Sempre he trobat un notable plaer, diguem-ne que intel·lectual, al resoldre problemes de tota mena, especialment lògics i numèrics, crec que han estat la base per desenvolupar o millorar algunes de les meves habilitats.
    Doncs bé, en els últims temps he descobert que és, probablement, encara més divertit i motivador per mi crear problemes o exercicis, donat que en molts casos pot resultar més imaginatiu i complexa...
    Per tant us proposo una sèrie de problemes matemàtics que us poden complicar una mica la vida o fer-la més agradable!

            CRIPTOGRAMES                                                 JEROGLÍFICS MATEMÀTICS
            ELS BESSONS                                                       ALÍCIA PER SECULA...
            ELS HEXÀGONS                                                   LA LÚNULA
            L'EQUACIÓ IMPOSSIBLE                                  HEXÀMERS
            OPERACIONS INVERSEMBLANTS                 ELS SIS EUROS
            ARC OGIVAL                                                        ESCAQUEJANT
            L'ESTEL DE VUIT PUNXES 

    Els criptogrames són operacions de càlcul en les quals s'han substituït les xifres per lletres o altres símbols de manera que es proposa trobar quin valor correspon a cada lletra, tenint en compte, és clar, que una mateixa lletra no pot representar dos valors numèrics diferents.

    Potser teniu una mica de nostàlgia pel Nadal, així que he pensat una manera original de desitjar-vos unes bones festes.
    Les lletres substitueixen els nombres del 0 al 9. Sereu capaços de trobar aquesta suma nadalenca?
 

    Estem patint uns anys de grans controvèrsies internacionals, jo no pretenc prendre partit per cap altre posicionament polític que el de demanar la Pau per tots els pobles i nacions de la Terra.
    Però per desdramatitzar aquesta situació, i en to humorístic, us proposo resoldre aquest criptograma (anti EUA?)
 

    Quan era petit el meu pare em feia una "brometa" matemàtica, que potser ja haureu sentit alguna vegada.
    Quan jo li deia:    -"Papa, tinc set!"
    Ell em contestava: - "Doncs el càntir és buit, perquè és nou i encara es deu!"  (òbviament buit -> vuit = 8)

    Anys més tard jo vivia a Andújar (Jaén), en algunes ocasions que estàvem de "tapeo" amb els amics, s'havia produït la següent situació en algun bar:
    Quan a l'hora de pagar arribava el cambrer  i se li demanava:  - "¿Cuánto es?"
    Si ell responia:  - "Setesientas"              (A Andújar tothom "sesea", és a dir, pronuncia s per c)
    El graciós de torn li replicava:  - "¿Y si me quedo de pie?"         (òbviament per: "Si te sientas")

    Aquest són alguns exemples de caire, diguem-ne, popular.
    Jo ara us proposaré uns jeroglífics, de creació pròpia, generats exclusivament amb símbols o operacions matemàtiques.
    (Òbviament s'ha de considerar més l'aspecte fonètic i, per tant, em permeto algunes faltes ortogràfiques i gramaticals)

   1. El primer va ser una improvisació que vaig tenir durant una classe sobre els nombres enters a l'any 1999:

    2. Últimament s'ha posat de moda el spanglish, és a dir, la barreja d'espanyol i anglès, doncs jo m'hi apunto i us proposo aquest altre jeroglífic que es respon en aquest poti-poti del parlar. (Sigueu imaginatius!)
 

   3. El següent jeroglífic es podria considerar una crida a la prudència en carretera! (Resposta en català)
 

    4. El següent jeroglífic el dedico a un parell de companys meus.  (Resposta en català)
 

     5. Fins i tot frases senceres i llargues podríem crear només amb nombres i símbols matemàtics, vegem-ne un exemple: (Resposta en català)
 

    Som a dins d'una habitació en la qual hi ha dues portes tancades, una és la sortida i l'altre porta a la desgràcia. Óbviament desconeixem quina és la bona i quina la dolenta.
    També hi ha dos germans bessons, un que sempre diu la veritat i l'altre absolutament mentider, però tampoc sabem quin és el sincer i quin és el fals.
    Només podem fer una pregunta a un dels dos germans per tractar d'escapar.

