Avui és un dia especial a Númerolandia, perquè és la "festa castellera"...
    Sí amics, sí! Què us pensàveu que castellets només se'n fan a Catalunya, doncs, ja veieu que no!
    El nombres són uns apassionats dels castells i cada cop que en tenen ocasió organitzen una trobada.
    Hi participaran diverses colles numèriques, algunes d'elles com les famílies del 9 i de l'11, rivalitzen des de temps immemorial, sempre estan preparant noves exhibicions i us garanteixo que us deixaran ben sorpresos de la seva habilitat castellera.
    També hi tenen cabuda a aquesta festa altres colles com la del 8 i d'altres actuacions no menys brillants. Prepareu-vos per a gaudir dels "castellers numèrics" que ja comencem!
    La primera colla participant serà la de l'11, que ens farà primer un castell clàssic amb les seves potències anomenat "el triangle de Tartaglia". I després un altre amb les potències dels 11111... denominat "crescendo-decrescendo"
    La clau per a comprendre el primer castell és que sumant les dues xifres superiors el resultat és situa a sota en diagonal, és a dir, 1+1=2; 1+2=3, 2+1=3, etc. i el pis s'acaba flanquejant amb un 1 a cada banda.

    11⁰ =             1                                                        1² =                        1
    11¹ =             11                                                      11² =                     121
    11² =           121                                                      111² =                 12321
    11³ =           1331                                                    1111² =            1234321
    11⁴ =          14641                                                 11111² =          123454321
    11⁵ =         161051   >> 15(10)(10)51               111111² =       12345654321
    11⁶ =        1771561                                            1111111² =     1234567654321
    11⁷ =       19487171   >> 18(14)86(11)71      11111111² =  123456787654321
                                                                              111111111² = 12345678987654321

    És ara el torn de la colla del 9 que ens presenta els castells: "dels 8 en descens" i el "dels 1 en cadena", es tracta de dues formacions espectaculars amb solucions repetitives del número indicat.

             9 x 0 + 8 =               8                    (1 - 1) : 9 =                   0
            9 x 9  + 7 =              88                  (11 - 2) : 9 =                  01
           9 x 98  + 6 =            888                 (111 - 3 ) : 9 =               012
          9 x 987  + 5 =           8888               (1111 - 4 ) : 9 =             0123
         9 x 9876  + 4 =          88888             (11111 - 5 ) : 9 =           01234
        9 x 98765  + 3 =         888888           (111111 - 6 ) : 9 =         012345
       9 x 987654  + 2 =        8888888         (1111111 - 7 ) : 9 =       0123456
      9 x 9876543  + 1 =       88888888       (11111111 - 8 ) : 9 =      01234567
     9 x 98765432  + 0 =      888888888     (111111111 - 9 ) : 9 =    012345678
    9 x 987654321  + (-1) = 8888888888   (1111111111 - 10 ) : 9 = 0123456789

    Seguidament surten al centre de la plaça la colla del 7 i la colla del 8 i ens obsequien amb els següents castells: "la torre dels 9" i "el decreixent-creixent"

          1 x 7 + 2 =                 9                          (9 - 1) : 8 =            1
         14 x 7 + 1 =               99                      (98 - 2) : 8 =            12
        142 x 7 + 5 =             999                    (987 - 3) : 8 =          123
       1428 x 7 + 3 =           9999                 (9876 - 4) : 8 =         1234
      14285 x 7 + 4 =         99999               (98765 - 5) : 8 =       12345
     142857 x 7 + 0 =       999999            (987654 - 6) : 8 =      123456
    1428571 x 7 + 2 =     9999999          (9876543 - 7) : 8 =     1234567
   14285714 x 7 + 1 =   99999999        (98765432 - 8) : 8 =   12345678
  142857142 x 7 + 5 = 999999999      (987654321 - 9) : 8 = 123456789

    Per acabar les colles del 3 i del 6 actuaran plegades i ens faran un parell de castells de bella factura sobre resultats amb xifres repetitives:

        (36 + 1) x 3 =                      111                           (36 + 1) x 6 =                   222
      (3366 + 1) x 33 =                111111                      (3366 + 1) x 66 =              222222
    (333666 + 1) x 333 =          111111111                (333666 + 1) x 666 =        222222222
  (33336666 + 1) x 3333 =    111111111111         (33336666 + 1) x 6666 =   222222222222
(3333366666+1) x 33333 = 111111111111111 (3333366666 +1) x 66666 =222222222222222

    He decidit denominar amb aquest nom a una sèrie de nombres que elevats al quadrat compleixen una curiosa norma que afecta plenament a la seva arquitectura interna, és a dir, a la seva forma.
   És tracta, sens dubte, d'una petita meravella que, a part de copsar positivament la nostra atenció, ens ajudarà a poder calcular-los o predir el seu resultat de manera quasi immediata.
    Només calen uns quants exemples per a entendre-ho ràpidament:
            6² = 36                            13² = 169                                19² = 361
          66² = 4356                      133² = 17689                          199² = 39601
        666² = 443556                1333² = 1776889                    1999² = 3996001
      6666² = 44435556          13333² = 177768889              19999² = 399960001
    66666² = 4444355556    133333² = 17777688889        199999² = 39999600001

