divisible per 6 si també ho és per 3 i per 2"
 - "Un número és divisible per 9 si la suma de les seves xifres és múltiple de 9"
   Ex. 702, 855, 378, 144, etc.
 - "Tots els nombres acabats en 0 són múltiples de 10", lògicament.
 - "Un número és divisible per 12 si també ho és per 3 i per 4, és a dir, si la suma de les seves xifres
    és múltiple de 3 i les 2 últimes xifres són múltiple de 4"
  Ex.     648 > 6 + 4 + 8 = 36  i 48 és múltiple de 4 (si)
            375 > 3 + 7 + 5 = 18, però 75 no és múltiple de 4 (no)
 - "Un número és divisible per 15 si també ho és per 3 i per 5, és a dir, si la suma de les seves xifres
    és múltiple de 3 i acaba en 5 ó en 0"
  Ex.     645 > 6 + 4 + 5 = 15  i  acaba en 5 (si)
            575 > 5 + 7 + 5 = 17 (no)
 - "Un número és divisible per 20 si la desena és parell i acaba en 0"
 - "Un número és divisible per 25 si acaba en 25, en 50, en 75 ó en 00"

    Aquests són els casos més senzills, ara alguns criteris menys coneguts:
 - Un nombre és múltiple d'11:
     · "Si la suma de les xifres extremes és menor que 10 i igual a la central" (3 xifres)
       "Si les xifres agafades de 2 en 2 donen 2 resultats iguals" (més de 3 xifres)
       "Si restem a les xifres extremes el nombre central i surt 0 o un múltiple d'11"
   Ex.     253 (si), 891 (si), 748 (si), 567 (no)
    Llavors podem saber quin és l'altre divisor ja que aquest és igual a les 2 xifres dels extrems, si surt 0,
o bé, restem una desena si surt 11, etc.
   Ex.     891 > 8 + 1 = 9  ó  8 + 1 - 9 = 0;  891 = 11 x 81;  253 = 11 x 23
     627 > 6 + 7 = 13 - 2 = 11;   627 = 11 x 57
     1.782 > 7 + 2 = 8 + 1;   1.782 = 11 x 162

    "Els múltiples d'11 que siguin parells són múltiples de 22"

 - Un nombre és múltiple de 7:
   "Si al sumar el doble de la centena a les 2 últimes xifres del número s'obté un múltiple de 7"
    (s'han de reconèixer els múltiples de 7 fins al 100). És un criteri ideal per a nombres no gaire grans.
   Ex. 437 (no) > 4 x 2 + 37 = 45 (que no ho és)
             651 (si)  > 6 x 2 + 51 = 63 (7 x 9);  651 = 7 x 93
 "Si al restar, successivament, el doble de l'última xifra (unitats) del número s'obté un múltiple de 7"
   Ex.  6.251  >  625 - 1 x 2 = 623  >  62 - 2 x 3 = 56(si ho és)
              3.474  >  347 - 4 x 2 = 339  >  33 - 9 x 2 = 15(no ho és)

- Un nombre és múltiple de 14:
 "Si és parell i al sumar el doble de la centena a les 2 últimes xifres obtenim un múltiple de 7"

- Un nombre és múltiple de 8:
     · "En centenes parells si les 2 últimes xifres són un múltiple de 8"
     · "En centenes imparells si les 2 últimes xifres són múltiple de 4, però no de 8"
  Ex.     464 (si);  744 (si);  932 (no);  684 (no);   584 (si)
    Un altre criteri aplicable també als múltiples de 8, però una mica menys aclaridor, és:
  "Són divisibles per 8 els nombres en els que les 3 últimes xifres són múltiple de 8 o acaben en 000"

 - Un nombre és múltiple de 13:
  "Si al restar 4 vegades la centena a les 2 últimes xifres del número s'obté un múltiple de 13" (<100)
  Ex.     364 > 64 - 3 x 4 = 52,  (52 = 13 x 4) (si)
  Ex.     475 > 75 - 4 x 4 = 59,  (no)

 - Un nombre és múltiple de 17:
"Si al restar el doble de la centena a les 2 últimes xifres del número, tenim un múltiple de 17"(<100)
  Ex.     578 > 78 - 5 x 2 = 68, (68 = 17 x 4) (si)
  Ex.     832 > 32 - 8 x 2 = 16,  (no)

 - Un nombre és múltiple de 16:
  "Si podem fer la seva meitat durant 4 vegades seguides i sempre surt un número enter"
  Ex.     448 > 224 > 112 > 57  (si)
  Ex.     728 > 364 > 182 > 91  (no)

  - A títol de curiositat diré que:
    "Qualsevol nombre amb les 3 xifres repetides és múltiple de 37"
    de fet és 37 per la suma de les 3 xifres (o pel triple de les centenes):
  Ex.      555 = 37 x 15;  888 =  37 x 24

     N'existeixen d'altres i, fins i tot, el lector en podria dissenyar algun de propi...

