ELS FASCINANTS QUADRATS MÀGICS

     Els comencem a conèixer des de ben joves, un bon dia arriba algun amic o conegut amb ganes de fer-nos rumiar una mica o de deixar-nos en evidència i ens proposa resoldre, al temps que dibuixa un quadrat dividit en tres parts horitzontals i verticals, el següent:
     ”A veure si ets capaç de situar els nombres de l’1 al 9 en aquesta graella de 3 per 3 caselles de manera que totes les files, columnes i diagonals sumin 15”
com si això fos la última novetat en passatemps... (Pobre infeliç!!)
    I tu que potser desconeixies el “problemeta” vas i t’escarrasses el cap una bona estona fins a adonar-te que el número 5 ha d’anar al centre del quadrat i llavors, sense masses dificultats, s’arriba a una de les moltes solucions possibles. Suposo que la majoria de nosaltres hem acabat sortint airosos d’aquesta experiència, que més o menys va ocórrer d’aquesta manera...
    En el meu cas recordo que quan vaig veure la seva solució i em vaig assabentar que els hi deien “quadrats màgics”, em va provocar, des del primer moment, una gran curiositat. Així que no en vaig tenir prou i vaig buscar, dedicant unes bones hores, de resoldre el “quadrat màgic de 4 per 4”.
    Des de llavors he sentit una gran fascinació per aquest tema, però no ha estat fins a recentment que he fet una investigació més seriosa dels “quadrats màgics”, fruit de la qual és aquest article que he dividit en quatre seccions:
        1. Història i curiositats dels quadrats màgics.
        2. Característiques dels quadrats màgics i algoritmes de càlcul.
        3. Estratègies de resolució dels quadrats màgics, d’ordre senar o parell.
        4. Galeria de quadrats màgics.

1. HISTÒRIA i CURIOSITATS DELS QUADRATS MÀGICS

    Sembla que els xinesos foren els primers en descobrir les curioses propietats dels quadrats màgics, que ells anomenaven “Lo Shu”, i, probablement, foren també els seus inventors al menys uns cinc segles abans de la nostre era.
    Una llegenda explica que el primer Lo Shu fou revelat als homes dibuixada a la closca d’una extranya tortuga que va emergir del riu Lo, d’aquí el seu nom ja que Shu vol dir “riu”.
    En el I Ching, el clàssic llibre xinès de les Mutacions i endevinació, apareix aquesta imatge del Lo Shu:

                (imatge del Lo Shu)                                                       (Lo Shu en xifres modernes)

8
1
6
3
5
7
4
9
2

 

     Els xinesos, per tant, els hi van atribuir un caràcter místic i creien que era un símbol que reunia els principis bàsics que formaren l’Univers.
     · Els nombres parells simbolitzaven el principi femení o Yin.
     · Els nombres senars simbolitzaven el principi masculí o Yang.
     · El número 5 representa la Terra, al seu voltant estan distribuïts els quatre elements principals, l’aigua 1 i 6, el foc 2 i 7, la fusta 3 i 8, els metalls 4 i 9.
     A més van construir quadrats màgics de més grandària, n’hi documentats alguns d’ordre 6, és a dir, que tenen un engraellat de 6 per 6.

     A Khajuraho (Índia) un temple construït entre els segles XI i XII té un pilar rodejat per una quadrícula amb un quadrat màgic d’ordre 4 el qual seria equivalent –traduint els caràcters- a la següent imatge:
 

7
12
1
14
2
13
8
11
16
3
10
5
9
6
15
4

     Com es pot observar fàcilment, totes les seves files, columnes i diagonals sumen 34. Però a més, les seves diagonals “trencades” (les línies imaginaries traçades des de cada número de la primera fila), les seves cantonades, els seus quatre quadrants i el quadrat central també sumen 34. Sens dubte, un treball impressionant d’algun matemàtic hindú!
    Els matemàtics àrabs van descobrir els quadrats màgics per contacte amb aquesta tradició hindú i també es van fascinar per les seves característiques i, probablement els van difondre per Occident durant l’Edat Mitjana.
L’engraellat d’aquest quadrat màgic àrab està format per les lletres de la paraula Alà. Totes les seves files, columnes i diagonals sumen 66, xifra que en el Islam correspon al valor numèric d’Alà.


( imatge del quadrat màgic d’Alà)
18
38
10
= 66
14
22
30
= 66
34
6
26
= 66
= 66
= 66
= 66
= 66
( traducció a dígits moderns)

    El matemàtic Cornelio Agrippa (1486-1555) va construir quadrats màgics d’ordres 3 al 9 i els hi va atribuir un significat astronòmic, segons ell, representaven simbòlicament els planetes Mercuri, Venus, Mart, Júpiter, Saturn més el Sol i la Lluna, respectivament.
    Durant l’Edat Mitjana els quadrats màgics es gravaven en làmines de plata com amulets contra la pesta negra.
    El gran artista Albert Dürer fou també un distingit matemàtic que va publicar el 1.525 un tractat sobre la perspectiva, la geometria en tres dimensions i les seccions còniques titulat “Introducció a la mesura amb compàs i regla”, en el qual es descriu una cicloide per primera vegada.
    A més va incloure a la seva obra “Melencolia-1” un dels quadrats màgics més coneguts i que més han fascinat als estudiosos d’arreu.

16
3
2
13
5
10
11
8
9
6
7
12
4
15
14
1
   ( imatge del quadre màgic Melencolia-1)

    La gran varietat de detalls que apareixen en aquest gravat fan pensar que representa la insuficiència del coneixement humà per abastar la saviesa o per aprofundir en els secrets de la Natura. En  aquest gravat apareix també un sòlid insòlit, probablement, de la seva invenció.
    La característica més visible d’aquest superquadrat màgic és que l’any en que fou gravat, el 1.514, apareix a la seva part inferior. Totes les seves files, columnes i diagonals; les seves cantona-des, el quadrat central, els seus quatre quadrants, i les seves diagonals “trencades” sumen 34.
    Alguns matemàtics han volgut veure més propietats en el seu interior com, per exemple:

    · Si unim amb línies els nombres parells per una banda i els senars per l’altre, es formen estructures hexagonals!!

    · Si es tradueixen les seves xifres –restant-les una unitat a cadascuna, és a dir, quedarien les xifres del sistema hexadecimal (del 0 al 15)- a nombres binaris i girem el quadrat màgic 45º a la dreta apareix una simetria vertical perfecta de zeros i uns, com si aquests es reflectissin en un mirall!!
 

                                                   (imatge del quadre màgic binari) >>
 

    N’hi ha que pensen que el quadrat màgic de Dürer és un “arquetip ple de significat i misticisme”.
    Els astròlegs els aconsellaven com amulets protectors, precisament, contra la malenconia!

2. CARACTERÍSTIQUES DELS QUADRATS MÀGICS i ALGORITMES DE CÀLCUL

      Els quadrats màgics són estructures numèriques situades en una graella de n files per n columnes, per la qual cosa, n es denomina ordre del quadrat, així, per exemple, el Lo Shu és un quadrat màgic d’ordre 3; el del temple de Khajuraho i el de Dürer són d’ordre 4.

    Un quadrat màgic es diu que és “pandiagonal” quan totes les seves diagonals –les dues principals i les “trencades” en tots dos sentits-  sumen la xifra buscada o proposada.
    Pels musulmans, durant l’Edat Mitjana, els quadrats màgics “pandiagonals” d’ordre 5 amb la xifra 1 situada en el centre tenien una significació mística especial, donat que el número 1 és el símbol d’Alà, Ser Suprem i Únic.
 

19
3
12
21
10
19
3
12
21
11
25
9
18
2
11
25
9
18
8
17
1
15
24
8
17
1
15
5
14
23
7
16
5
14
23
7
22
6
20
4
13
22
6
20
4
65
65
65
65
65
65
65
65
65

    Observem, a més, que les quatre cantonades i el centre d’aquest quadrat també sumen 65.
    Un quadrat màgic es denomina “associatiu” quan les parelles de nombres oposades al centre sumen n2 + 1. Aquesta és una característica més pròpia dels quadrats d’ordre senar.
    El Lo Shu, presentat anteriorment, és "associatiu" perquè, sumant les parelles oposades al centre, observem:

3 + 7 = 10  9 + 1 = 10, que és igual a 32 + 1 = 10
    El quadrat màgic d’ordre 5 és el més petit que pot ser “pandiagonal” i “associatiu” al mateix temps.
    Un quadrat màgic d’ordre n està composat, evidentment, de n2 nombres. Si aquestes xifres segueixen la sèrie de nombres naturals des de l’1 fins al n2, llavors el resultat a trobar en cada fila, columna i diagonal es pot calcular amb el següent algoritme:   S(x) =  (n2 + 1) · n / 2 = (n3  + n) / 2

     “Lo Shu”:  Ordre 3;  nombres de l’1 al 9;  S(x) =  (33  + 3) / 2 = (27 + 3) / 2 = 15
     “Dürer”:    Ordre 4;  nombres de l’1 al 16;  S(x) =  (43  + 4) / 2 = (64 + 4) / 2 = 34

    Tractaré, ara, de generalitzar aquest algoritme per a qualsevol sèrie aritmètica de nombres.
    Si utilitzem una sèrie de nombres que siguin múltiples de l’l al n2, o bé multipliquem tota la sèrie numèrica per la mateixa xifra, seguirem tenint un quadrat màgic, però el resultat obtingut serà també múltiple del resultat inicial.
    Així, si en el Lo Shu utilitzem les xifres parells consecutives començant pel 2, el resultat obtingut a cada línia serà 30, per ex. 2 + 10 + 18 = 30, (en lloc de 1 + 5 + 9 = 15), etc.
    Si en el “Dürer” utilitzem els múltiples de 5, el resultat obtingut serà 170:

20 + 75 + 70 + 5 = 170 (en lloc de la famosa fila 4 + 15 + 14 + 1 = 34)
    Per tant, observem que si multipliquem tots el nombres de la sèrie per una constant k el resultat també augmentarà k vegades i l’algoritme és ara:
S(x) =  k · n ·(n2 + 1) / 2 = (n3  + n) · k / 2

    També podem començar la sèrie des d’un número ai en lloc d’iniciar-la des de l’1, és a dir, si sumem (o restem) una determinada xifra t a tots els nombres de la sèrie 1 a n2 el resultat augmentarà en n vegades la xifra sumada.
    Veiem-ne un parell d’exemples:
    Si sumem 10 a cada dígit del Lo Shu, llavors la sèrie comença a a1 = 11 i acaba a ax = 19, el resultat a obtenir és: 14 + 19 + 12 = 45 (en lloc de 4 + 9 + 2 = 15)
    Hem sumat 10 a cada una de les tres xifres i, per tant, el resultat augmenta 30 unitats.
    Si sumem 4 a cada dígit del Dürer, la sèrie comença a a1 = 5 i acaba a ax = 20, el resultat obtingut és:

8 + 19 + 18 + 5 = 50 (en lloc de 4 + 15 + 14 + 1 = 34).
    En sumar 4 a cada una de les quatre xifres, el resultat augmenta 16 unitats.
    L’algoritme de càlcul, en aquest cas, és:
S(x) =  [1 / 2 ·(n2 + 1) + t]· n = 1 / 2 · (n3  + n) + t · n

    Generalitzant tots aquests casos, trobem que l’algoritme de càlcul ve donat per l’expressió:

S(x) =  [k / 2 ·(n2 + 1) + t]· n = k / 2 · (n3  + n) + t · n

    En la qual, n és l’ordre del quadrat, k és la constant del producte i t és la constant de l’addició.
    Aquest algoritme ens pot resultar de gran utilitat si volem definir o construir un quadrat màgic
de qualsevol mida i utilitzant sèries de nombres diverses.

    · Qüestió: Tenint en compte tot això, podríeu calcular per a un quadrat màgic d’ordre n:

Quina és la suma S(x) del quadrat compost per la sèrie de nombres senars (des de l’ 1)?
(solució)

3. ESTRATÈGIES PER LA RESOLUCIÓ DELS QUADRATS MÀGICS

    En aquest capítol us explicaré com resoldre correctament quadrats màgics de qualsevol ordre utilitzant estratègies o tècniques força senzilles, i probablement innovadores (cas de l’ordre parell), que són el fruit d’una recent investigació meva.
    El meu objectiu era establir un sistema manual, és a dir, sense l’ajut de l’ordinador, de normes per a resoldre o crear quadrats màgics de qualsevol mida amb les següents condicions d’ús: rapidesa, senzillesa, mecanització, seguretat i correcció. Aquests mètodes són el que presentaré a continuació.
    És cert que existeixen moltes altres solucions alternatives i de més dificultat o bellesa a les que trobarem aplicant aquestes tècniques, però es pot considerar que, aquest, és un “sistema bàsic”.
    Hem de distingir, a l’hora de l’estratègia a emprar per a la seva construcció, entre els quadrats màgics d’ordre parell i els d’ordre senar.
    Començarem per aquests últims donat que la dificultat per resoldre’ls és menor.
    El mètode bàsic consisteix en afegir lateralment als quatre costats sèries virtuals de caselles, de forma triangular, de manera que ens quedi la figura d’un rombe. (Pas número 1)
    Llavors, i començant des de l’extrem superior, situem totes les xifres –a partir de l’1- seguint només les diagonals alternes formades en el rombe, observeu que queden, per tant, línies diagonals i caselles interiors del quadrat en blanc. (Pas número 2)
    El quadrat màgic es completa situant els nombres que han quedat a les caselles “virtuals” exteriors del quadrat, a les caselles interiors en blanc, seguint primer una simetria horitzontal, les del triangle superior passen a completar la part inferior, com si el retalléssim i enganxéssim sense girar-lo i les del triangle inferior a la part superior; i una simetria vertical, les de la part exterior dreta a l’interior esquerra i a l’inrevés. (Pas número 3)
    Aquesta imatge il·lustra clarament aquest procediment:


 
 


 
 

            És increïblement senzill!!
 

     Per a resoldre quadrat màgics d'ordre parell seguirem els següents passos, que són molt més fàcils d'aplicar del que pot semblar en un primer moment:
    Utilitzaré, en primer lloc, un quadrat d'ordre 4, que és el més petit dels d'ordre parell, per a aclarir-ho millor.
    · 1. Començarem per escriure el número 1 (o la 1ª xifra de la sèrie) a l'extrem superior esquerra i llavors escriurem, anant d’esquerra a dreta, només les xifres corresponents a les caselles que formen les dues diagonals principals.

1>
   
4
 
6
7
 
 
10
11
 
13
   
16

    · 2. Ara ens situarem a la primera casella inferior dreta en blanc, veïna de la del extrem, on posarem el número 2 (o la 2ª xifra de la sèrie) i anirem desplaçant-nos cap a dalt en sentit de dreta a esquerra per anar completar, en estricte ordre, les caselles que faltes, és a dir, les que formen els interiors de les diagonals principals i les dues caselles exteriors de les files centrals.
    És a dir, posem el 2 i anem comptant d’un en un fins a arribar a una de les caselles esmentades, llavors escrivim aquesta xifra i seguim comptant, si s’acaba una fila pugem a l’anterior i canviem de sentit (ziga-zaga), fins a arribar a l’extrem superior esquerra.
    De fet, com es pot observar, el quadrat màgic d'ordre 4 ja ha quedat completament resolt.
 

1
15
14
4
12
6
7
9
8
10
11
5
13
3
2
<16
    Una petita reflexió en arribar a aquest punt, si comparem aquest quadrat amb el de Dürer, podem comprovar que són completament simètrics, de fet si apliquem el mètode situant la xifra 1 a l'extrem inferior dret i ho fem tot a l'invers obtindríem el quadrat màgic d'en Dürer!!   (És, per tant, tan especial com pensen alguns?)

    Extrapolaré, tot seguit, aquest mètode a quadrats màgics més grans d'ordre parell.
    Passarem, doncs, al quadrat d'ordre 6 i aplicarem els dos passos descrits anteriorment:
 

1 >
       
6
 
8
   
11
 
   
15
16
   
   
21
22
   
 
26
   
29
 
31
       
36
1
32
   
35
6
 
8
28
27
11
 
19
 
15
16
 
24
18
 
21
22
 
13
 
26
9
10
29
 
31
5
   
2
<36
     Després d’això ja portarem escrites 2n xifres, per exemple, com aquest és d’ordre 6, ja en portem 12.
    · 3a. Ens situarem, ara, a l'extrem superior dret i amb un desplaçament sempre de dreta a esquerra, anirem comptant d’un en un i escriurem només els nombres parells a les caselles corresponents.
1
32
4
 
35
< 6
 12
8
28
27
11
 
19
 
15
16
 14
24
18
 
21
22
 20
13
 30
26
9
10
29
 
31
5
34
 
2
36

    · 3b. Finalment ens situarem a l'extrem inferior dret i amb un desplaçament de dreta a esquerra, anirem comptant d’un en un i escriurem només els nombres senars a les caselles corresponents que han de coincidir exactament amb les caselles que encara quedaven en blanc.
    (Els passos 3a i 3b poden invertir-se d’ordre sense afectar el resultat final)

1
32
4
 33
35
6
 12
8
28
27
11
25
19
23
15
16
 14
24
18
17
21
22
 20
13
 30
26
9
10
29
7
31
5
34
 3
2
<36

   Un cop completat aquest quadrat màgic d'ordre 6 es poden extreure algunes conclusions, donat que aquest mètode és recurrent i només varien alguns detalls depenent de l'ordre del quadrat.
Hi ha tres factors determinants o que defineixen cada pas:
· El primer és indicar l’extrem d’inici: Superior (S) / Inferior (I), Dreta (D) / Esquerra (E)
· El segon el tipus de desplaçament a seguir: d’esquerra a dreta (E-D), de dreta a esquerra (D-E) o ziga-zaga (Z-Z)
· El tercer és l’acció a aplicar: completar diagonals (DG), interior diagonals(DGI), exterior diagonals centre (DGE), escriure parells (EP), escriure senars (ES), completar nombres restants (NR)
Definides les normes d’aplicació i la nomenclatura abreviada a utilitzar, acabaré aquest capítol amb unes taules de treball abreujades per a completar quadrats màgics d’ordre parell (4 al 12).
 

Ordre 4
Pas 1
Pas 2
Extrem 
SE 
ID
Desplaçament
E-D
D-E
Acció 
 DG
NR
Ordre 6
Pas 1
Pas 2
Pas 3a
Pas 3b
Extrem 
SE 
ID
SD 
ID 
Desplaçament
E-D
Z-Z
D-E
D-E
Acció 
 DG
DGI+DGE
EP
ES
Ordre 8
Pas 1
Pas 2
Pas 3
Pas 4
Extrem 
SE 
ID
SD 
ID 
Desplaçament
E-D
Z-Z
Z-Z
D-E
Acció 
 DG
DGI+DGE
DGI2+DGE2
NR
Ordre 10
Pas 1
Pas 2
Pas 3
Pas 4 
Pas 5a
Pas 5b
Extrem 
SE 
ID
SD 
ID 
ID
SD
Desplaçament
E-D
Z-Z
Z-Z
Z-Z
D-E
D-E
Acció 
 DG
DGI+DGE
DGI2+DGE2
DGI3+DGE3
EP
ES
Ordre 12
Pas 1
Pas 2
Pas 3
Pas 4 
Pas 5
Pas 6
Extrem 
SE 
ID
SD 
ID 
SD
ID
Desplaçament
E-D
Z-Z
Z-Z
Z-Z
Z-Z
D-E
Acció 
 DG
DGI+DGE
DGI2+DGE2
DGI3+DGE3
DGI4+DGE4
NR

    Existeixen solucions alternatives o simètriques, però aquest mètode és bàsic, correcte i bastant senzill.

