En aquest apartat exposaré una curiosa manera de fer productes amb les mans. Sempre ha estat molt mal vist de fer les comptes amb les mans, així que ara proposaré un petit divertiment per a trencar una mica aquesta mala imatge dels dits calculadors. No es tracta de cap mètode revolucionari ni de càlcul ràpid, és un simple passatemps...
    Serà necessari conèixer les taules dels 5 primers nombres i de memoritzar (calcular) els productes dels múltiples de 5 com es veurà.
    Aquest mètode és pot aplicar a nombres del 6 al 100, o més, però és més senzill treballant amb xifres petites, òbviament. Vegem-ne un petit estudi demostratiu.

    Suposem que volem multiplicar 14 x 12, les passes a seguir són les següents:
    a)  Li restarem 10 a cada número, per a poder expressar-ho amb els dits, i ens queden 4 i 2.
    b)  Això vol dir que hem rebaixat en 10 x 10 = 100 el producte.
    c)  Ara sumen els dits que tenim 4 + 2 = 6, i això, ho multipliquem per 10 (número restat),
         és a dir, 6 x 10 = 60.
    d) Finalment multipliquem els dits de cada ma, 4 x 2 = 8.
    Ara sumem les tres quantitats anteriors: 100 + 60 + 8 = 168,

    i ja tenim el resultat 14 x 12 = 168.

    Provem ara a multiplicar 18 x 17, d'una manera similar farem:
    a)  Li restarem 15 a cada número, per a poder expressar-ho amb els dits, i ens queden 3 i 2.
    b)  Això vol dir que hem rebaixat en 15 x 15 = 225 el producte.
    c)  Ara sumen els dits que tenim 3 + 2 = 5, i a això, ho multipliquem per 15 (número restat),
         és a dir, 5 x 15 = 75.
    d)  Finalment multipliquem els dits de cada ma, 3 x 2 = 6.
    Ara sumem les 3 quantitats anteriors: 225 + 75 + 6 = 306, i ja tenim que 18 x 17 = 306.

    Un altre exemple 21 x 23, les passes a seguir són les següents.
    a)  Li restarem 20 a cada número i ens queden 1 i 3, hem rebaixat en 20 x 20 = 400.
    b)  Ara sumen els dits que tenim 1 + 3 = 4, ho multipliquem per 20: 4 x 20 = 80.
    c)  Finalment multipliquem els dits de cada ma, 1 x 3 = 3.
    Sumem les 3 quantitats: 400 + 80 + 3 = 483, és a dir 21 x 23 = 483.

    Això funciona per qualsevol xifra, però ens sorgeix un problema si volem operar xifres de grups diferents, és a dir, que s'hagi de restar una quantitat diferent a cada ma.
    Suposem que volem calcular 32 x 18, llavors hem de fer uns petits canvis:
    a)  Li restem 30 al primer número i 15 al segon, per tant, ens queden 2 i 3.
    b)  Això vol dir que hem rebaixat en 30 x 15 = 450 el producte.
    c)  Ara multipliquem els dits per la quantitat restada a l'altre ma (productes creuats), és a   

    dir, 2 x 15 = 30  i  3 x 30 = 90 i ho sumem 30 + 90 = 120.
    d)  Multipliquem els dits de cada ma, 2 x 3 = 6.
    Ara sumem les 3 quantitats anteriors: 450 + 120 + 6 = 576, i ja tenim que 32 x 18 = 576.
    Una mica més complicat en aquest cas, però funciona igualment.

 

    Per a acabar amb aquest mètode, i pels més avançats, exposaré la seva demostració matemàtica:
    Donats dos nombres x i y, els podem expressar en forma d'un múltiple de 5 més un residu:
  x = 5·m + a;  y = 5·n + b.  5·m i 5·n són els múltiples de 5 que restarem, a i b els dits.
    Llavors tenim que: x · y = (5m + a) · (5n + b) = 25·m·n + a·5n + b·5m + a·b.  

    Per tant: 25·m·n és la primera quantitat rebaixada, a·5n + b·5m els productes creuats i a·b el producte dels dits. Òbviament, si m = n, el càlcul és més ràpid: 25·n² + (a + b)·5n + a·b.

    Ara ja podreu anar presumint de que sabeu multiplicar amb les mans !!

