En este apartado expondré una curiosa manera de hacer productos con las manos.
    Siempre ha estado mal visto contar con las manos, así que ahora propondré un pequeño divertimento para romper un poco esta mala imagen de los dedos calculadores. No se trata de ningún método revolucionario ni de cálculo rápido, es un simple pasatiempo...
    Será necesario conocer las tablas de los 5 primeros números y de memorizar (calcular) los productos de los múltiples de 5 como se verá.
    Este método se puede aplicar a números del 6 al 100, o mayores, pero es más sencillo trabajando con cifras pequeñas, obviamente. Veamos un pequeño estudio demostrativo.

    Supongamos que queremos multiplicar 14 x 12, los pasos a seguir son los siguientes:
    a)  Le restamos 10 a cada número, para poder expresarlo con los dedos, y nos quedan 4 y 2.
    b)  Eso quiere decir que hemos rebajado en 10 x 10 = 100 el producto.
    c)  Ahora sumamos los dedos que tenemos 4 + 2 = 6, y esto, lo multiplicamos por 10 (número restado), es decir, 6 x 10 = 60.
    d) Finalmente multiplicamos los dedos de cada mano, 4 x 2 = 8.
    Ahora sumamos las tres cantidades anteriores: 100 + 60 + 8 = 168,

    y ya tenemos el resultado 14 x 12 = 168.

    Probemos ahora a multiplicar 18 x 17, de un modo similar efectuaremos:
    a)  Le restaremos 15 a cada número, para poder expresarlo con los dedos, nos quedan 3 y 2
    b)  Eso quiere decir que hemos rebajado en 15 x 15 = 225 el producto.
    c)  Ahora sumamos los dedos que tenemos 3 + 2 = 5, y eso, lo multiplicamos por 15 (número restado), es decir, 5 x 15 = 75.
    d)  Finalmente multiplicamos los dedos de cada mano, 3 x 2 = 6.
    Ahora sumamos las 3 cantidades anteriores: 225 + 75 + 6 = 306, y ya tenemos que

    18 x 17 = 306

    Otro ejemplo 21 x 23, los pasos a seguir son los siguientes:
    a)  Le restaremos 20 a cada número y nos quedan 1 y 3, hemos rebajado en 20 x 20 = 400.
    b)  Ahora sumamos los dedos que tenemos 1 + 3 = 4, lo multiplicamos por 20: 4 x 20 = 80.
    c)  Finalmente multiplicamos los dedos de cada mano, 1 x 3 = 3.
    Sumamos las 3 cantidades: 400 + 80 + 3 = 483, y obtenemos que: 21 x 23 = 483.

    Eso funciona para cualquier cifra, pero nos surge un problema si queremos operar cifras de grupos diferentes, es decir, dónde se haya de restar una cantidad diferente a cada mano.
    Supongamos que queremos calcular 32 x 18, entonces tenemos que hacer unos pequeños cambios:
    a)  Le restamos 30 al primer número y 15 al segundo, por tanto, nos quedan 2 y 3.
    b)  Eso quiere decir que hemos rebajado en 30 x 15 = 450 el producto.
    c)  Ahora multiplicamos los dedos por la cantidad restada en la otra mano (productos cruzados), o sea, 2 x 15 = 30  y  3 x 30 = 90 y lo sumamos 30 + 90 = 120.
    d)  Multiplicamos los dedos de cada mano, 2 x 3 = 6.
    Ahora sumamos las 3 cantidades anteriores: 450 + 120 + 6 = 576, así que: 32 x 18 = 576
    Una poco más complicado en este caso, pero funciona igualmente.

 

    Para acabar con este método, y para los más avanzados, presentaré su demostración:
    Dados dos números  x e y, los podemos expresar en forma de un múltiplo de 5 más un resto:
  x = 5·m + a;  y = 5·n + b.  5·m y 5·n son los múltiplos de 5 que restaremos, a y b los dedos.
    Entonces tenemos que: x · y = (5m + a) · (5n + b) = 25·m·n + a·5n + b·5m + a·b.  

Por tanto: 25·m·n es la primera cantidad rebajada, a·5n + b·5m los productos cruzados y a·b el producto de los dedos.

    Obviamente, si m = n, el cálculo es más rápido: 25·n² + (a + b)·5n + a·b.

    Ahora ya podréis ir presumiendo de que ¡¡sabéis multiplicar con las manos!!

    Buscando métodos de calculo mental o rápido diseñé una pequeña estrategia que, después de un poco de práctica, me funciona muy bien para hacer productos con números no muy grandes. Lo llamo "método de las decenas cruzadas" y funciona de la siguiente manera:

   · Primer paso: Calcular las unidades: 7 x 4 = 28, por tanto, el resultado acaba en 8 y tengo 2 decenas.
   · Segundo paso: Calcular las decenas, esto se hace en dos partes: 34 x 2 = 68  y  3 x 7 = 21.
     es decir, las 2 decenas del primer número por el otro 34 y las 3 decenas del segundo por 7.
   · Tercer paso: Sumamos todas las decenas 2 + 68 + 21 = 91. El resultado es 918.

   · Primer paso: Calcular las unidades: 7 x 2 = 14, el resultado acaba en 4 y me llevo 1 decena.
   · Segundo paso: Calcular las decenas en dos partes: 52 x 3 = 156 y 7 x 5 = 35.
   · Tercer paso: Sumamos todas las decenas 1 + 156 + 35 = 192. El resultado ahora es 1.924.

    Puede parecer complicado de entrada, pero con un poco de práctica, he comprobado que funciona bastante bien como un recurso de cálculo mental.

    Este es un método de multiplicar mucho interesante que no necesita hacer la suma final de hileras de números, se resuelve linealmente siguiendo un esquema predeterminado.

    Esta ilustración nos indica como tenemos que ir operando los diferentes números:

    El esquema para un producto de 3 x 3 cifras tiene 5 pasos:
    (1) Producto lineal de unidades,
    (2) Producto cruzado unidades-decenas,
    (3) Producto triple cruzado de unidades-centenas más el de decenas,
    (4) Producto cruzado decenas-centenas y
    (5) Producto lineal de centenes.
                Tomemos, por ejemplo, el producto   376  x  542

  · Multiplicamos siguiendo el esquema dado el 2 x 6 = 12, el resultado acaba en 2 y nos llevamos 1.
  · Ahora se ha de multiplicar en cruz 7 x 2 = 14  y  4 x 6 = 24,
      lo sumamos todo: 14 + 24 + 1 = 39, el segundo número es el 9 y nos llevamos 3.
  · El esquema nos indica ahora que tenemos que multiplicar los números extremos y los del medio, es decir: 2 x 3 = 6, 5 x 6 = 30 y 7 x 4 = 28, lo sumamos: 6 + 30 + 28 + 3 = 67, ponemos el 7 y nos llevamos 6.
  · Ahora multiplicamos en cruz 7 x 5 = 35  y  4 x 3 = 12, es decir: 35 + 12 + 6 = 53,
      ponemos el 3 y nos llevamos 5.
  · Acabamos haciendo 3 x 5 = 15, por tanto, 15 + 5 = 20

    Si faltase alguna cifra, es decir, un producto de 3 x 2 dígitos, se pone un 0 en su lugar.
    La primera impresión que tenemos es que de un método complicado y lioso, pero haced la prueba y veréis que es bastante sencillo e, incluso, más rápido.

    Además, ¿no os gusta romper esquemas?

 

 

    Este es el esquema por un producto de 4 x 4 cifras, es decir, tiene 7 pasos:
    (1) Producto lineal de unidades,
    (2) Producto cruzado unidades-decenas,
    (3) Producto triple cruzado de unidades-centenas más el de decenas,
    (4) Producto cuádruple cruzado de unidades-millares más cruzado decenas-centenas,
    (5) Producto triple de decenas-millares más el de centenas,
    (6) Producto cruzado centenas-millares y
    (7) Producto lineal de millares.
                        Por ejemplo, el producto:     3.518  x  4.209

    (1) 8 x 9 = 72, primer número el 2 nos llevamos 7 >> (2) 9 x 1 = 9, 8 x 0 = 0; 7 + 9 + 0 = 16  >>
    (3) 9 x 5 = 45, 2 x 8 = 16, 1 x 0 = 0; 1 + 45 + 16 = 62 >>
    (4) 9 x 3 = 27, 4 x 8 = 32, 5 x 0 = 0, 2 x 1 = 2; 6 + 27 + 32 + 2 = 67  >>
    (5) 3 x 0 = 0, 4 x 1 = 4, 5 x 2 = 10; 6 + 4 + 10 = 20  >>
    (6) 3 x 2 = 6, 4 x 5 = 20; 2 + 6 + 20 = 28  >>  (7) 4 x 3 = 12; 12 + 2 = 14

    Evidentemente este método funciona para cualquier producto, sólo se ha de hallar el    

esquema de trabajo, pero siguiendo la lógica de los presentados aquí, no es muy complicado...
     Además comentaré que si el producto es, sólo, de 2 x 2 cifras, el esquema, obviamente, es:

    Soy consciente que estos recursos pueden ser considerados puramente anecdóticos, más en una época donde las calculadoras mandan, pero todavía quedamos unos cuantos románticos del cálculo.

    Estoy investigando todo tipo de métodos de cálculo mental o rápido e iré ampliando esta sección progresivamente. Queréis ver una muestra:
  Sabíais que para dividir rápidamente por 11 sólo es necesario restar las centenas de las decenas?

            Ex.  742 : 11 = 67  >>  74 - 7 = 67
  Sabíais que para dividir por 15 sólo tenemos que restar un tercio de las 2 primeras cifras?
            Ex.  818 : 11 = 54  >>  81 : 3 = 27 >> 81 - 27 = 54

 

    Hay muchos más, pero estos métodos requieren pequeños ajustes, ya que si lo probáis, comprobaréis que puede haber una error en una unidad, así que más adelante ya iré desarrollándolos.

 

    Estoy seguro que siempre que estáis calculando una división y habéis llegado, finalmente, a obtener la conocida repetición infinita de cifras -o bien, al resto 0 de una división exacta, que también se podría considerar un decimal de período cero- os habéis sentido tan liberados de la pesada carga de seguir operando, que, probablemente, no os habéis fijado en que aquellas cadenas de cifras esconden una belleza especial y sorprendente. O quizás, sólo me lo parezca a mí que soy un loco del cálculo.
    Supongo que la mayoría de vosotros, internautas perdidos en esta página de divagaciones numéricas, ya sabréis que existen dos tipos de decimales periódicos:
  (Nota: Parece mentida que no se pueda escribir el signo del período con el ordenador, me quejaré a Bill Gates :-(
            y ¿ahora qué pongo yo en lugar de la simpática "barretina" de los números  periódicos?
            Pues bien, he pensado de ponerlos entre acentos, subrayados y en cursiva.
            y si alguien tiene una solución mejor que me lo diga, que si me agrada, le regalaré alguna cosilla...)
    · Puros: Cuando el período comienza justo detrás de la coma:  6,´83` ; 25,´3` ; etc.
    · Mixtos: Cuando entre la coma y el período encontramos varias cifras:  4,1´6` ; 7,50´48`
    En general los períodos puros se obtienen a partir de los números primeros y los mixtos de sus múltiples combinados con las cifras 2 ó 5.
    Hechas estas puntualizaciones, pasemos a observar las cifras periódicas obtenidas con diversos números primos:
    Si dividimos por 3 se pueden obtener los períodos ´3`, ´6` o división exacta (de hecho 1 = ´9`), este caso es muy conocido, y lo único que nos puede hacer pensar es que los períodos son todos múltiples del ´3` que podríamos considerar como la base.
   

    Los números  9 y 11 parecen tener una cierto "idilio" entre ellos, ¿no os lo creéis?
    Pues, ahora vais a ver lo que se dicen el uno al otro:

    NUEVE: "Mira Once, ¡Yo soy la cifra unitaria mayor que existe!" (en sistema decimal)
    ONCE: "Escucha Nueve, Yo soy el número máximo de dos cifras que se puede escribir en todos

        los sistemas de numeración posibles!*. Además, yo soy capaz de enseñar tu tabla de        

        multiplicar ¡mejor que tú mismo!"
    (*) Efectivamente, tiene toda la razón, porque desde el sistema binario hasta cualquier otro, siempre hallaremos el número 11, con diferentes valores, claro!...
    NUEVE: "¡Pero qué dices!. Yo soy el único número que puede construir la "sagrada tabla del 9",

        la única en la cual todos sus valores son "múltiplos sinceros" y en la cual a cada paso las

        decenas aumentan en (+1) y las unidades disminuyen en (-1). ¡Ninguna otra es comparable!.
       ¿Cómo puedes, pues, afirmar que tú la puedes enseñar mejor que yo?"
    ONCE: "Así es, porque cuando tú la construyes sólo das la solución una vez, yo en cambio
        soy capaz de hacer tu tabla dando los resultados repetidos ¡infinitas veces!"
    NUEVE: "No hables más y demuéstralo, que de bocazas está el mundo lleno!"
    ONCE: "Observo una gran incredulidad por tu parte, así que escúchame bien:
        Cuando tu construyes tu tabla te vas multiplicando por las demás cifras, yo en cambio utilizo   

        la división, sí chico sí, construyo tu tabla, infinitamente repetida, ¡DIVIDIENDO! así,

        1/11 = 0,09090909... = 0,´09` ; 2/11= 0,181818... = 0,´18` ;3/11 = 0,272727 = 0,´27`

        y sucesivamente hasta el 9/11 = 0,8181... = 0,´81` y  10/11 = 0,909090 = 0,´90`
        ya han de ser "despistados" si no la aprenden conmigo que ¡se la repito infinitas veces!
        Y como ya sabrás, también soy el único número capaz de clonar cifras ... "
    NUEVE: "Lo he de reconocer, eres seguramente el mejor maestro de la tabla del 9.
        pero tanto que presumes de ser capaz de clonar cifras, ya te gustaría a tí poder
        clonar un número infinitamente, incluso tú pretendías ser una cifra repetida indefinidamente y

        pobrecito mío, ¡te quedaste en sólo dos! Seguro que tienes envidia del 1111...
        En cambio yo soy capaz de clonar cualquier cifra por sí misma hasta el infinito.
        Lo quieres ver?    1/9 = 0,11111... = 0,´1` ; 2/9 = 0,2222... =0,´2` ; 8/9 = 0,´8`
        Soy el rey de la clonación. ¡Ay, si yo hubiese agarrado a la pobre 'Dolly'!"

    De verdad que en el fondo se estiman, pero, ¡se distraen así!... 

   La división entre 7 da lugar a números decimales con un período de seis dígitos, es el primero de los números que tienen la "periodicidad de ciclo completo", una característica bastante especial y curiosa. Veamos en que consiste:
  1 / 7 = 0,142857142857... = 0,´142857` ; 2 / 7 = 0,´285714` ;  5 / 7 =  0,´714285` ; etc.
    Es evidente que en todos los casos se repiten las cifras del período, sólo cambian de orden.
es decir, cumplen un ciclo completo y cerrado. Eso puede parecer poco interesante, pero si probamos a multiplicar las cifras de este período resultante, 142857, por otros números, tendremos una pequeña sorpresa, ya que siempre se repiten estas cifras en una rotación.
            142857 x 2 = 285741  ;  142857 x 3 = 428571  ;  142857 x 4 = 571428
            142857 x 5 = 714285  ;  142857 x 6 = 857142  ;  142857 x 7 = 999999
    Con el producto por 7 culmina la serie con ¡un triunfal 999999!
    Si se prueba con números mayores que 7, entonces vuelve a salir la serie pero será necesario sumar la primera y la última cifra:  142857 x 8 = 1142856  ;  142857 x 9 = 1285713
    Esta pequeña maravilla del cálculo no es un fenómeno aislado, de hecho es habitual en otros números primeros, como el 17, que tiene un período de 16 cifras:
  1 / 17 = 0,´0588235294117646`  ;  2 / 17 = 0,´1176460588235294` ; etc.
    y que también podría tener el fenómeno de los productos cíclicos, si no fuese por pequeñas irregularidades:

      También lo encontramos en el 19, que tiene un período de 18 cifras:
  1 / 19 = 0,´0,052631578947368421`  ;  2 / 19 = 0,´105263157894736842` ; etc.
   el cual cumple totalmente el fenómeno de los productos cíclicos, como se puede observar:

    Podríamos continuar con este capítulo indefinidamente, expongo un par de ejemplos más:
    El número 23 tiene un período de 22 cifras: 0,´0434782608695652173913`

    El número 29 tiene un período de 28 cifras: 0,´0344827586206896551724137931`
    La conclusión es clara, la mayoría de los números primeros dan lugar a decimales periódicos con un ciclo completo de n - 1 cifras.
    Quizás algunos de vosotros habréis pensado: "Este tío es supersticioso y se ha dejado el 13"
    ¡Pues no!, si queremos a los números, los tenemos que estimar a todos y no hacer caso de lo que dice la gente... (por cierto hoy, que escribo esto, es viernes 13)
    El número 13 es el primero de los números que tienen la "periodicidad de ciclo parcial" y lo cual consiste en que aparecen dos tipos diferentes de períodos, con la mitad de la longitud, depende de cuales sean los dividendos utilizados, es decir:
        1 / 13 = 0,076923076923 = 0,´076923` ;  2 / 13 = 0,153846153846 = 0,´153846`
        3 / 13 = 0,230769230769 = 0,´230769` ;  5 / 13 = 0,384615384615 = 0,´384615`
    Si ahora probamos a hacer los productos cíclicos, hallaremos que cumplen perfectamente, y que los resultados obtenidos son las cifras de uno o del otro tipo de período:
        076923 x 2 = 153846 ; 076923 x 3 = 230769 ; 076923 x 9 = 692307
    y como ya os podéis imaginar: 076923 x 13 = 999999
    todo perfecto otra vez, así que de supersticioso nada, que el 13 también hace las coses como debe.
    Otros números que cumplen la "periodicidad de ciclo parcial" son:
    El 31, que tiene también un período fraccionado en dos partes de 15 cifras:
        Ex. 1 / 31 = 0,´032258064516129` y 3 / 31 = 0,´096774193548387`
    El 43, con un período fraccionado en dos partes de 21 dígitos:
        Ex. 1 / 43 = 0,´023255813953488372093`  i   2 / 43 = 0,´046511627906976744186`
    El 53, con un período fraccionado en cuatro partes de 13 dígitos::
    Ex. 1 / 53 = 0,´0188679245283` ; etc.

    Bien lo dejo aquí, las ideas ya han quedado suficientemente expuestas...
    Me parece que este capítulo nos ha permitido descubrir una poco más que los números  parecen tener un alma lógica y bella escondida bajo una fría apariencia, ¿o no?

    Tiempo atrás salió en un concurso de TV en el cual se hacían apuestas (...) un calculista que hizo una demostración en la cual aseguraba que era capaz de calcular en segundos las raíces cúbicas o quintas con soluciones enteras del 1 al 100.
    Consiguió superar la apuesta y dejó boquiabierto además de uno...
    Quizás ahora os sorprendería si os dijese que lo que va hizo era tan sencillo que, con una pequeña estrategia y un poco de práctica, también está al alcance de cualquier aficionado al cálculo...
    Comenzaré por las raíces quintas, en primer lugar hay que escribir (y memorizar) las potencias quintas de los números del 1 al 9:
 

    Podemos observar que las potencias quintas de los números del 1 al 9 acaban en la misma cifra que ellos mismos, es decir, a partir de la cifra final de un número podemos deducir que su el raíz quinta coincide con la última cifra del número (si la solución es un entero).
    El siguiente paso a efectuar es dividir el número dado en dos partes, una compuesta por las 5 últimas cifras y el otro por el resto de cifras que queden (dado que 10⁵ = 100.000).
    Para obtener la cifra correspondiente a las decenas sólo será necesario ver entre que dos potencias quintas es halla la parte del número dado que nos queda a la izquierda, la decena es, pues, la cifra inferior de este intervalo.
    La cifra de las unidades es idéntica a la cifra final del número dado.

    Veamos ahora un par de ejemplos de muestra:
    Ej.  Para calcular la raíz quinta del número 254.803.968 se opera de este modo:
    · Dividimos el número en dos partes contando 5 cifras desde el final => 2548  y  03968
    · Dado que el 2548 está comprendido entre 4⁵ = 1.024  y 5⁵ = 3.125 => la cifra de las decenas es 4
    · Y como el 03968 acaba en 8 esta es la cifra de las unidades.
    · Por tanto, el raíz quinta de 254.803.968 es igual a 48

    Ej.  Para calcular el raíz quinta del número 1.073.741.824 se hace lo siguiente:
    · Dividimos el número en dos partes contando 5 cifras desde el final   => 10737  y  41824
    · Dado que el 10737 está situado entre 6⁵ = 7.776 y 7⁵ = 16.087 =>  la decena es 6
    · Y como el 41824 acaba en 4 esta es la cifra de las unidades.
    · Por tanto, el raíz quinta de 1.073.741.824  es igual a 64

    Pasemos ahora a las raíces cúbicas, en primer lugar hay que escribir (y memorizar) las potencias terceras o cubos de los números del 1 al 9:
 

    Observemos ahora que los cubos de los números del 1 al 9 acaban todos en cifras diferentes y que no se repiten en ningún caso.
    Lógicamente eso nos permitirá, también, deducir fácilmente la cifra de las unidades de las raíces cúbicas de resultado entero, ya que no hay ninguna cifra repetida.
    El siguiente paso es dividir el número dado en dos partes, una compuesta por las 3 últimas cifras y el otro por el resto de cifras (dado que 10³ = 1.000).
    Para obtener la cifra correspondiente a las decenas sólo hay que buscar entre que dos potencias terceras se halla la parte del número dado que nos queda a la izquierda, la decena será, pues, la cifra inferior de este intervalo.
    La cifra de las unidades se calcula teniendo en cuenta en que cifra acaban los cubos, así los números: 1, 4, 6 y 9 acaban en la misma cifra que ellos mismos.
    Mientras que el 2 con el 8 y el 3 con el 7 se invierten entre ellos, es decir, los que acaban en 2 tienen por cifra final de su cubo el 8, los que acaben en 3 tienen por cifra final del su cubo el 7 y al revés.

     Ej.  Para calcular el raíz cúbica del número 658.503 procedemos así:
    · Dividimos el número en dos partes contando 3 cifras desde el final => 658  y  503
    · Dado que el 658 está situado entre 8³ = 512  y 9³ = 729 => la cifra de las decenas es 8
    · Y como el 503 acaba en 3, tal como lo hace 7³ = 343, la cifra de las unidades es 7
    · Por lo tanto, el raíz cúbica de 658.503 es igual a 87

    Este método es válido para todas las raíces de índice impar, si tenemos en cuenta que tenemos que dividir los números a calcular en dos partes la de la derecha siempre del tamaño del índice de la raíz, es decir, para las raíces séptimas en dos partes contando 7 cifras desde las unidades, etc. y considerando, además, la relación que hay entre la cifra de las unidades del número y la de su potencia.
    Para las potencias quinta y novena coinciden las unidades del número con las de su potencia:    Ej. 3⁹ = 19.683, 8⁹ = 134.217.728, 2⁹= 512, etc.
    Las potencias tercera y séptima repiten el mismo esquema expuesto antes para los cubos, es decir: 2⁷ = 128, 3⁷ = 2.187, 4⁷ = 16.384, 8⁷ = 2.097.152, 9⁷ = 4.782.969 etc.

    Pero ¿qué ocurre con las raíces de índice par?
    Pues, que presenten la dificultad de que las cifras finales de las sus potencias no son únicas sino que es repiten y eso impide calcular fácilmente la cifra de las unidades siguiendo el método expuesto.
 

 

    Obviamente podríamos aplicar sólo la primera parte del proceso y dividir el número en dos partes que nos permitieran calcular las decenas, pero para la cifra de las unidades no tenemos ningún criterio sencillo de cálculo y nos quedaríamos a medias.
    El único consuelo que podemos tener para las raíces cuadradas y cuartas es que disponemos de un algoritmo de cálculo para resolverlas (la raíz cuarta es, lógicamente, la raíz cuadrada de la raíz cuadrada), mientras que para las otras raíces no hay ninguno (¿o si?)
    Yo he diseñado uno para las raíces cúbicas, pero ni es sencillo, ni acaba de ser perfecto.

    Por cierto, ¿sabéis de dónde procede el algoritmo o método de cálculo de las raíces cuadradas?

    El cálculo de las raíces cuadradas, sobre todo desde la popularización de las calculadoras, ha sido progresivamente olvidado por la mayoría de la gente, y además casi todo el mundo lo recuerda como un método muy farragoso. Reconozco que en una sociedad en la cual cada día se dispone de más medios para tener una vida confortable el uso de las calculadoras es muy lógico, pero hasta el punto de no recordar o no saber hacer ciertas operaciones de cálculo, me parece excesivo...
    Recordaré ahora brevemente como se calculan las raíces cuadradas.
    Ejemplo: Cálculo de la raíz de  V¯86.492¯ :
    · En primer lugar separamos los números de 2 en 2 comenzando por el final: V¯8'64'92¯
    · Empezamos por el primer grupo de cifras obtenido, en este caso el 8
   · Ahora tenemos que buscar un número que al elevarlo al cuadrado (o multiplicarlo por sí mismo) sea 8 o se acerque sin pasarse: 2² = 4  y  3² = 9, por tanto, es el 2 y lo restamos.
    · Bajamos las dos cifras siguientes: 64

    · Ahora tenemos que doblar el resultado (provisional) y añadir un número por el que también tenemos que multiplicar y hallar el 464 o acercarnos sin que nos pasemos, es decir:
      El doble de 2 = 4  =>  4_ x _ = 464 ?  =>  49 x 9 = 441
    · Lo restamos y bajamos las dos últimas cifras.
    · Volvemos a repetir este proceso de doblar el resultado y añadir un número, etc.:

     Una vez hecho este recordatorio, quisiera comentar el origen o demostración de este procedimiento.
    Supongamos que tenemos un número de dos cifras ab.
    Lo podemos expresar como un binomio (a + b) y su cuadrado será: