Sempre m'ha fascinat la imatge d'un polígon regular inscrit en un
cercle que va augmentant el seu nombre de costats i es va acostant
progressivament a la figura del cercle fins a, pràcticament, convertir-se o
confondre's amb ell.
Per això volia fer un petit estudi d'aquest procès, analitzant d'una manera gradual, fins a arribar a una seguit
de conclusions de com es produeix, dels canvis que hi tenen lloc i obtenir,
finalment, una sèrie de resultats que simplifiquin el càlcul
de les qüestions implícites en ell.
Imaginem
d'entrada, i per a començar, un triangle equilàter inscrit
en un cercle de radi, per exemple, igual a 1.
Ara es podrien plantejar una sèrie de qüestions:
- Quant mesuren els costats i els angles del triangle?
- Quina àrea ocupa aquest triangle?
- Quina àrea queda entre el cercle i el triangle?
Imaginem un quadrat o d'altres polígons:
- Podem trobar una norma per a resoldre aquests problemes?
De fet us recomano, si us motiva aquest tema, que tracteu de trobar algunes
de les respostes a les qüestions proposades abans de seguir endavant.
Donat que alguns de vosaltres podrieu ser profans en aquesta matèria,
d'entrada, definiré alguns aspectes geomètrics de manera
breu.
-
Per a calcular el que mesuren els angles interiors d'un polígon
regular es procedeix així:
· La suma total dels angles d'un polígon és igual
al nombre de costats menys 2 i multiplicat per 180º, és a dir: Suma
d'angles = (n - 2)· 180º
(n és
el nombre de costats)
· En el cas dels polígons regulars, podem calcular el que
mesura cada angle interior dividint el resultat anterior entre el nombre
d'angles o costats que té, és a dir:
angle
= (n - 2)· 180º / n
Ex. Per un octàgon regular (vuit costats) la suma dels seus angles
interiors és:
(8
- 2)· 180º = 6 · 180º = 1080º
I
cadascun dels seus angles mesura:1080º
/ 8 = 135º
- L'apotema d'un polígon és l'altura de cadascun dels triangles
en que podem descomposar un polígon i que tenen per vèrtex
el centre del polígon i els dos extrems de cada costat.
- El perímetre d'un polígon és la suma total del que
mesuren els seus costats.
En el cas dels polígons regulars es pot aplicar la següent
fórmula:
P
= n · c (n = nombre
de costats, c = longitud dels costats)
- L'àrea d'un polígon de més de 4 costats es calcula
fent el semiproducte del seu perímetre
pi per l'apotema
ap:
A = pi ˇ ap / 2 -
La longitud d'una circumferència és igual al doble del radi
per PI:
L = 2 · PI · r -
L'àrea d'un cercle és igual al producte de
PI pel radi al
quadrat: A = PI · r2
-
Les funcions trigonomètriques bàsiques, sempre aplicades
als triangles rectangles, són:
· El sinus de l'angle, que és el quocient entre el catet
b oposat a l'angle i la hipotenusa
h:
sin ß = b / h
· El cosinus de l'angle, que és el quocient entre el catet
a contigu a l'angle i la hipotenusa
h: cos ß = a / h
· La tangent de l'angle, que és el quocient entre el catet
b oposat a l'angle i el catet
a contigu, o bé el quocient
entre el sinus i el cosinus de l'angle: tg ß
= b / a o bé tg ß
= sin ß / cos ß
Gràcies
a les calculadores científiques el càlcul d'aquestes funcions
és força senzill i la seva aplicació en la resolució
de problemes geomètrics pot simplificar molt la qüestió.
¥
NOMBRES TRANSCENDENTS
Història del número
pi
El número
pi ha
fascinat a la llarg dels temps a nombrosos matemàtics, científics
o simples aficionats al càlcul, fins al punt de que alguns li van
dedicar gran part de les seves vides en trobar-lo, calcular-lo, etc.
El número pi
no és un nombre enter ni es pot expressar com el resultat d'una
fracció, sinó que no té límit, és a
dir, té infinits decimals i, per tant, mai no es podrà calcular
completament, pertany al conjunt dels nombres reals, però donat
que no és l'arrel quadrada de cap número, es diu que és
un "número transcendent".