    Buscant mètodes de càlcul mental o ràpid vaig dissenyar una petita estratègia que, després d'una mica de pràctica, em funciona força bé per a fer productes amb nombres no gaire grans. L'anomeno "mètode de les desenes creuades" i funciona de la següent manera:

   · Primer pas: Calcular les unitats: 7 x 4 = 28, per tant, el resultat acaba en 8 i tinc 2 desenes.
   · Segon pas: Calcular les desenes, es fa en dues parts: 34 x 2 = 68  i  3 x 7 = 21.
     És a dir, les 2 desenes del primer número per l'altre 34 i les 3 desenes del segon per 7.
   · Tercer pas: Sumem totes les desenes 2 + 68 + 21 = 91. El resultat és 918.

   · Primer pas: Calcular les unitats: 7 x 2 = 14, el resultat acaba en 4 i tinc 1 desena.
   · Segon pas: Calcular les desenes en dues parts: 52 x 3 = 156 i 7 x 5 = 35.
   · Tercer pas: Sumem totes les desenes 1 + 156 + 35 = 192. El resultat ara és 1.924.

    Pot semblar complicat d'entrada, però amb una mica de pràctica, he comprovat que funciona bastant bé com un recurs de càlcul mental.

    Aquest és un mètode de multiplicar molt interessant que no necessita fer la suma final de fileres de nombres, es resol linealment seguint un esquema predeterminat. La imatge de sota ens diu com hem d'anar operant els diferents nombres:

    L'esquema per un producte de 3 x 3 xifres té 5 passes:
    (1) Producte lineal d'unitats,
    (2) Producte creuat unitats-desenes,
    (3) Producte triple creuat d'unitats-centenes més el de desenes,
    (4) Producte creuat desenes-centenes i
    (5) Producte lineal de centenes.
                Agafem, per exemple, el producte     376

  · Multipliquem seguint l'esquema donat el 2 x 6 = 12, el resultat acaba en 2 i ens portem 1
  · Ara s'ha de multiplicar en creu 7 x 2 = 14  i  4 x 6 = 24,
      ho sumem tot: 14 + 24 + 1 = 39, el segon número és el 9 i ens portem 3
    · L'esquema ens indica ara que em de multiplicar els nombre extrems i els del mig, és a dir:
  2 x 3 = 6, 5 x 6 = 30 i 7 x 4 = 28, ho sumem: 6 + 30 + 28 + 3 = 67, posem el 7 i ens portem 6
    · Ara multipliquem en creu 7 x 5 = 35  i  4 x 3 = 12, és a dir: 35 + 12 + 6 = 53,
      posem el 3 i ens portem 5.
  · I acabem fent 3 x 5 = 15, per tant, 15 + 5 = 20

    Si faltes alguna xifra, és a dir, un producte de 3 x 2 dígits, es posa un 0 al seu lloc.
    La primera impressió que tenim és que d'un mètode complicat i embolicat, però feu la prova i veure-ho que és bastant senzill i, fins i tot, més ràpid. A més no us agrada trencar esquemes?

 

    Aquest és l'esquema per un producte de 4 x 4 xifres, és a dir, té 7 passes:
    (1) Producte lineal d'unitats,
    (2) Producte creuat unitats-desenes,
    (3) Producte triple creuat d'unitats-centenes més el de desenes,
    (4) Producte quàdruple creuat d'unitats-mil·lers més creuat desenes-centenes,
    (5) Producte triple de desenes-mil·lers més el de centenes,
    (6) Producte creuat centenes-mil·lers i
    (7) Producte lineal de mil·lers.
                        Per exemple, el producte:              3.518

    (1) 8 x 9 = 72, primer núm. el 2 ens portem 7 >> (2) 9 x 1 = 9, 8 x 0 = 0; 7 + 9 + 0 = 16  >>
    (3) 9 x 5 = 45, 2 x 8 = 16, 1 x 0 = 0; 1 + 45 + 16 = 62 >>
    (4) 9 x 3 = 27, 4 x 8 = 32, 5 x 0 = 0, 2 x 1 = 2; 6 + 27 + 32 + 2 = 67  >>
    (5) 3 x 0 = 0, 4 x 1 = 4, 5 x 2 = 10; 6 + 4 + 10 = 20  >>
    (6) 3 x 2 = 6, 4 x 5 = 20; 2 + 6 + 20 = 28  >>  (7) 4 x 3 = 12; 12 + 2 = 14