    He denominat "múltiples sincers" a:
    "Els nombres que són múltiples d'un número i en els quals la suma de les seves xifres és també aquest mateix número". (Només fent una suma, no tornant a sumar el resultat de la suma de les xifres)
    Ex. el 24 és "múltiple sincer" del 6, el 144 és "múltiple sincer" del 9, el 511 ho és del 7, etc.

   Tots les nombres tenen "múltiples sincers", de fet aquests constitueixen un subconjunt del conjunt total de múltiples del número. S'accepta el propi número com el primer element de cada subconjunt.
    Veiem un petit estudi sobre els primers "múltiples sincers" de cada número:

    El 2 no te gaires múltiples sincers donat que és un número força baix:
    M.S. del 2 = { 2, 20, 110, 200, 1.010, 1.100, 2.000, ...}          (Distància clau 90, ...)
    M.S. del 3 = { 3, 12, 21, 30, 102, 111, 120, 201, 210, 300, ...}        (Distància clau  9, ...)
    M.S. del 4 = { 4, 40, 112, 220, 400, 1.120, 2.020, 2.200...}
    M.S. del 5 = { 5, 50, 140, 230, 320, 410, 500, 1.040 ...}          (Distància clau 90, ...)
    M.S. del 6 = { 6, 24, 42, 60, 114, 132, 150, 204, 222, 240, ...}         (Distàncies claus 18, 54,...)
    M.S. del 7 = { 7, 70, 133, 322, 511, 700, 2.023, 2.212, 2.401, ...}    (Distància clau 189, ...)
    M.S. del 8 = { 8, 80, 152, 224, 440, 512, 800, 1.016...}           (Distància clau 72, ...)
    M.S. del 9 = { 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 108, 117, ...}     (Distància clau 9, ...)
    M.S. del 10 = { 10, 190, 280, 370, 460, 550, 640, 730, 820, ...}        (Distància clau 90, ...)

   Els "múltiples sincers" de l'11 els proposo com exercici i dono la solució al final d'aquesta pàgina.

    M.S. del 12 = { 48, 84, 156, 192, 228, 264, 336, 372, 408, 444, ...}  (Distàncies claus 36, 72, ...)
    M.S. del 13 = { 247, 481, 715, 1.183, 1.417, 1.651, ...}            (Distància clau 234, ...)
    M.S. del 14 = { 266, 518, 770, 1.274, 1.526, 2.282, ...}            (Distància clau 252, ...)
  M.S. del 15 = { 195, 285, 375, 465, 555, 645, 735, 825, 915...}     (Distància clau 90, ...)

    El nombre que té més densitat de múltiples sincers és el 9, de fet tots els seus múltiples fins al 90 ho són.
    En canvi el 11, fins i tot, podria semblar que no en té ...
    També es pot observar que la distància entre 'múltiples sincers' és força constant per a cada número, la més freqüent és 90 i, en tots els casos, són sempre múltiples de 9, precisament el número amb més "múltiples sincers". Aquest estudi, probablement, arribaria fins al infinit ...
    Si us ha agradat el tema us proposo calcular els primers "múltiples sincers" del 16 i del 17.
 

(Solució)

    Un tema molt conegut dels matemàtics és el dels 'nombres perfectes', anomenats així, perquè:

    El 'número perfecte' més petit és el 6, que té per divisors el 1, 2, 3, (6), com podem veure es compleix que: 1 + 2 + 3 = 6.

    Els 'nombres quasi-perfectes' són aquells que:

    Podem dir que  dos nombres són 'amics' quan:

    54² =  2.916     (2.500 + 104 x 4 = 2.916)
    41² - 26²  =  (41 + 26) x (41 - 26) = 67 x 15 = 1.005

    35² = 1.225      (3 x 4 = 12, 25)
    41² = 1.681      (4² = 16, 4 x 2 = 8, 1)
    32² = 1.024      (3² = 9, 3 x 2 x 2 = 12, 2² = 4) >> 9 +1 = 10, 2, 4 >> 1.024
    75²  = 5.625     (7 x 8 = 56, 25)
    59² = 3.481      (6² = 36, 6 x 2 = 12, 1) >> 360 - 12 = 348, 1 >> 3.481
   115² = 13.225   (11 x 12 = 132, 25)

    29 x 21 = 25² - 4² = 625 - 16 = 609
    35 x 30  = 1.050 (no)
    18 x 12 = 15² - 3² = 225 - 9 = 216
    23 x 31 = 27² - 4² = 729 - 16 = 713
    37 x 32 = 1.184 (no)
    54 x 46 = 50² - 4² = 2.500 - 16 = 2.484

    M.S. del 11 = { 209, 308, 407, 506, 605, 704, 803, 902, ...}      (Distància clau 99, ...)
    M.S. del 16 = { 448, 736, 2.176, 2.464, 2.752, ...}            (Distància clau 288, ...)
    M.S. del 17 = { 476, 629, 782, 935, 1.088, 1.394, ...}          (Distància clau 153, ...)