    Potser molts de vosaltres haureu llegit el clàssic d'en Lewis Carroll "Alícia al País de les Meravelles", però el que probablement no haureu advertit és la presència d'algunes qüestions matemàtiques genials, pròpies de la privilegiada ment del seu autor, que era professor i entre les seves aficions hi havia la criptografia i els escacs.
    Jo, ara, us presento un text d'aquesta obra:

    Suposo que molts lectors han cregut que aquestes paraules eren pròpies d'una ximpleria infantil de l'Alícia, però en realitat amaguen una qüestió matemàtica fantàstica i força complexa.
    - Com creieu que està comptant l'Alícia?
    - És possible que arrivi a 20 seguint aquesta lògica?

    us garanteixo que si no reflexioneu detingudament aquesta qüestió, potser s'emportareu una gran sorpresa...

    Aquest problema geomètric és força interessant tan per la seva execució com per la seva solució:
    Heu de trobar la relació que existeix entre els dos hexàgons, el gran d'aresta 1 i el petit que queda al centre de l'estel de sis punxes.
 
 

Un dels tres grans problemes matemàtics de l'antiguitat era la "Quadratura del cercle", que consistia en trobar un quadrat de la mateixa àrea d'un cercle donat.
    Això que, d'entrada, pot semblar relativament senzill, no ho és en absolut si tenim en compte que els geòmetres grecs eren completament puristes i només permetien utilitzar la regla i el compàs.
    Òbviament la resolució numèrica d'aquest problema és fàcil, però des del punt de vista geomètric va trencar el cap als millors matemàtics durant més de 2.000 anys, fins que al segle XIX es va demostrar que era una qüestió irresoluble. Pobrets si ho arriben a saber!!

    Un dels que ho va provar intensament fou Hipòcrates de Quios, qui durant un dels seus nombrosos estudis al respecte va dissenyar aquesta figura denominada "lúnula".
    Jo us proposo la següent qüestió:
    Calculeu l'àrea d'aquesta lúnula, tenint en compte que la base i l'altura del triangle generador és, per exemple, una unitat.
    Sens dubte un problema curiós...
   

    "Fa molts anys em van plantejar de resoldre una equació força atípica i he cregut que podria ser una bona manera de torturar-vos si és que encara aguanteu 'on line', fins i tot, faré un petit regal a aquells que es prenguin la molèstia de resoldre-la."
    Es tracta de trobar els quatre nombres més petits que compleixen una igualtat del tipus següent:

    Si a = 1, és a dir, per la potència 1, tenim que:

    Si a = 2: Trobar els quatre primers nombres que resolen l'equació:

    Jo proposo calcular aquesta igualtat si a = 3, és a dir, per a la potència 3.
    Trobeu els quatre nombres més petits i el resultat N, que compleixen:

    De vegades trobem problemes de càlcul que poden ser tan senzills, però amb una aparença tan terrorífica, que podríem creure qui els planteja s'ha begut l'enteniment...
    Doncs potser sí! però, en qualsevol cas, us proposo que calculeu, sense ajut de la calculadora, el següent parell d'equacions:

    Com que la immensitat d'aquest nombres us pot desconcertar en un principi, si voleu un petit ajut us recomano que consulteu l'article de la meva plana dedicat a les curiositats titulat:

    us proposo ara un parell d'exercicis de càlcul basats en el joc "Xifres + Lletres"
  Amb les 6 xifres donades al voltant, heu de trobar el nombre de 3 xifres proposat al centre dels "Hexàmers"
    Es poden utilitzar les 4 operacions aritmètiques, és a dir, suma, resta, producte o divisió.
    No és necessari fer servir totes les xifres, però només es poden utilitzar un cop, és a dir, no se’n pot repetir cap.

    Ambdós problemes tenen, al menys, una solució exacte, per molt que us pugui semblar impossible!!

