Hoy es un día especial en Númerolandia, porque es la "fiesta castellera"...
    Sí amigos, sí. ¡Qué creíais que los "castellets" sólo se hacen en Cataluña, pues, ya veis que no!
    El números son unos apasionados de los castillos y cada vez que tienen ocasión organizan un encuentro.
    En el cual participarán diversas "collas" numéricas, algunas de ellas como les familias del 9 y del 11, rivalizan desde tiempo inmemorial, siempre están preparando nuevas exhibiciones y os garantizo que os dejarán muy sorprendidos de su habilidad castillera.
    También tienen cabida en esta fiesta otros grupos como el del 8 y otras actuaciones no menos brillantes. Prepararos para gozar de los "castillos numéricos" que ya comenzamos!
    La primera "colla" participante será la del 11, que nos hará primero un castillo clásico con sus potencias llamado "el triángulo de Tartaglia". Y después otro con les potencias de los 11111... denominado "crescendo-decrescendo"

    La clave para comprender el primer castillo es que sumando las dos cifras superiores el resultado se sitúa debajo en diagonal, o sea, 1+1=2; 1+2=3, 2+1=3, etc. y el piso se acaba flanqueando con un 1 a cada lado.
    11⁰ =             1                                                        1² =                        1
    11¹ =             11                                                      11² =                     121
    11² =           121                                                      111² =                 12321
    11³ =           1331                                                    1111² =            1234321
    11⁴ =          14641                                                 11111² =          123454321
    11⁵ =         161051   >> 15(10)(10)51               111111² =       12345654321
    11⁶ =        1771561                                            1111111² =     1234567654321
    11⁷ =       19487171   >> 18(14)86(11)71      11111111² =  123456787654321
                                                                              111111111² = 12345678987654321

    Ahora es el turno de la colla del 9 que nos presenta los castillos: "de los 8 en descenso" y el "de los 1 en cadena", se trata de dos formaciones espectaculares con soluciones repetitivas del número indicado.

             9 x 0 + 8 =               8                    (1 - 1) : 9 =                   0
            9 x 9  + 7 =              88                  (11 - 2) : 9 =                  01
           9 x 98  + 6 =            888                 (111 - 3 ) : 9 =               012
          9 x 987  + 5 =           8888               (1111 - 4 ) : 9 =             0123
         9 x 9876  + 4 =          88888             (11111 - 5 ) : 9 =           01234
        9 x 98765  + 3 =         888888           (111111 - 6 ) : 9 =         012345
       9 x 987654  + 2 =        8888888         (1111111 - 7 ) : 9 =       0123456
      9 x 9876543  + 1 =       88888888       (11111111 - 8 ) : 9 =      01234567
     9 x 98765432  + 0 =      888888888     (111111111 - 9 ) : 9 =    012345678
    9 x 987654321  + (-1) = 8888888888   (1111111111 - 10 ) : 9 = 0123456789

    Seguidamente salen al centro de la plaza la colla del 7 y la colla del 8 y nos obsequian con los siguientes castillos: "la torre de los 9" y "el decreciente-creciente"

          1 x 7 + 2 =                 9                          (9 - 1) : 8 =            1
         14 x 7 + 1 =               99                      (98 - 2) : 8 =            12
        142 x 7 + 5 =             999                    (987 - 3) : 8 =          123
       1428 x 7 + 3 =           9999                 (9876 - 4) : 8 =         1234
      14285 x 7 + 4 =         99999               (98765 - 5) : 8 =       12345
     142857 x 7 + 0 =       999999            (987654 - 6) : 8 =      123456
    1428571 x 7 + 2 =     9999999          (9876543 - 7) : 8 =     1234567
   14285714 x 7 + 1 =   99999999        (98765432 - 8) : 8 =   12345678
  142857142 x 7 + 5 = 999999999      (987654321 - 9) : 8 = 123456789

    Como colofón las collas del 3 y del 6 actuarán juntas y nos harán un par de castillos de bella factura sobre resultados con cifras repetitivas:

        (36 + 1) x 3 =                      111                           (36 + 1) x 6 =                   222
      (3366 + 1) x 33 =                111111                      (3366 + 1) x 66 =              222222
    (333666 + 1) x 333 =          111111111                (333666 + 1) x 666 =        222222222
  (33336666 + 1) x 3333 =    111111111111         (33336666 + 1) x 6666 =   222222222222
(3333366666+1) x 33333 = 111111111111111 (3333366666 +1) x 66666 =222222222222222

Hasta aquí la diada castellera de Númerolandia, seguro que todo el mundo habrá gozado con estas filigranas numéricas y es muy probable que, también, las diversas collas de números seguirán preparando nuevos castillos para deleitar a su público...

(índice)

    He decidido denominar con este nombre a una serie de números que elevados al cuadrado cumplen una curiosa norma que afecta plenamente a su arquitectura interna, es decir, a su forma.
   Se trata, sin duda, de una pequeña maravilla que, a parte de llamar positivamente nuestra atención, nos ayudará a poder calcularlos o predecir su resultado de manera casi inmediata.
    Sólo son necesarios unos cuantos ejemplos para entenderlo rápidamente:
            6² = 36                            13² = 169                                19² = 361
          66² = 4356                      133² = 17689                          199² = 39601
        666² = 443556                1333² = 1776889                    1999² = 3996001
      6666² = 44435556          13333² = 177768889              19999² = 399960001
    66666² = 4444355556    133333² = 17777688889        199999² = 39999600001

    Esta propiedad se observa también en números de otras decenas, etc., no es el hecho de no tener ninguna o de tener sólo una decena la clave, lo que sí se puede afirmar es que se trata de una propiedad exclusiva de los números acabados en 3, 6 y 9:
           39² = 1521                       46² = 2116                               53² = 2809
         399² = 159201                 466² = 217156                         533² = 284089
       3999² = 15992001           4666² = 21771556                   5333² = 28440889
     39999² = 1599920001     46666² = 2177715556             53333² = 2844408889

    Hasta ahora sólo hemos visto números que al repetir la última cifra y elevarlos al cuadrado generan e intercalan un par de series de cifras idénticas, la primera entre la unidad y la decena y la segunda entre ésta y la centena.
    Además este fenómeno se produce también si la primera cifra está repetida, siempre, claro, que ésta sea 3, 6 ó 9:
          32² = 1024                          91² = 8281                              65² = 4225
        332² = 110224                    991² = 982081                        665² = 442225
      3332² = 11102224              9991² = 99820081                  6665² = 44422225
    33332² = 1111022224        99991² = 9998200081            66665² = 4444222225

    Como podemos observar en este tipo de números les series de cifras idénticas se hallan intercaladas entre les decenas y las centenas por lado, y delante de los millares por el otro.

    Hay casos de números que repiten la segunda serie de cifras intercaladas a partir de un número de cuatro dígitos, dado que el cuadrado del número de tres dígitos sufre un pequeño cambio provocado por las cifras llevadas en el producto, pero a partir de este punto siempre siguen la norma expuesta:
            26² = 676                            59² = 3481                                93² = 8649
          266² = 70756                      599² = 358801                          933² = 870489
>>   2666² = 7107556                5999² = 35988001                    9333² = 87104889
      26666² = 711075556          59999² = 3599880001              93333² = 8711048889
    266666² = 71110755556    599999² = 359998800001        933333² = 871110488889

      Para acabar con los ejemplos de este breve estudio comentaré que si probamos a repetir las cifras inicial y final también encontraremos esta propiedad, siempre, lógicamente, que utilicemos exclusivamente las cifras 3, 6 ó 9:
                    39² = 1521                                         69² = 4761
            3399² = 11553201                               6699² = 44876601
        333999² = 111555332001                   666999² = 444887666001
    33339999² = 1111555533320001       66669999² = 4444888766660001

    En este caso observamos que no son dos sino cuatro las series de cifras intercaladas entre cada uno de los dígitos del número base, como podéis ver las he distinguido usando dos colores para facilitar la comprensión de su correspondencia con las cifras que les generen.

    También observamos esta curiosa propiedad por los números (base) de más de dos cifras, como el 103², 1033², 10333²,...     305², 3305², 33305², etc.

 

    De todo este estudio podemos extraer algunas conclusiones:
    · Los cuadrados de los números que repiten las cifras 3, 6 ó 9, tanto si es al principio, al final o a ambos lados, presentan la curiosa propiedad de generar e intercalar series de cifras idénticas.
      La razón es la siguiente: Al efectuar los productos entre estas cifras tenemos que:
        3 x 3 = 9  y no me llevo ninguna.
        6 x 6 = 36 y me llevo 3, por tanto, 6 más las 3 llevadas son 9
        9 x 9 = 81 y me llevo 8, por tanto, 1 más les 8 llevadas son 9
        3 x 6 = 18 y me llevo 1, por tanto, 8 más la 1 llevada son 9
        9 x 6 = 54 y me llevo 5, por tanto, 4 más les 5 llevadas son 9, etc.
      (Las demás cifras no tienen esta característica)

      Estos 9 se hallan distribuidos por todo el producto de una manera uniforme y esto provoca la serie repetitiva de cifras...

    · El número de cifras intercaladas es siempre una menos que el de el de dígitos repetidos, o sea, el 4999² tiene dos series de 2 cifras intercaladas, el 533333² tiene dos series de 4, etc.

    · En el caso de que la cifra repetida sea la final (números del tipo ab², abb², abbb²,...) podemos saber la cifra correspondiente a la serie repetida al lado izquierdo, es decir, entre la unidad y la decena:

    Para el 3 siempre se genera una serie de 8. 

    Para el 6 siempre se genera una serie de 5.

    Para el 9 siempre se genera una serie de 0.

La razón la encontramos en estas operaciones:
  3 x 3 = 9, ahora le sumamos 9, resultado de les operaciones vistas anteriormente, 9 +9 = 18, la cifra es el 8.
  6 x 6 = 36, 36 + 9 = 45, la cifra repetida es el 5.
  9 x 9 = 81, 81 + 9 = 90, la cifra repetida es el 0.

    · Para poder saber la cifra correspondiente a la serie repetida en el lado izquierdo (números del tipo ab², abb², abbb²,...) hallamos más dificultades y, aunque se puede demostrar, sólo indicaré que son las siguientes:     Para el 9 siempre se genera una serie de 9.
    Para el 3 se generan series de 7, 4 ó 1 en este orden: 7, 4, 1, 7, 4, 1, 7, 4, 1 según la decena que los acompañe, (13) => 7, (23) => 4, (33) => 1, (43) => 7, etc.
    Para el 6 se generan series de 7, 1 ó 4 en este orden: 7, 1, 4, 7, 1, 4, 7, 1, 4