    Evidentment aquest mètode funciona per a qualsevol producte, només s'ha de trobar l'esquema de treball, però seguint la lògica dels presentats a sobre, no és gaire complicat...
    També comentaré que si el producte és, només, de 2 x 2 xifres, l'esquema, òbviament, és:

    Sóc conscient que aquests recursos poden ser considerats purament anecdòtics, més en una època on les calculadores manen, però encara quedem uns quants romàntics del càlcul.
    Estic investigat tota mena de mètodes de càlcul mental o ràpid i aniré ampliant aquesta secció progressivament. Voleu veure'n una mostra:
  Sabíeu que per dividir ràpidament per 11 només cal restar les centenes de les desenes?
            Ex. 742 : 11 = 67  >>  74 - 7 = 67
  Sabíeu que per dividir per 15 només hem de restar un terç de les 2 primeres xifres?
            Ex. 818 : 11 = 54  >>  81 : 3 = 27, 81 - 27 = 54

    N'hi ha molt més, però aquests mètodes requereixen petits ajustaments, ja que si ho proveu, comprovareu que pot haver una errada en una unitat, així que més endavant ja aniré desenvolupant-los.

    N'estic ben segur que sempre que us heu trobat calculant una divisió i heu arribat, finalment, a trobar la coneguda repetició infinita de xifres -o bé, al residu 0 d'una divisió exacta, que també es podria considerar un decimal de període zero- us heu sentit tan alliberats de la pesada càrrega de seguir operant, que no us heu fixat en que aquelles cadenes de xifres amaguen una bellesa especial i sorprenent. O potser, només m'ho sembla a mi què sóc un boig del càlcul?
    Suposo que la majoria de vosaltres, internautes perduts en aquesta pàgina de divagacions numèriques, ja sabreu que existeixen dos tipus de decimals periòdics:
  (Nota: Sembla mentida que no es pugui escriure un període amb l'ordinador, em queixaré a en Bill Gates :-(
            I ara què poso jo en lloc de la simpàtica "barretina" dels nombres periòdics?
            Doncs, he pensat de posar-los entre accents, subratllats i en cursiva.
            I si algú té una solució millor que m'ho digui, que si m'agrada, li regalaré alguna coseta...)
    · Purs: quan el període comença just darrera de la coma:  6,´83` ; 25,´3` ; etc.
    · Mixtes: quan entre la coma i el període trobem varies xifres:  4,1´6` ; 7,50´48`
    En general els períodes purs s'obtenen a partir dels nombres primers i els mixtes dels seus múltiples combinats amb les xifres 2 ó 5.
    Fetes aquestes puntualitzacions, passem a observar les xifres periòdiques obtingudes amb diversos nombres primers:
    Si dividim per 3 es poden obtenir els períodes ´3`, ´6` o divisió exacta (de fet 1 = ´9`), aquest cas és força conegut, i l'únic que ens pot fer pensar és que els períodes són tots múltiples del
´3` que podríem considerar com la base.
    Els nombres 9 i 11 semblen tenir una cert "idil·li" entre ells, no us ho creieu?
    Doncs, ara veureu el que es diuen l'un a l'altra:
    NOU: "Mira Onze, jo sóc la xifra unitària més gran que existeix!" (en sistema decimal)
    ONZE: "Escolta Nou, jo sóc el número màxim de dues xifres que es pot escriure en tots els
                sistemes de numeració possibles!*. A més a més, jo sóc capaç d'ensenyar millor la
                teva taula de multiplicar que tu mateix!"
(*) Efectivament, té tota la raó, perquè des del sistema binari fins a qualsevol altre, sempre trobarem el número 11, amb diferents valors, es clar!...
    NOU: "Què dius ara, jo sóc l'únic número que pot construir la "sagrada taula del 9", l'única
                on tots els seus nombres són "múltiples sincers" i on a cada pas les desenes
                augmenten (+1) i les unitats disminueixen (-1). Cap altra n'és comparable!.
                Com pots, doncs, afirmar que tu la pots ensenyar millor?"
    ONZE: "Així és, perquè quan tu la construeixes només dones la solució un cop, jo en canvi
                sóc capaç de fer la teva taula donant els resultats repetits infinites vegades!"
    NOU: "No en parlis més i demostra-ho, que de bocamolls n'està ple el món!"
    ONZE: "Observo una gran incredulitat per la teva part, escoltem bé, doncs.
                Quan tu fas la teva taula et vas multiplicant per les altres xifres, jo en canvi utilitzo la
                divisió, sí noi sí, construeixo la teva taula, infinitament repetida, DIVIDINT!!
      Així, 1/11 = 0,09090909... = 0,´09` ; 2/11= 0,181818... = 0,´18` ;3/11 = 0,272727 = 0,´27`
  i successivament fins al 9/11 = 0,8181... = 0,´81` i 10/11 = 0,909090 = 0,´90`
  Ja han de ser "despistats" si no l'aprenen amb mi que els hi repeteixo infinites vegades!
               I com ja sabràs, també sóc l'únic número capaç de clonar xifres ... "
    NOU: "Ho he de reconèixer, ets segurament el millor mestre de la taula del 9.
               Però tant que presumeixes de ser capaç de clonar xifres, ja t'agradaria a tu poder
               clonar un número infinitament, fins i tot tu pretenies ser una xifra repetida indefini-
               dament i pobret meu, et vas quedar només en dues! Segur que tens enveja de l'1111...
               En canvi jo sóc capaç de clonar qualsevol xifra per sí mateixa fins a l'infinit.
               Ho vols veure?  1/9 = 0,11111... = 0,´1` ; 2/9 = 0,2222... =0,´2` ; 8/9 = 0,´8`
               Sóc el rei de la clonació. Ai, si jo hagués enganxat a la pobre 'Dolly'!"
    De debò que en el fons s'estimen, però, es distreuen així! ...   (continuarà)

   La divisió entre 7 dóna lloc a números decimals amb un període de sis dígits, és el primer dels nombres que tenen la "periodicitat de cicle complet", una característica prou especial i curiosa. Veiem en què consisteix:
  1 / 7 = 0,142857142857... = 0,´142857` ; 2 / 7 = 0,´285714`  ;  5 / 7 =  0,´714285` ; etc.
    És evident que en tots els casos es repeteixen les xifres del període, només canvien d'ordre.
    És a dir, compleixen un cicle complet i tancat. Això pot semblar poc interessant, però si provem a multiplicar les xifres d'aquest període resultant, 142857, per altres nombres, tindrem una petita sorpresa, ja que sempre és repeteixen aquestes xifres en una rotació.
   142857 x 2 = 285741  ;  142857 x 3 = 428571  ;  142857 x 4 = 571428
           142857 x 5 = 714285  ;  142857 x 6 = 857142  ;  142857 x 7 = 999999
  Ambel producte per 7 culmina la sèrie amb un triomfal 999999 !!
  Si es prova amb nombres majors que 7, llavors torna a sortir la sèrie però caldrà sumar la primera i la darrera xifra:  142857 x 8 = 1142856  ;  142857 x 9 = 1285713
  Aquesta petita meravella del càlcul no és un fenomen aïllat, de fet és habitual en altres nombres primers, com el 17, que té un període de 16 xifres:
  1 / 17 = 0,´0588235294117646`  ;  2 / 17 = 0,´1176460588235294` ; etc.
    I que també podria tenir el fenomen dels productes cíclics, si no fos per petites irregularitats:

    També ho trobem al 19, que té un període de 18 xifres:
  1 / 19 = 0,´0,052631578947368421`  ;  2 / 19 = 0,´105263157894736842` ; etc.
    I que acompleix totalment l'esmentat fenomen dels productes cíclics, com és pot comprovar:

  Podríem continuar amb aquest capítol indefinidament, exposo un parell d'exemples més:
    El número 23 té un període de 22 xifres: 0,´0434782608695652173913`
  El número 29 té un període de 28 xifres: 0,´0344827586206896551724137931`
  La conclusió és clara, la majoria dels nombres primers donen lloc a decimals periòdics amb un cicle complet de n - 1 xifres.
    Potser alguns de vosaltres haureu pensat: "Aquest paio és supersticiós i s'ha deixat el 13!"
    Doncs no!, si estimen els nombres, els hem d'estimar tots i no fer cas del que diu la gent...
  (per cert avui, que escric això, és divendres 13)
  El número 13 és el primer dels nombres que tenen la "periodicitat de cicle parcial" i que consisteix en què apareixen dos tipus diferents de períodes, amb la meitad de llargària, depenent de quins siguin els dividends utilitzats, és a dir:
  1 / 13 = 0,076923076923 = 0,´076923` ;  2 / 13 = 0,153846153846 = 0,´153846`
    3 / 13 = 0,230769230769 = 0,´230769` ;  5 / 13 = 0,384615384615 = 0,´384615`
    Si ara provem a fer els productes cíclics, trobarem que ho acompleix perfectament, i que els resultats obtinguts són les xifres d'un o de l'altre tipus de període:
    076923 x 2 = 153846 ; 076923 x 3 = 230769 ; 076923 x 9 = 692307
    I com ja us podeu imaginar: 076923 x 13 = 999999
    Tot perfecte un altre cop!, així que de supersticiós res, que el 13 també fa les coses com cal.
    Altres nombres que acompleixen la "periodicitat de cicle parcial" són:
    El 31, que té també un període fraccionat en dues parts de 15 xifres::
        Ex. 1 / 31 = 0,´032258064516129` i 3 / 31 = 0,´096774193548387`
    El 43, amb un període fraccionat en dues parts de 21 dígits:
        Ex. 1 / 43 = 0,´023255813953488372093`  i   2 / 43 = 0,´046511627906976744186`
  El 53, amb un període fraccionat en quatre parts de 13 dígits::
  Ex. 1 / 53 = 0,´0188679245283` ; etc.
    Bé ho deixo aquí, les idees ja han queden prou exposades...
    Em sembla que aquest capítol ens ha permès descobrir una mica més que els nombres semblen tenir una ànima lògica i bella amagada sota una freda aparença, o no?

    Fa un temps va sortir en un concurs de TV on es feien apostes (...) un calculista que va fer una demostració en la qual assegurava que era capaç de calcular en segons les arrels cúbiques o cinquenes amb solucions enteres de l'1 al 100.
    Va aconseguir superar l'aposta i va deixar bocabadat a més d'un ...
    Potser ara us sorprendria si us digués que el que va fer era tan senzill que, amb una petita estratègia i una mica de pràctica, també és a l'abast de qualsevol aficionat al càlcul...
    Començaré per les arrels cinquenes, en primer lloc cal escriure (i memoritzar) les potències cinquenes dels nombres de l'1 al 9:
 

    Podem observar que les potències cinquenes dels nombres de l'1 al 9 acaben en la mateixa xifra que ells mateixos, és a dir, a partir de la xifra final d'un número podem deduir que la seva l'arrel cinquena coincideix amb la última xifra del número (si la solució és un enter).
    El següent pas a fer és dividir el nombre donat en dues parts, una composta per les 5 últimes xifres i l'altre per la resta de xifres que quedin (donat que 10⁵ = 100.000).
    Per a obtenir la xifra corresponent a les desenes només caldrà veure entre quines dues potències cinquenes es troba la part del número donat que ens queda a l'esquerra, la desena és, doncs, la xifra inferior d'aquest interval.
    La xifra de les unitats és idèntica a la xifra final del número donat.

    Ex.  Per a calcular l'arrel cinquena del número 1.073.741.824 es fa el següent:
    · Dividim el número en dues parts contant 5 xifres des del final   => 10737  i  41824
    · Com que el 10737 està comprès entre 6⁵ = 7.776 i 7⁵ = 16.087 =>  la desena és 6
    · Com que el 41824 acaba en 4 aquesta és la xifra de les unitats.
    · Per tant, l'arrel cinquena de 1.073.741.824  és igual a 64

    Passem ara a les arrels cúbiques, en primer lloc cal escriure (i memoritzar) les potències terceres o cubs dels nombres de l'1 al 9:
 

    Observem ara que els cubs dels nombres de l'1 al 9 acaben tots en xifres diferents i que no és repeteixen en cap cas.
    Lògicament això ens permetrà, també, deduir fàcilment la xifra de les unitats de les arrels cúbiques de resultat enter, ja que no hi ha cap xifra repetida.
    El següent pas és dividir el nombre donat en dues parts, una composta per les 3 últimes xifres i l'altre per la resta de xifres (donat que 10³ = 1.000).
    Per a obtenir la xifra corresponent a les desenes només caldrà veure entre quines dues potències terceres es troba la part del número donat que ens queda a l'esquerra, la desena serà, doncs, la xifra inferior d'aquest interval.
    La xifra de les unitats és calcula tenint en compte en quina xifra acaben els cubs, així:
    Els nombres: 1, 4, 6 i 9 acaben en la mateixa xifra que ells mateixos.
    Mentre que el 2 amb el 8 i el 3 amb el 7 s'inverteixen entre ells, és a dir, els que acaben en 2 tenen per xifra final del seu cub el 8, els que acaben en 3 tenen per xifra final del seu cub el 7 i a l'inrevés.