Sembla
que fou W. Jones el primer que va emprar aquesta lletra grega pi per
a designar-lo al seu llibre "Introducció a les matemàtiques"
(1.706), donat que és la inicial de la paraula perifereia
(circumferència).
Els egipcis
ja coneixien que la relació entre el diàmetre i la longitud
d'una circumferència no es podia calcular amb exactitud i la van
expressar com 3 + 1/6 o 3,16.
Molts
segles després el gran Arquímedes de Siracusa va dissenyar
el mètode dels polígons inscrits i circumscrits per a calcular-lo,
que comentaré més endavant.
Així
va obtenir el valor de pi =
3 + 1 / 7 o
22 / 7 = 3,1428
Ptolomeo
va calcular que pi =
3 + 1 / 8 + 1 / 60 = 3,14166 Els
matemàtics àrabs i xinesos havien trobat que
pi
era
igual a 3,1416
Aquest
procediment va estar vigent fins al segle XVII, llavors els matemàtics
van començar a dissenyar algoritmes de càlcul, en els que
no intervé la circumferència, cada cop més originals
i eficients i els progressos van estar relativament ràpids, jo en
destacaria alguns com:
pi
=
2
x 2 x 4 x 4 x 6 x 6 x ...
Algoritme de Wallis
2
3 x 3 x 5 x 5 x 7 x 7 x ...
pi
=
1 + 1
+ 1
+ ...
Algoritme de Leibniz
8
1 x 3 5 x 7 9 x 11
p2
=
1 + 1 + 1 + 1
+ ... + 1 ,
és a dir, p2
= 6 · S
1/n2
Algoritme d'Euler
6
4 9 25
n2 Així
el nombre de decimals trobats de pi va
anar augmentant sense parar:
Van Ceule
en va trobar 35 que va fer gravar a la seva tomba.
Sharp va arribar a 72,
Lagny: 127, Vega: 139, Rutherford va arribar als 208
en 1.841 i a 440 en 1.872, però el britànic William
Shanks, que hi va dedicar 20 anys de la seva vida, va establir la última
gran marca dels calculistes, diguem-ne que manuals, al arribar al decimal 707 al
1.874. Fou homenatjat com un heroi i es van escriure sota la cúpula
del palau de la Découverte de Paris.
Malauradament
a l'any 1.947, D.F. Ferguson va descobrir que el decimal 528 era incorrecte,
i òbviament tots els següents...
A partir
de la dècada dels 40, l'aparició dels ordinadors ha permès
aprofundir en el càlcul de pi ràpidament,
així al 1.949 es va arribar als 2.036 decimals, al 1.959 ja eren
10.000, al 1.974 s'aconseguia arribar al 1.000.000. Un dels últims
rècords ultrapassava els 6 mil milions al 1995. Aquí
teniu, a títol informatiu, els 100 primers decimals de pi que,
òbviament, no aplicareu en els vostres problemes geomètrics,
però que sempre són curiosos de veure i, fins i tot, us pot
servir d'entrenament memorístic. S'hi atreviu?
p
= 3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164
0628620899 8628034825 3421170679 ...
Un
senzill algoritme de càlcul del número pi
Per
acabar aquest capítol dedicat al número p, us proposo un algoritme bastant senzill per a calcular de manera aproximada
una bona sèrie de decimals.
El procediment
està basat en el mètode dels polígons inscrits i circumscrits d'Arquímedes, però, és clar, amb l'avantatge actual
de les calculadores científiques.
D'aquesta
manera ens acostarem al mètode de càlcul de pi que
va estar vigent durant quasi dos mil anys i el podrem comprendre millor.
Aquest procediment consisteix en calcular els perímetres dels dos polígons regulars un inscrit i l'altre circumscrit i comparar-los amb la longitud
de la circumferència, d'aquesta manera podem trobar dos valors diferents
de p,
un inferior pi
corresponent
al polígon inscrit i l'altre superior
pc
obtingut
amb el circumscrit.