    Aquesta propietat s'observa també en nombres d'altres desenes, nombre més grans, etc. no és el fet de tenir cap o una desena la clau, el que sí es pot afirmar és que es tracta d'una propietat exclussiva dels nombres acabats en 3, 6 i 9:
           39² = 1521                       46² = 2116                               53² = 2809
         399² = 159201                 466² = 217156                         533² = 284089
       3999² = 15992001           4666² = 21771556                   5333² = 28440889
     39999² = 1599920001     46666² = 2177715556             53333² = 2844408889

    Fins aquí només hem vist nombres que al repetir la última xifra i elevar-los al quadrat generen i intercalen un parell de sèries de xifres idèntiques, la primera entre la unitat i la desena i la segona entre aquesta i la centena.
    Però aquest fenomen també es produeix si el que repetim és la primera xifra, sempre, és clar, que siguin 3, 6 o 9:
          32² = 1024                          91² = 8281                              65² = 4225
        332² = 110224                    991² = 982081                        665² = 442225
      3332² = 11102224              9991² = 99820081                  6665² = 44422225
    33332² = 1111022224        99991² = 9998200081            66665² = 4444222225

    Com podem observar en aquest tipus de nombres les sèries de xifres idèntiques es troben intercalades entre les desenes i les centenes per una banda i davant dels milers per l'altra.

    Hi ha casos de nombres que repeteixen la segona sèrie de xifres intercalades a partir del nombre de quatre dígits, donat que el quadrat del nombre de tres dígits pateix un petit canvi provocat per les xifres portades en el producte, però a partir d'aquest punt sempre segueixen la norma exposada:
            26² = 676                            59² = 3481                                93² = 8649
          266² = 70756                      599² = 358801                          933² = 870489
>>   2666² = 7107556                5999² = 35988001                    9333² = 87104889
      26666² = 711075556          59999² = 3599880001              93333² = 8711048889
    266666² = 71110755556    599999² = 359998800001        933333² = 871110488889

      Per a acabar amb els exemples d'aquest petit estudi comentaré que si provem a repetir les xifres inicials i finals també trobarem aquesta propietat sempre, és clar, que utilitzem exclusivament les xifres 3, 6 o 9:
                    39² = 1521                                         69² = 4761
            3399² = 11553201                               6699² = 44876601
        333999² = 111555332001                   666999² = 444887666001
    33339999² = 1111555533320001       66669999² = 4444888766660001

    En aquest cas observem que no són dues sinó quatre les sèries de xifres intercalades entre cadascun dels dígits del nombre base, com podeu veure les he distingit en dos colors per a facilitar la comprensió de la seva correspondència amb les xifres que les generen.

    També observem aquesta curiosa propietat pels nombres (base) de més de dues xifres, com el 103², 1033², 10333²,...     305², 3305², 33305², etc.

    De tot aquest estudi podem extreure algunes conclusions:
    · Els quadrats dels nombres que repeteixen les xifres 3, 6 o 9, tant si és al començament, al final o a les dues bandes, presenten la curiosa propietat de generar i intercalar sèries de xifres idèntiques.
      La raó és la següent: Al efectuar els productes entre aquestes xifres tenim que:
        3 x 3 = 9  i no em porto cap
        6 x 6 = 36 i em porto 3, per tant, 6 més les 3 portades són 9
        9 x 9 = 81 i em porto 8, per tant, 1 més les 8 portades són 9
        3 x 6 = 18 i em porto 1, per tant, 8 més la 1 portada són 9
        9 x 6 = 54 i em porto 5, per tant, 4 més les 5 portades són 9, etc.
      (Les altres xifres no tenen aquesta característica)

      Aquests 9 es troben distribuïts per tot el producte d'una manera uniforme i això provoca la sèrie repetitiva de xifres...

    · El nombre de xifres intercalades és sempre una menys que el de el de dígits repetits, és a dir, el 4999² té dues sèries de 2 xifres intercalades, el 533333² en té dues sèries de 4, etc.

    · En el cas de que la xifra repetida sigui la final (nombres del tipus ab², abb², abbb²,...) podem saber la xifra corresponent a la sèrie repetida a la banda esquerra, és a dir, entre la unitat i la desena:

    Pel 3 sempre es genera una sèrie de 8
    Pel 6 sempre es genera una sèrie de 5
    Pel 9 sempre es genera una sèrie de 0       

    La raó la trobem en aquestes operacions:
  3 x 3 = 9, ara li sumen 9, resultat de les operacions vistes abans, 9 +9 = 18, la xifra és el 8
  6 x 6 = 36, 36 + 9 = 45, la xifra repetida és el 5
  9 x 9 = 81, 81 + 9 = 90, la xifra repetida és el 0

    · Per poder saber la xifra corresponent a la sèrie repetida a la banda esquerra (nombres del tipus ab², abb², abbb²,...) trobem més dificultats i, per molt, que es pot demostrar, només indicaré que són les següents:

    Pel 9 sempre es genera una sèrie de 9.
    Pel 3 es generen sèries de 7, 4 o 1 en aquest ordre: 7, 4, 1, 7, 4, 1, 7, 4, 1 segons la desena que els acompanyi, (13) => 7, (23) => 4, (33) => 1, (43) => 7, etc.
    Pel 6 es generen sèries de 7, 1 o 4 en aquest ordre: 7, 1, 4, 7, 1, 4, 7, 1, 4.