     Ex.  Per a calcular l'arrel cúbica del número 658.503 es fa el següent:
    · Dividim el número en dues parts contant 3 xifres des del final => 658  i  503
    · Com que el 658 està comprès entre 8³ = 512  i 9³ = 729 => la xifra de les desenes és 8
    · Com que el 503 acaba en 3 que és com ho fa 7³ = 343, llavors la xifra de les unitats és 7
    · Per tant, l'arrel cúbica de 658.503 és igual a 87

    Aquest mètode és vàlid per a totes les arrels d'índex imparell, si tenim en compte que hem de dividir els nombres a calcular en dues parts la de la dreta sempre de la mida de l'índex de l'arrel, és a dir, per les arrels setenes en dues parts comptant 7 xifres des de les unitats, etc.
   I considerant també la relació que hi ha entre xifra de les unitats del número i la de la seva potència.
    Per les potències cinquena i novena coincideixen les unitats del número amb les de la seva potència:    Ex. 3⁹ = 19.683, 8⁹ = 134.217.728, 2⁹= 512, etc.
    Les potències tercera i setena repeteixen el mateix esquema exposat abans per als cubs, és a dir: 2⁷ = 128, 3⁷ = 2.187, 4⁷ = 16.384, 8⁷ = 2.097.152, 9⁷ = 4.782.969 etc.

    Però què passa amb les arrels d'índex parell?
    Doncs, que presenten la dificultat de que les xifres finals de les seves potències no són úniques sinó que es repeteixen i això impedeix calcular fàcilment la xifra de les unitats seguint el mètode exposat.
 

    Òbviament podríem aplicar només la primera part del procés i dividir el nombre en dues parts que ens permetrien calcular les desenes, però per la xifra de les unitats no tenim cap criteri senzill de càlcul ens quedaríem a mitges.
    L'únic consol que podem tenir per les arrels quadrades i quartes és que disposem d'un algoritme de càlcul per a resoldre-les (l'arrel quarta és, lògicament, l'arrel quadrada de l'arrel quadrada), mentre que per les altres arrels no n'hi ha cap (o si?)
  Jo n'he dissenyat un per les arrels cúbiques, però ni és senzill, ni acaba d'ésser perfecte.

    Per cert, sabeu d'on procedeix l'algoritme o mètode de càlcul de les arrels quadrades?

    El càlcul de les arrels quadrades, sobre tot des de la popularització de les calculadores, ha estat progressivament oblidat per la majoria de la gent, i a més quasi tothom ho recorda com un mètode farragós de fer. Reconec que en una societat en la qual cada dia es disposa de més mitjans per a tenir una vida confortable l'ús de les calculadores és força lògic, però fins al punt de no recordar o no saber fer certes operacions de càlcul, em sembla excessiu...
    Recordaré ara breument com es calculen les arrels quadrades.
    Ex. Càlcul de l'arrel de  V¯86.492¯ :
    · En primer lloc separem els nombres de 2 en 2 començant pel final: V¯8'64'92¯
    · Comencem pel primer grup de xifres obtingut, en aquest cas el 8
   · Ara hem de cercar un número que a l'elevar-lo al quadrat (o multiplicar-lo per ell mateix) doni o s'acosti al 8 sense passar-se: 2² = 4  i  3² = 9, per tant, el 2 i ho restem.
    · Baixem les dues xifres següents: 64

    · Ara hem de doblar el resultat (provisional) i afegir un número pel que també hem de multiplicar i trobar el 464 o acostar-nos sense que ens passem, és a dir:
    El doble de 2 = 4  =>  4_ x _ = 464 ?  =>  49 x 9 = 441
    · Ho restem i baixem les dues últimes xifres.
    · Tornem a repetir aquest procés de doblar el resultar i afegir un número, etc.:

    Un cop fet aquest recordatori, voldria comentar l'origen o demostració d'aquest procediment.
    Suposem que tenim un número de dues xifres ab.
    El podem expressar com un binomi (a + b) i el seu quadrat serà: