GEOMETRIZANDO

De los polígonos al círculo

    Siempre me ha fascinado la imagen de un polígono regular inscrito en un círculo que va aumentando su número de lados y se va acercando progresivamente a la figura del círculo hasta, prácticamente, convertirse o confundirse con él.

    Por ello quería hacer un pequeño estudio de este proceso, analizándolo de un modo gradual, hasta llegar a diversas conclusiones de como se produce, de los cambios que tienen lugar y obtener, finalmente, una serie de resultados que simplifiquen el cálculo de las cuestiones implícitas en él.

Imaginemos de entrada, y para comenzar, un triángulo equilátero inscrito en un círculo de radio, por ejemplo, igual a 1.
    Ahora se podrían plantear una serie de cuestiones:
    - ¿Cuánto miden los lados y los ángulos del triángulo?
    - ¿Qué área ocupa este triángulo?
    - ¿Qué área queda entre el círculo y el triángulo?
    Imaginemos un cuadrado u otros polígonos:
    - ¿Podemos encontrar una norma para resolver estos problemas?
    De hecho os recomiendo, si os motiva este tema, que tratéis de hallar algunas de las respuestas a las cuestiones propuestas antes de seguir adelante.

    Dado que algunos de vosotros podríais ser profanos en esta materia, de entrada, definiré algunos aspectos geométricos de forma breve.

 

 (saltar conceptos básicos)

 

Conceptos básicos

 

  - Para calcular lo que miden los ángulos interiores de un polígono regular se procede así:
    · La suma total de los ángulos de un polígono es igual al número de lados menos 2 y multiplicado por 180º, es decir: Suma de ángulos = (n - 2)· 180º    (n es el número de lados)
    · En el caso de los polígonos regulares, podemos calcular lo que mide cada ángulo interior dividiendo el resultado anterior entre el número de ángulos o lados que tiene, es decir:

            ángulo = (n - 2)· 180º / n

    Ej. Para un octágono regular (ocho lados) la suma de sus ángulos interiores es:

            (8 - 2)· 180º = 6 · 180º = 1080º

  y cada uno de sus ángulos mide: 1080º / 8 = 135º
    - El apotema de un polígono es el altura de cada uno de los triángulos en que podemos descomponer un polígono y que tienen por vértice el centro del polígono y los dos extremos de cada lado.
    - El perímetro de un polígono es la suma total de lo que miden sus lados.
      En el caso de los polígonos regulares se puede aplicar la siguiente fórmula:

                pi = n · c        (n = número de lados, c = longitud de los lados)

    - El área de un polígono de más de 4 lados se calcula efectuando el semiproducto de se perímetro pi por el apotema ap:                      A = pi · ap / 2
  - La longitud de una circunferencia es igual al doble del radi per PI:      L = 2 · PI · r
  - El área de un círculo es igual al producte de PI por el radio al cuadrado:    A = PI · r²

- Les funciones trigonométricas básicas, siempre aplicadas a los triángulos rectángulos, son:
    · El seno del ángulo, que es el cociente entre el cateto b opuesto  al ángulo y la hipotenusa h:         sin ß = b / h
    · El coseno del ángulo, que es el cociente entre el cateto a contiguo al ángulo y la hipotenusa h:         cos ß = a / h
    · La tangente del ángulo, que es el cociente entre el cateto b opuesto al ángulo y el cateto a contiguo, o bien el cociente entre el seno y el coseno del ángulo:     tg ß = b / a    o bien    tg ß = sin ß / cos ß

  Gracias a las calculadoras científicas el cálculo de estas funciones es muy sencillo y su aplicación en la resolución de problemes geométricos puede simplificar mucho la cuestión.

 

En construcción ...

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    El número pi ha fascinado a lo largo de los tiempo a numerosos matemáticos, científicos o simples aficionados al cálculo, hasta el punto de que algunos li dedicaron gran parte de sus vidas en hallarlo, calcularlo, etc.
    El número pi no es un número entero ni se puede expresar como el resultado de una fracción, sino que no tiene límite, es decir, tiene infinitos decimales y, por tanto, nunca se podrá calcular completamente, pertenece al conjunto de los números reales, pero dado que no es la raíz cuadrada de ningún número, se dice que es un "número transcendente".
    Parece que fue W. Jones el primero que empleó la letra griega pi para designarlo en su libro "Introducción a las matemáticas" (1.706), por ser la inicial de la palabra periferia (circunferencia).
    Los egipcios ya conocían que la relación entre el diámetro y la longitud de una circunferencia no se podía calcular con exactitud y la expresaron com 3 + 1/6 ó 3,16.
    Muchos siglos después el gran Arquímedes de Siracusa diseñó el método de los polígonos inscritos y circunscritos para calcularlo, que comentaré más adelante.
    Así obtuvo el valor de pi = 3 + 1 / 7   ó  22 / 7 = 3,1428
    Ptolomeo calculó que pi = 3 + 1 / 8 + 1 / 60 = 3,14166
    Los matemáticos árabes y chinos habían hallado que pi era igual a 3,1416
    Este procedimiento estuvo vigente hasta el siglo XVII, a partir de aquí los matemáticos comenzaron a diseñar algoritmos de cálculo, en los que no interviene la circunferencia, cada vez más originales y eficientes y los progresos fueron relativamente rápidos, yo destacaría algunos como:
    p =  2 x 2 x 4 x 4 x 6 x 6 x ...                                                Algoritmo de Wallis
    2      3 x 3 x 5 x 5 x 7 x 7 x ...
    p =    1   +     1     +     1        + ...                                         Algoritmo de Leibniz
    8     1 x 3     5 x 7      9 x 11
    p² = 1 +  1  +  1  +  1  + ... +   1   , o sea,   p² = 6 · S (1/n²)   Algoritmo de Euler
    6            4      9     25             n²
    Así el número de decimales hallados de pi fue aumentando sin parar:
    Van Ceule encontró 35 que hizo grabar en su tumba.
    Sharp halló 72, Lagny: 127, Vega: 139, Rutherford llegó a los 208 en 1.841 y a 440 en 1.872, pero el británico William Shanks, que dedicó 20 años de su vida, estableció la última gran marca de los calculistas, digamos manuales, al llegar al decimal 707 en 1.874. Fue homenajeado como un héroe y se escribieron bajo la cúpula del palacio de la Découverte de Paris.
    Desgraciadamente en el año 1.947, D. F. Ferguson descubrió que el decimal 528 era incorrecto, y obviamente todos los siguientes...
    A partir de la década de los 40, la aparición de los ordenadores ha permitido profundizar,  rápidamente, en el cálculo de pi, así en 1.949 se llegó a los 2.036 decimales, en 1.959 ya eran 10.000, en 1.974 se consiguieron obtener 1.000.000. Uno de los últimos récords sobrepasaba los 6 mil millones en 1.995.
   Aquí tenéis, a título informativo, los 100 primeros decimales de pi que, obviamente, no aplicaréis en vuestros problemas geométricos, pero que siempre son curiosos de ver e, incluso, os pueden servir de entrenamiento memorístico. ¿Os atrevéis?
    pi = 3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 ...

 

Un sencillo algoritmo de cálculo del número p

 

     Para acabar este capítulo dedicado al número pi, os propongo un algoritmo bastante sencillo para calcular de manera aproximada una buena serie de decimales.
    El procedimiento está basado en el método de los polígonos inscritos y circunscritos de Arquímedes, pero claro, con la ventaja actual de las calculadoras científicas.
    De esta manera nos acercaremos al método de cálculo de pi que estuvo vigente durante casi dos mil años y lo podremos comprender mejor.
    Este procedimiento consiste en calcular los perímetros de los dos polígonos regulares uno inscrito y el otro circunscrito y compararlos con la longitud de la circunferencia, de esta manera podemos hallar dos valores diferentes de p, uno inferior p_i correspondiente al polígono inscrito y el otro superior p_c obtenido con el circunscrito.
    Entonces podremos concluir que p es la media aritmética de ambos valores hallados:

p =  (p_i + p_c) / 2

    La longitud de la circunferencia, como ya sabéis, es L = 2·p·r
    El perímetro de un polígono regular inscrito es:  p = n · c
    c = 2 · r · cos a (expresando la medida del lado c en función del radio r),  n es el número de lados del polígono.
    Para simplificar el cálculo se toma como radio el valor r = 1
    Sustituyendo se obtiene:   p = 2 · n · cos a
    El ángulo a es la mitad de los ángulos interiors b del polígono regular que podemos obtener con la fórmula vista anteriormente:

  b = (n - 2) · 180º / n,   a = b / 2

  Si ahora igualamos la longitud de la circunferencia con el perímetro del polígono inscrito, obtenemos el valor p_i, es decir, el límite o valor inferior de p para este polígono:

      2 · n · cos a = 2 · p_i    =>  p_i = n · cos a

    El perímetro del polígono regular circunscrito es:  P' = n · c'
      c' = 2 · r / tg a (fijaos que para el polígono circunscrito el apotema ap' es igual al radio)
    Por tanto:   P' = 2 · n / tg a
    Igualando la longitud de la circunferencia con el perímetro del polígono circunscrito, se obtiene el valor p_c, es decir, el límite o valor superior de p:

      2 · n / tg a  = 2 · p_c    =>  p_c = n / tg a

    Finalmente obtenemos que p =  (p_i + p_c) / 2

    Veamos unos ejemplos aclaratorios:
    En el caso del octágono de la figura, y con ayuda de la calculadora científica, tenemos que:
        n = 8
        b = (8 - 2) · 180º / 8 = 135º,   a = b / 2 = 67,5º
        p_i = 8 · cos 67,5º = 3,061467458920718173827
        p_c= 8 /  tg 67,5º  = 3,313708498984760390413
        pi =  (p_i + p_c) / 2  = 3,1875879789527392821205
    Un valor de p todavía no muy correcto.
    Pero si ahora probamos con un polígono regular de n = 10.000 lados, veremos que:
        b = (10.000 - 2) · 180º / 10.000= 179,964º,   a = b / 2 = 89,982º
        p_i = 10.000 · cos 89,982º = 3,14159260191266569297934647928899
        p_c= 10.000 /  tg 89,982º  = 3,14159275694405291972467077191176
        pi =  (p_i + p_c) / 2 = 3,14159267942835930635200862560038
    Un valor que ya es correcto hasta el séptimo decimal y, por lo tanto, muy interesante...
    Lógicamente se puede seguir buscando más precisión con sólo aumentar el número de ángulos del polígono regular que tomemos como base del cálculo, pero esto, si os ha gustado el tema, ¡ya es tarea de investigación vuestra!

 

El número e: Aplicaciones y curiosidades

Autora: Bharti Pridhnani

 

· El carbono 14:
    Para determinar de una manera aproximada la antigüedad de un objeto que está formado por materia orgánica se mide la cantidad de carbono 14 que contiene. Los seres vivos tienen una cantidad de carbono 14 constante.
    Cuando un ser vivo muere esta cantidad se va desintegrando. La función que regula la desintegración se determina con la siguiente fórmula:

· Crecimiento logístico:
    Otro tipo de crecimiento es el logístico. Muchas veces las circunstancias, como, por ejemplo, la intervención del gobierno o las condiciones extremes de supervivencia, limitan el crecimiento. Este tipo de crecimiento viene dado por la siguiente fórmula:

    Hay muchas más aplicaciones de fenómenos o situaciones donde interviene el número e, pero me parece que después de leer este artículo -obtenido a partir del trabajo de investigación de la alumna Bharti Pridnani de Lloret- tendréis un concepto muy diferente de este maravilloso número irracional y trascendente, pero poco conocido, que es el número e.

 

(índice matemaravillas)