Llavors podrem concloure que pi
és la mitjana aritmètica d'ambdós valors trobats:
p
= (pi
+ pc)
/ 2
La longitud de la circumferència, com ja sabeu, és
L =
2 · p·
r El perímetre
d'un polígon regular inscrit és: pi = n · c
c = 2 · r · cos
a
(expressant
la mesura del costat c en funció del radi r)
i n és el nombre de costats del polígon
Per a simplificar el càlcul es pren com a radi el valor r = 1
Substituint s'obté: pi = 2 · n · cos
a
L'angle a és
la meitat dels angles interiors b
del polígon regular que podem obtenir amb la fórmula vista
anteriorment:
b =
(n - 2) · 180º / n, a = b
/ 2
Si
ara igualem la longitud de la circumferència amb el perímetre
del polígon inscrit, obtenim el valor
pi,
és a dir, el límit o valor inferior de
pper
a aquest polígon:
2
· n · cos a =
2 · pi
=> pi
= n
· cos a
El perímetre
del polígon regular circumscrit és: P' = n · c'
c'
= 2 · r / tg a
(fixeu-vos
que pel polígon circumscrit l'apotema ap'
és igual al radi)
Per tant: P' = 2 · n / tg
a
Igualant
la longitud de la circumferència amb el perímetre del polígon
circumscrit, s'obté el valor pc,
és a dir, el límit o valor superior de
p:
2
· n / tg
a =
2 · pc
=> pc
= n
/ tg a
Finalment
obtenim que pi
= (pi
+ pc)
/ 2
Vegem
un exemples aclaridors:
En el
cas de l'octàgon de la figura, i amb ajut de la calculadora científica,
tenim que:
n
= 8
b =
(8 - 2) · 180º / 8 = 135º, a = b
/ 2 = 67,5º
pi
= 8
· cos 67,5º = 3,061467458920718173827 pc=
8
/ tg 67,5º =
3,313708498984760390413
pi
= (pi
+ pc)
/ 2 = 3,1875879789527392821205
Un
valor de
p
encara
no gaire correcte.
Però si ara provem amb un polígon regular de n = 10.000
costats, veurem que: b =
(10.000 - 2) · 180º / 10.000= 179,964º, a = b
/ 2 = 89,982º
pi
= 10.000
· cos 89,982º = 3,14159260191266569297934647928899 pc=
10.000
/ tg 89,982º =
3,14159275694405291972467077191176
pi
= (pi
+ pc)
/ 2 = 3,14159267942835930635200862560038
Un
valor que ja és correcte fins al setè decimal, per tant,
força interessant...
Lògicament es pot seguir buscant més precisió augmentant
el nombre d'angles del polígon regular que prenguem com a base del
càlcul, però això, si us ha agradat el tema, ja és
feina d'investigació vostre!
El
número e:
Aplicacions i curiositats
Autora:
Bharti Pridhnani
El nombre e
és un nombre real, dintre d’aquests és irracional i transcendent,
la qual cosa vol dir que no és l’arrel de cap polinomi amb coeficients
de nombre racionals.
El seu valor és de 2,718281828459045...,
té infinits decimals i aquests no són periòdics.
El nombre e es
defineix com el límit quan n tendeix a infinit de la successió
(1+1/n)n , és a dir:
Una altra definició del nombre e
és el sumatori des de 0 fins a infinit de 1/ n! S’indica:
El nombre e
primer va ser estudiat pel matemàtic Leonhard Euler (1720) encara
que destaca més pel seu treball John Napier, l’inventor dels logaritmes
(1614).
Euler va ser el primer en utilitzar
la lletra e en 1727 per a aquesta constant, i també va calcular
fins a 23 decimals el 1748 utilitzant la fórmula del sumatori.
Més tard, W. Shanks va arribar
als 205 decimals al 1871, nombre que fou superat al 1884 per Boorman, que
en va calcular 346.
Amb l’arribada de les computadores
el càlcul es va simplificar i ràpidament els progressos foren
enormes, així:
· J. von Neumann i el seu grup van fer servir
l’ENIAC i van obtenir-ne 2.010 decimals el 1949.
· D. Shanks i J.W. Wrench en van trobar fins a
100.265 el 1961 amb la fórmula d’Euler en un IBM 7090. Es van trigar
2,5 hores.
· R. Nemiroff i J. Bonnell ja van arribar als
10.000.000 decimals el 1994
· Shigeru Kondo i X. Gourdon en van obtenir 12.884.901.000
l’agost del 2000, fent servir el programa de càlcul PiFast33 en
un Pentium III 800. Es van necessitar 167 hores.
Curiositats sobre el número
e
· La fórmula d’Euler:
En aquesta fórmula s’observen tres
tipus de nombres: e, p(pi)
i el número imaginari i,
és a dir, aquí intervenen les constants matemàtiques
més importants: 0, 1, e, pi, i
· La derivada de ex:
La derivada de ex
és ella mateixa, és la única funció real que
ho compleix, és a dir:
· Aproximació del nombre e
per mitjà de nombres racionals: Podem fer una aproximació del
nombre e per mitjà de
nombres racionals tot i que aquest és irracional:
Veurem ara uns quants exemples d'aplicacions
del número e en diverses
ciències, he escollit alguns que ens poden semblar més propers
a la nostre vida quotidiana i que potser us sorprendran:
· Intervenció del nombre e
en un assassinat: Una aplicació del nombre “e”
és poder determinar en un assassinat el moment de la mort.
Cal aplicar la llei de Newton sobre
el refredament que estableix que la velocitat a la que es refreda un cos
és proporcional a la diferència entre la temperatura de l’objecte
i la temperatura de l’entorn.
Això vol dir que quan un objecte
està molt més calent que l’aire exterior, la seva velocitat
de refredament és alta, de manera que es refreda molt ràpidament;
quan un cos està una mica més calent que el seu entorn, la
seva velocitat de refredament és baixa i es refreda lentament.
Una persona viva no es refreda contínuament.
El metabolisme humà assegura el manteniment de la temperatura del
cos a l’entorn dels 98,6º F. Però una persona morta deixa de
produir calor i, per tant, comença a refredar-se seguint la llei
de Newton que s’aplica amb la fórmula matemàtica següent:
T = Taire + (Tcos – T aire)
/ ek·t
On T és la temperatura, t és
el temps en hores després de mitjanit i k és una constant.
Ara aplicarem aquesta fórmula
en l’assassinat d’una persona. La seva temperatura en un moment donat després
de la seva mort era de 85ºF i la temperatura de l’aire era de 68ºF.
A les dues de la matinada la temperatura del cos havia disminuït fins
els 74ºF. A partir d’això ens interessa determinar quan aquesta
persona va morir. Sabem que la temperatura normal del cos és de
98,6ºF, llavors aquest és el moment de la seva mort. Així:
98,6º = 68º + (85º - 68º)
/ e0,5207·t
Operant els termes resulta: (30,6º)
· e0,5207·t
= 17º
e0,5207·t
= 17º / 30,6º = 0,5556
Per tant, si apliquem el càlcul
de logaritmes resulta:
0,5207 · t = L(e0,5207·t)
= L(0,5556) = -0,5878
t = -0,5878 / 0,5207 = -1,13
hores = -68 minuts
Amb això sabem, gràcies
a l’ajuda del nombre e, que aquesta persona va morir 68 minuts abans de
les dotze de la nit, és a dir, a les 22:52 h.
· A la matemàtica financera s'aplica
per calcular l'interés continu: La fórmula de l’interés
continu és: C = c ·
(1 + r / m)m·t on C =
capital final, c = capital inicial,
r = interés anual, m =
periodes de capitalització,
t
= nombre de periodes.
Veurem l’aplicació del nombre
e en la matemàtica financera a partir d’un exemple concret.
Vegem el que produeixen 1000 euros
a interés compost al 20% anual en un any. I a interés continu.
a) Primer cas: Quan el període
de capitalització és 1 any:
C = c · (1 +
r / 1 )1 = 1000 · (1 + 20/100)1 = 1000 ·
1,2 = 1200 euros
b) Segon cas: Quan el període
de capitalització és 1 mes, és a dir hi ha 12 períodes
de capitalització a l’any, llavors la fórmula és:
C = c · (1 +
r / 12 )12 = 1000 · (1 + 0,2 / 12)12 = 1219,39
euros
c) Tercer cas: Quan el període
de capitalització és 1 dia, és a dir hi ha 365 períodes
de capitalització a l’any tenim que:
C = c · (1 +
r / 365 )365 = 1000 · (1 + 0,2 / 365)365 =
1221,34
euros
Si ens fixem veiem que com més
períodes de capitalització a l’any hi ha, el capital final
produït és més gran, però sembla que tendeix
a estabilitzar-se al augmentar el nombre de períodes perquè
per exemple la diferència entre el capital final del segon i tercer
cas és més petita que la del primer i segon cas.
Quan el número de períodes
de capitalització m tendeix
a infinit, l’interés s’anomena continu.
La fórmula d’aquest tipus d’interés
és, per tant:
Ara farem una sèrie de transformacions
a fi de poder calcular aquest límit a partir del nombre e.
Si considerem que r / m = 1 / (m
/ r) i ara substiuïm m / r = n, i a més tenim en
compte que el límit d'una constant per una funció és
igual a la constant pel límit de la funció, obtenim:
C = c · lim
(1 + 1 / n)n·r·t
n->w
Que podem transformar seguint les
propietats dels límits en:
C = c ·[ lim
(1 + 1 / n)n]r·t
n->w I com hem vist a la definició
del número e:
Per la qual cosa arribem a la fórmula
final de l'interés continu:
C = c
· er·t
Llavors, si els 1000 euros els tenim ara
a interés continu, el capital final serà:
C = c · er·t=
1000 · e0,2·1
=
1221,40
euros
L’interés continu és,
per tant, el de màxima producció.
Havíeu imaginat algun cop que
els vostres estalvis estaven sota control del número e?
· A l’enginyeria:
Quan es penja una cadena o un cable
pels extrems, tendeix a adoptar una forma que es relaciona amb el nombre e.
La fórmula és la següent:
Així que, a partir d'ara, cada
cop que vegeu un cable, una corda, etc. penjat pels extrems, penseu que
el número e és
allà donant la curvatura corresponent!!
· El carboni 14: Per determinar d’una manera aproximada
l’antiguitat d’un objecte que està format per matèria orgànica
es mesura la quantitat de carboni 14 que conté. Els éssers
vius tenen una quantitat de carboni 14 constant.
Quan un ésser viu mor aquesta
quantitat es va desintegrant. La funció que regula la desintegració
es determina amb la següent fórmula:
Q = Qo · e-0,000124·t
On Q
és la quantitat de carboni 14 final, Qo
és la quantitat de carboni 14 inicial, t
és
el temps.
· Espiral logarítmica:
En els éssers vius hi ha corbes
relacionades amb el nombre e.
Una d’elles és l’espiral logarítmica la fórmula de
la qual és:
r = ea·j
· Absorció dels rajos X per la matèria.
Llei de Bragg-Pierce:
I = Io · e-m·x
on Iés
la intensitat final del raig després de travessar el cos, Io
és la intensitat inicial dels rajos X,
més el coeficient d’absorció, x
és el gruix del cos, .
· Creixement exponencial:
Una de les nombroses aplicacions en
biologia d’aquest nombre és el creixement exponencial. Aquest tipus
de creixement sorgeix quan no hi ha factors que limiten el creixement.
Poden experimentar un creixement exponencial les espècies pioneres
que arriben, per exemple, a zones despoblades com ara una superfície
boscosa en recuperació després d’un incendi.
En aquest tipus de creixement
hi ha la següent fórmula:
N = No · et
Això ens permet esbrinar
quina serà la població N
en un temps t a partir de la població
inicial No.
· Creixement logístic:
Un altre tipus de creixement és
el logístic. Moltes vegades les circumstàncies, com ara la
intervenció del govern o les condicions extremes de supervivència,
limiten el creixement. Aquest tipus de creixement ve donat per la següent
fórmula:
f(x)
= k / (1 + a · e-b·x)
On k,
a
i
b són constants que es
troben experimentalment, depenen de cada aplicació concreta.
Hi
ha moltes més aplicacions de fenòmens o situacions on intervé
el número e, però en sembla que després de llegir
aquest article -obtingut a partir del treball de recerca de l'alumne Bharti
Pridnani de Lloret- tindreu un concepte molt diferent d'aquest meravellós número
irracional i transcendent, però força desconegut, que és
el número e.