4. GALERIA DE QUADRATS MÀGICS

       Per acabar amb aquesta exposició, presentaré una modesta col·lecció de quadrats màgics, a afegir amb els anteriors, que em semblen molt interessants, curiosos o, fins i tot, petites obres d’art. D’exemples n’hi ha milers, i més actualment ja que amb els ordinadors es troben meravelles, però he donat preferència als composats manualment, digueu-me romàntic, o que aporten una idea original o estèticament brillant.
    Alguns són de collita pròpia, altres els he trobat durant la meva investigació...

El "Quadrat Màgic Diví"

    Aquest quadrat màgic d'ordre 10 (Déu), està format pels 100 primers nombres parells.
    Té la propietat de que la suma de les seves files, columnes i diagonals és igual a 1010 (Déu-Déu).
    Per cert, el nombre 1010 en sistema binari és igual al 10 en sistema decimal!!     10102 = 1010

Podria ser un bon amulet segons les creences de l'Edat Mitjana, o no?


2
184
16
188
192
10
194
6
198
20
180
24
176
28
172
170
34
166
38
22
142
58
46
148
52
50
154
56
144
160
62
138
136
68
132
130
74
66
124
80
102
98
106
94
90
92
108
116
84
120
100
104
96
114
110
112
88
86
118
82
140
64
76
128
70
72
134
126
78
122
60
158
146
54
150
152
48
156
44
42
40
164
26
174
30
32
168
36
178
162
182
18
186
14
12
190
8
196
4
200
(Autor: Blai Figueras 27 / 10 / 02)

Quadrat Màgic "Satànic"

    Aquest quadrat màgic està compost exclusivament pels múltiples de 6 en un engrellat de 6 x 6 >> (666)
    Té la característica principal de que la suma de les seves files, columnes i diagonals és igual a 666.

Què podríem dir d'aquest quadrat segons les creences de l'Edat Mitjana? Magia blanca o negra, doncs?
186
180
108
114
72
6
 30
156
102
138
48
192
204
54
126
90
168
24
18
60
132
96
162
198
12
174
120
84
66
210
216
42
78
 144
150
36
(Autor: Blai Figueras 28 / 10 / 02)

"Quadrat Màgic Apostòlic"

    Aquest quadrat màgic d'ordre 12, està format pels 144 primers nombres senars, des de l'1 fins al 287.
    Té la propietat de que la suma de les seves files, columnes i diagonals és igual a 1728 = 123.

Potser pensareu que sóc terriblement religiós?
Doncs no és el cas, simplement ho volia lligar amb el tema de les creences místiques d'altres èpoques.
1
267
19
271
15
277
275
9
281
5
285
23
 263
27
 259
 31
 255
 35
 37
 249
 41
 245
 45
 241
 71
 237
53
 223
 63
 227
 229
 57
 233
 67
 219
 49
 215
 75
 211
79
 207
 83
 85
 201
 89
 197
 93
 193
119 
171 
115 
185 
105
179 
181 
111 
175 
101 
189 
97 
167 
123 
163 
127 
159 
131
133 
153 
137 
149 
141 
145 
121 
165 
125 
161 
135 
155 
157
129 
151 
139 
147 
143 
169 
117 
173 
113 
177 
109 
107 
183
103 
187 
99 
191 
73 
213 
91 
199 
81 
205 
203 
87 
209
77 
195 
95 
217 
69 
221 
65 
225 
61 
59 
231 
55 
235
51 
239 
47 
243 
29 
257 
33 
253 
251 
39 
247 
43 
261
25 
265 
21 
269 
17 
273 
13 
11 
279 
283 
287
(Autor: Blai Figueras 11 / 11 / 02)

    Si observeu aquest quadrat respon a la qüestió anterior:
    Quina és la suma S(x) del quadrat compost per la sèrie de nombres senars (des de l’ 1)?
    La seva suma és S(x) =  1728 = 123 i està format justament pels nombres senars. Si generalitzem aquest resultat tenim que per qualsevol ordre n, la S(x) de la sèrie de nombres senars és n3. Vegem la raó:
    La sèrie de nombres senars es genera a partir de l'expressió algebraica 2n -1. Aquí tenim que k = 2, t = -1
    L'algoritme de càlcul, com hem vist és, S(x) =  k / 2 · (n3 + n) + t · n
    Llavors, substituïm els valors corresponents a k i t, i trobem que:
S(x) = 2 / 2·(n3 + n) + (-1) · n = n3 + n - n = n3
(tornar)

Quadrat Màgic "en un tauler d'escacs"

    Aquest quadrat màgic d'ordre 8, està format pels nombres de l'1 al 64.
    Té la propietat de que la suma de les seves files, columnes i diagonals és igual a 260, però també ho és la suma de les seves quatre cantonades amb els quatre nombres centrals. La suma total de les caselles blanques i negres és idèntica, les forces es mantenen equilibrades, i igual a 1040.

Ara sí que podeu pensar, i amb raó, que sóc molt aficionat als escacs!!


37
27
34 
32 
25 
3
30 
36
 20
46 
18
48 
 41
23 
43
21 
 52
14
55
9
 16
50 
11 
53
 4
62 
2
64
 57
59 
60 
63 
 1
 58
 6
61 
 13
51 
15
49 
 56
 10
54
 12
45 
22
42 
17
 24
 47
19 
 44
 29
35 
31
33 
40
26 
 38
28
(Autor: Blai Figueras 17 / 11 / 02)

Quadrat Màgic "Pandigital"

    Aquest meravellós quadrat màgic d'ordre 4, té la sorprenent característica de ser pandigital, és a dir, que cada element està format per les deu xifres decimals sense repetir-ne cap i a més la suma de les seves files, columnes i diagonals és també pandigital S(x) = 4129607358.
    Probablement és la matriu pandigital d’ordre 4 més petita possible, donat que se’n poden construir d’altres amb nombres més grans.

Oi, que és una joia matemàtica quasi incomparable!


1037956284
1036947285
1027856394
1026847395
1026857394
1027846395
1036957284
1037946285
1036847295
1037856294
1026947385
1027956384
1027946385
1026957384
1037846295
1036857294
(Autor: R. Marcelo Kurchan)

Quadrat Màgic "Apocalíptic"

    Aquest fantàstic quadrat màgic d'ordre 6 està compost exclusivament per nombres primers.
    La suma de les seves files, columnes i totes les seves diagonals, és a dir és pandiagonal, és igual a 666.

Aneu en compte amb aquest fascinant quadrat màgic si no voleu quedar posseïts!!


3
107
5
 131
109
311
7
331
193
11
83
41
103
53
71
89
151
199
113
61
97
197
167
31
 367
13
173
59
17
37
73
101
127
179
139
47
(Autor: A. W. Johnson)

Quadrat Màgic-Doble

    Hi ha quadrats màgics que poden tenir la notable propietat de contenir un altre quadrat màgic al seu interior d'ordre inferior, per tant, són quadrats màgics dobles. Fins i tot se’n poden construir alguns que contenen successius quadrats màgics al seu interior en capes concèntriques.
    Aquí us proposo un exemple de quadrat màgic doble d'ordre 5 que conté en el seu interior un altre d’ordre 3.
    La suma de les files, columnes i diagonals del quadrat màgic d’ordre 5 és igual a 75, mentre que les del quadrat menor d’ordre 3 és igual a 45.
 

3
4
21
22
25
20
18
11
16
10
23
13
15
17
7
24
14
19
12
6
5
26
9
8
27
(Autor: Blai Figueras 18 / 11 / 02)

"Quadrats Màgics Especulars"

    Aquests dos quadrats màgics d'ordre 4 són especulars l'un respecte l'altre, una qualitat força rara i remarcable. La suma de les seves files, columnes i diagonals és en tots dos quadrats de 242, a més tots dos són pandiagonals.

Tenen prou motius per a ser narcisistes, o no?


96
64
37
45
<>
69
46
73
54
39
43
98
62
<>
93
34
89
26
84
76
25
57
<>
48
67
52
75
23
59
82
78
<>
32
95
28
87

CONTINUARÀ...

Si voleu incloure en aquesta secció algun quadrat màgic vostre que us sembli interessant per alguna característica ho podeu fer enviant-me un E-mail

(índex matemeravelles)

 

Tornar a la pÓgina principal

Autor: Blai Figueras Álvarez

E-mail: mentaludix@hotmail.com