    Els arcs ogivals foren una evolució arquitectònica que es va produir a la transició del romànic al gòtic, es varen emprar en les façanes, portes, sovint incloent una rosassa de vitralls, etc.
    Al ser combinats amb les arquacions es va resoldre un problema típic dels arcs de mig punt, que era el no permetre la unió de dos pilars de diferent altura. Les ogivals, en canvi, si ho permeten, ja que per a anivellar dos pilars de diferent altura només caldrà ajustar l'amplitud de les ogives del sostre.
    Un arc ogival és la intersecció dels quadrants de dos cercles del mateix radi situats un a cada banda, de fet l'amplitud de l'ogiva és igual al radi d'aquests cercles generadors.
    És a dir, imaginem un quart de cercle a la dreta que es creua amb un altre quart de cercle del mateix radi a l'esquerra, la zona d'intersecció delimita un arc ogival. Quines coses que sabien a l'Edat Mitjana!

No ens traslladarem a l'Edat Mitjana, però us plantejaré unes qüestions en relació als arcs ogivals:
    · Calculeu l'àrea de l'arc ogival tenint en compte que la seva amplitud, és a dir, els radis dels cercles generadors és 1
    · Calculeu l'àrea del cercle menor, la rosassa, contingut en ell.
    · Finalment, imagineu qualsevol dels dos cercles generadors de l'ogiva i calculeu quants cercles menors, rosasses, s'hi podem incloure exactament.

    Ja tenim l'euro a casa!!
    I malgrat les dificultats d'adaptació i de que seguim pensant en pessetes, tots sabem que sis euros són 1.000 pessetes, així que jugant una mica amb aquesta relació, els he situat formant un triangle i us proposaré un problema geomètric:

  Calculeu l'àrea que queda entre mig dels 6 euros, de color grana, tenint en compte que cada euro té un radi, per exemple, d'un centímetre.
 

    En aquest problema us proposo completar aquest estel de vuit punxes amb els nombres de l'1 al 16 de manera que:

· Totes i cadascuna de les línies rectes que la delimiten sumin 34.

· Els vèrtex de cada quadrat també sumin 34.

    Ànims i no acabeu estrellats!!

                        (solució)

    Potser sou també aficionats al joc dels escacs com jo, o si més no, us sembla un joc interessant i coneixeu els moviments de les peces i les regles del joc. En qualsevol cas, hi ha molts problemetes de caire matemàtic que es poden plantejar a partir dels escacs. Vegem-ne uns quants:

        APERTURA NUMÈRICA:
    Quantes jugades possibles hi ha a la primera jugada dels escacs en total, és a dir, considerant totes les jugades que poden fer les blanques primer i les posteriors respostes de les negres?
    No és un problema extremadament complicat, però si no en teniu prou amb això, podeu calcular llavors les jugades de que disposen les blanques a la segona jugada, etc.
 

        LA PEÇA UNIFORME:
    Quina és la única peça del joc dels escacs que sempre, és a dir, des de qualsevol casella del tauler (si no hi ha obstacles) disposa del mateix nombre de moviments o caselles possibles?
 
 

        PECES INTOCABLES:
    Probablement coneixeu el problema de les vuit dames, és a dir, situar vuit dames sobre el tauler de manera que no puguin amenaçar-se o menjar-se entre elles (si no ho heu provat mai de fer és, al menys, entretingut). El mateix podria plantejar-se amb vuit torres, però en aquest cas, és força senzill de trobar.
    Jo vull plantejar, ara, una variant amb les altres peces menors, els alfils i els cavalls.
    · Quants alfils (de caselles blanques i negres alhora) podem situar com a màxim en un tauler d'escacs sense que es mengin o s'amenacin entre ells? Com?
   · Quants cavalls podem situar com a màxim en un tauler d'escacs sense que es mengin o s'amenacin entre ells? Com?

 · EL REI VIATJER:
    ¿De quantes maneres diferents es pot desplaçar el rei blanc des de al seva casella inicial (e1) fins a la posició del rei negre (e8) empleant només set pases?

    Si es dibuixa el triangle que uneix els sis centres de les monedes veurem que es forma un triangle de costat igual a 4 cm:

    · L'àrea del triangle és 4·V3, donat que la base és 4 i l'altura 2·V3     (V3 és l'arrel quadrada de 3)
    · L'àrea dels cercles (o monedes) que queden a dins d'aquest triangle és 2·PI, donat que està composta de tres meitats de moneda més altres tres sisenes parts: 3 PI / 2 + 3 PI / 6 = 2 PI

    Llavors només cal restar aquestes dues superficies per obtenir l'àrea buscada:
    Àrea intersticial total = 4·V3 - 2·PI