arcos

El propósito de esta exposición es establecer los fundamentos del sistema constructivo medieval desde los conocimientos actuales. Para ello nos vamos a centrar en un elemento del mayor interés como es el arco, y de su aplicación en la edificación y en la construcción.

A lo largo de la Edad Media se construyen arcos en los que es posible advertir una evolución de su tipología. Sin que se tuviera una base científica que lo justificara, por experiencia e intuición, los constructores se aproximan a formas de mayor calidad estática. Para realizar el análisis cualitativo de la resistencia y estabilidad de los arcos, vamos a introducir previamente las características físicas del hilo sometido a fuerzas externas, y posteriormente justificar, por analogía, el comportamiento del sistema constructivo.

Se ha pretendido prescindir del formulismo físico-matemático que los lectores interesados pueden encontrar en los libros de Estática citados en la bibliografía. Sin embargo, consideramos que el rigor científico nos obliga a introducir, aunque simplificadamente, los principios básicos que justifican las conclusiones.

1.1. Estática del hilo

Se denomina hilo a un sistema longitudinal, continuo y deformable, cuyos elementos pueden orientarse por la acción de las fuerzas. Posee las propiedades de flexibilidad (no presenta resistencia a la flexión) e inelasticidad (su longitud permanece inalterable).

Las condiciones de equilibrio de un sólido libre requieren que la resultante vectorial de las fuerzas que actúan sobre él sea nula, y que el momento resultante sea también nulo; si está inicialmente en reposo, ni se desplaza, ni gira.

Al aplicar estas condiciones al hilo, se debe cumplir que, para cualquier elemento considerado, la fuerza que actúa a través de una sección sea tangencial al hilo. A esta fuerza transmitida por el hilo se denomina tensión y actúa a tracción: hacia afuera. Denominamos funicular a la línea geométrica que representa a un hilo en equilibrio sometido a fuerzas externas y con determinadas condiciones de apoyo (fig. 1). En cada punto del hilo podemos descomponer la tensión, de dirección tangencial, en sus dos componentes horizontal y vertical:

Figura 1.- Fuerzas transmitidas por un hilo en equilibrio.

Por la condición de flexibilidad, si el hilo está sometido a fuerzas de dirección constante, por ejemplo el peso vertical, la curva de equilibrio es plana; otras acciones perpendiculares al plano deformarían la curva. Por medio de las ecuaciones de la estática es posible demostrar que la componente horizontal de la tensión tiene el mismo valor en todos los puntos del hilo. Si consideramos dos puntos P₁ y P₂, en los cuales la tensión vale T₁ y T₂ respectivamente, se cumple que H₁ = H₂ y V₁ # V₂ (fig. 2). Además, por ser el peso una fuerza conservativa, es la misma la diferencia de la tensión entre dos puntos cualesquiera con el mismo desnivel.

Si el hilo, fijo en sus extremos, únicamente está sometido a su propio peso la figura geométrica que forma es la catenaria. El valor de la tensión es máximo en los puntos de máxima pendiente, en los extremos, y, puesto que la componente horizontal es constante, la que se incrementa con la altura es la componente vertical de la tensión. Conocidos la longitud y peso del hilo, y las posiciones de los puntos de apoyo, es posible calcular la tensión en cada punto, y la luz y flecha de la curva de equilibrio.

Figura 2.- Tensiones transmitidas en la catenaria.

Una modificación de las condiciones anteriores se presenta cuando el hilo soporta una carga constante por unidad horizontal. Un ejemplo puede ser los puentes colgantes, en que dos columnas verticales sostienen los extremos de un hilo, el cual por medio de tirantes verticales, equidistantes y próximos, soporta el peso de una plataforma horizontal. En este caso, la curva de equilibrio adopta la forma de parábola simétrica; también se cumple que la componente horizontal de la tensión es constante, y la componente vertical aumenta con la pendiente hasta alcanzar el máximo en los apoyos. En general, distintos sistemas de fuerzas aplicadas darán lugar a diferentes formas geométricas de curvas en equilibrio, respecto de las cuales se cumple necesariamente que la tensión es tangente en cada punto.

1.2. Arcos resistentes a compresión

Los arcos formados por dovelas pétreas, o de ladrillos, trabajan a compresión. Las condiciones de estática de estos sistemas materiales son las mismas que las del hilo salvo el sentido de la tensión de cada elemento: compresión frente a tracción. En los arcos, las fuerzas también se transmiten tangencialmente a la curva de equilibrio; si consideramos uno de los elementos, el sentido de la acción, ejercida sobre él por los elementos laterales, es hacia adentro. Por tanto, si el hilo adopta una cierta configuración de equilibrio bajo la acción de un conjunto de fuerzas externas, esa misma configuración invertida la adopta el sistema material, si se somete al mismo conjunto de fuerzas cambiadas de sentido. A la curva de equilibrio generada se le denomina antifunicular. Así, el arco homogéneo permanecerá en equilibrio sometido a su peso o a cargas uniformes, con forma de catenaria o parábola, respectivamente, pero de concavidad invertida.

Puede parecer sorprendente que una estructura rígida y un hilo flexible tengan comportamientos que respondan al mismo modelo. Ello es debido, insistimos, a la analogía de la acción de las fuerzas sobre cualquiera de los fragmentos en equilibrio, en que mentalmente podemos descomponer tanto el hilo como el arco pétreo, y su transmisión a los elementos adyacentes.

Si la línea teórica de equilibrio está comprendida en el perfil real del arco, este es estable. Por el contrario, si la forma geométrica del arco y la curva funicular no coinciden, es preciso para que el conjunto esté en equilibrio que, al menos, esta se encuentre incluida en el área de materia resistente del paramento que, en su caso, contenga al arco. En consecuencia es posible prever el comportamiento de estructuras constructivas (incluso perfiles de cubiertas y bóvedas) mediante sistemas a escala de hilos, en que las cargas se simulan colgando pesas proporcionales. En el siglo XX, Gaudí proyectó los perfiles neogóticos de la Sagrada Familia basándose en maquetas de hilo.

1.3. Falsos y verdaderos arcos

Es conveniente distinguir las características de elementos constructivos que pueden adoptar formas y ejercer funciones de arcos pero que responden a fundamentos mecánicos distintos a los enunciados.

Un modo simple de lograr falsos arcos de descarga es la colocación en V invertida de dos grandes losas, apoyándose mutuamente por el vértice superior, sobre las que, en ocasiones, puede superponerse horizontalmente una tercera losa (sistema análogo al juego de construcción de celosías con naipes). Impedido el deslizamiento en la base, la tendencia de vuelco de las losas inclinadas es anulada por el efecto antirrotante del momento de las reacciones del apoyo superior. Las fuerzas debidas a los pesos de los materiales que soportan se transmiten a lo largo de las losas¹³⁷ (fig. 3). Desde el punto de vista mecánico este sistema es mixto entre el voladizo y el comportamiento de dovelas de los arcos verdaderos; obsérvese que por su geometría triangular es más estable ante solicitudes laterales que el pórtico adintelado.

Los falsos arcos en voladizo están formados por un doble sistema de hiladas horizontales, separados en la base, tal que los bloques externos de cada hilada sobresalen respecto de las que le sirven de apoyo, por lo que progresivamente ambos lados se aproximan hasta cerrar en el vértice. La condición estética viene determinada por que ningún bloque extremo pueda provocar el vuelco, al girar bajo la acción de la fuerza vertical debida al propio peso y al que sustenta (fig. 4). Por la disposición en voladizo de los bloques, el centro de gravedad del conjunto tiende a desplazarse de forma que su proyección no corte a la base de sustentación, lo que genera inestabilidad y limita la posibilidad de salvar grandes luces¹³⁸.

Figura 3 -Condiciones de equilibrio en el triángulo de descarga.

Figura 4-Condiciones de equilibrio en el falso arco.

Figura 5 -Acciones transmitidas sobre la dovela del arco.

Los arcos verdaderos están formados por bloques en cuña truncada, dovelas, orientados perpendicularmente a los esfuerzos de compresión que se transmiten por contacto a través de la estructura, por lo que tienden a adoptar la forma de antifunicular (fig. 5). El ideal del constructor es aproximarse empíricamente a estas líneas geométricas de modo que se logre que la compresión entre dovelas adyacentes quede centrada uniformemente en el ancho de las juntas. Evidentemente los constructores medievales no poseían los fundamentos científicos para obtener teóricamente las condiciones óptimas de resistencia, el antifunicular, sin embargo, lograron soluciones más avanzadas que las empleadas por los romanos con el arco de medio punto.

II. TIPOLOGÍA DE ARCOS Y PUENTES MEDIEVALES. ANÁLISIS DE ESTABILIDAD

II.1. El arco de medio punto

Durante la Alta Edad Media se mantiene en Europa occidental el arco de medio punto y bóveda de cañón como herencia romana y pervive en los edificios de estilo románico. Al caer el Imperio se restringe la necesidad de comunicaciones y no es época de construcción de grandes puentes, sino sólo de reparación de los existentes.

El arco de medio punto es un arco verdadero que no coincide con el antifunicular, por lo que exento ofrece poca resistencia. La estabilidad de los arcos y puentes romanos se basa en la masa resistente que constituye el material de relleno del cuerpo constructivo bajo la plataforma. Así se logra que la línea resistente de transmisión de esfuerzos, aunque no coincida con la semicircunferencia del arco, está comprendida en el plano material formado por el paramento (fig. 6). Si existen huecos de aligeramiento en el tímpano, están siempre fuera de la línea resistente. Obsérvese que la elogiada durabilidad de los puentes romanos no está basada en la calidad estática del perfil de los arcos.

Figura 6-Funicular y arco de medio punto.

Tanto en el arco principal como los de aligeramiento, la altura y semi-luz vienen determinados por los respectivos radios por lo que es necesario emplear las dovelas de dimensiones y curvatura apropiadas a cada arco.

Los apoyos de los arranques del arco están sustentados sobre pilaren verticales que, para la estabilidad del conjunto, precisan de amplias secciones capaces de soportar el empuje de grandes masas. La anchura del pilar, en los puentes romanos, es del orden de un medio o un tercio de la luz del arco lo que produce, en caso de avenidas, problemas hidráulicos de desagüe, por reducción efectiva del cauce.

Precisamente los gruesos pilares permiten absorber los esfuerzos horizontales no compensados durante la fase de construcción de cada uno de los arcos¹³⁹. De este modo, cada arco se comporta como una unidad independiente, estable en sí mismo, lo que permite la construcción sucesiva: sólo es necesaria una única cimbra que se utiliza repetida y progresivamente. Se llama cimbra al armazón provisional, de madera, sobre la que descarga el arco durante la fase de construcción hasta que se cierra la clave y el arco alcanza el equilibrio interno definitivo (o se derrumba).

En general los puentes romanos son de rasante horizontal -con rampas de acceso, si fueran precisas- parapetos resaltados, amplitud del carril de circulación, robustos tajamares contracorriente y contrafuertes aguas-abajo para evitar la erosión por turbulencias.

II.2. Arco ojival

A partir del siglo XI el desarrollo de las ciudades, con la consiguiente expansión comercial, y las peregrinaciones, generan la necesidad de vías de comunicación lo que condujo a la construcción de nuevos puentes, en paralelo con la de catedrales góticas. El modelo que se adopta es el arco ojival, tal vez importado por los cruzados.

Geométricamente, la ojiva se compone de dos arcos simétricos correspondientes a circunferencias de igual radio y distintos centros, que dan lugar a un vértice en la intersección. La ventaja constructiva de la ojiva es que permite trazar huecos de la misma altura para distintas luz de base, simplemente aproximando los centros de los arcos de circunferencia, sin modificar el radio. Esta posibilidad se aprovecha estéticamente en los ventanales de las catedrales góticas y contribuye a su difusión. Además permite emplear un único tipo de dovela en un conjunto de arcos, aún con geometría diferente, lo que representa una economía de esfuerzo para los canteros que unifican la producción. Posteriormente, para suavizar el quiebro en la zona de la clave, se introduce un tercer arco, de menor radio, con centro en el eje de simetría.

El arco ojival y el de tres centros tienden al antifunicular por lo que mejoran la calidad estática. Además, su gran ventaja sobre el de medio punto es que permite, para una luz determinada establecer la flecha conveniente tal que, en el caso de puentes, los apoyos arranquen desde bases firmes.

La similitud geométrica entre el arco ojival y el antifunicular ha permitido en las catedrales góticas prescindir de muros resistentes y sustituirlos por vidrieras, sin que sea afectada la estabilidad del conjunto; la transmisión de esfuerzos se realiza directamente por el arco sin necesidad de materia anexa que garantice el equilibrio. La estructura arco-pilar, reforzado con estribos, elimina en gran medida al muro como elemento de descarga, reduciéndolo a simple cerramiento, y generando amplios vanos. En este sentido, podemos afirmar que la caracterización de todo un período histórico, en los aspectos arquitectónicos pero también espiritual y social, es consecuencia de la aplicación de los principios de la Estática.

Es interesante contrastar cómo en ruinas góticas es posible observar los arcos ojivales completos, aun cuando falten la techumbre y otros elementos de la estructura, y sin embargo es infrecuente la misma observación de arcos de medio punto en restos renacentistas, de los que únicamente permanecen los arranques.

Aunque no existen criterios constructivos uniformes en los puentes medievales ojivales podemos indicar algunas características frecuentes:

• Suelen presentar plataforma con pendientes «en lomo de asno» que les da esbeltez frente a la robustez de los puentes romanos. La estética y la estática se conjugan.

• La curvatura del arco se inicia desde la misma base de apoyo.

• El carril de circulación, y consiguientemente el intradós, es relativamente estrecho.

• Si es posible, se tiende a construir puentes de un solo ojo con arranques sobre terreno firme fuera del cauce, para lo que se eligen emplazamientos de poca anchura del río.

• En general, en los de varios ojos, los tajamares reducen su volumen hasta formar un simple espolón adosado a la pila, la cual tampoco precisa amplia sección.

• En ocasiones se construyen puentes asimétricos con el fin que la pila central cimente sobre rocas, aunque ello implique que las cargas no estén horizontalmente equilibradas. En tales casos, se les suele incorporar una torre defensiva que como veremos posteriormente cumple funciones estabilizadoras de la estructura.

• Los materiales constructivos son de diversa calidad desde sillares con labra, en las proximidades de ciudades, hasta, más habitualmente, sillares de pobre factura y sillarejos, sin resaltes en los parapetos, ni ornamentación alguna.

El análisis de estética establece que el arco ojival transmite las tensiones en dirección aproximadamente tangencial, por lo que la inclinación del arranque indica el valor de la componente horizontal de apoyo. En puentes de un solo ojo la acción se transmite al terreno firme que la neutraliza y se logra la estabilidad (fig. 7).

Si existen varios ojos, las acciones sobre la pila común de arcos adyacentes iguales se neutralizan horizontalmente; el peligro mayor de derrumbe se presenta durante el período de obras si se producen desequilibrios, lo que obliga a que los dos arcos, y en consecuencia todos, se construyan simultáneamente o, al menos, se mantengan todos cimbrados hasta el final. Esto, a su vez, produce una complicación económica y de organización.

Figura 7. Arco en acequia en Aroche.

En pares de arcos adyacentes asimétricos es frecuente observar la existencia de un torreón defensivo o de peaje. La introducción de este elemento tiene una justificación física: en arcos asimétricos las componentes horizontales de los esfuerzos transmitidos no se anulan. En consecuencia, la resultante de las fuerzas que actúan sobre el pilar de sustentación es inclinada, lo cual puede generar el derrumbamiento de este por desplazamiento lateral. La condición de equilibrio del pilar requiere que la línea de acción de la resultante corte a la base; si cruza por la superficie lateral e incide sobre tierra firme fuera de la sección de apoyo, el pilar tiende a volcar. Para aproximar la dirección de la resultante a la vertical se añade el peso suplementario del torreón, lo que afecta favorablemente a la estructura si se apoya en roca firme. La existencia del torreón entre los arcos conduce, a su vez, a una base de sustentación más amplia por lo que la recta directriz de la resultante, aunque levemente inclinada, corta a la sección ampliada de apoyo dando lugar a un conjunto más estable, incluso sobre terrenos aluviales.

El comportamiento de los arcos y arbotantes de las catedrales es similar al expuesto, donde el peso de los pináculos y contrafuertes ejercen la misma función estabilizadora que la descrita en el torreón. Se hace innecesario el uso de tirantes en las bases de arcos y bóvedas. (Los tirantes son utilizados, sin embargo, entre las paredes en que apoyan los tejados a doble vertiente, para impedir que las componentes horizontales dirigidas hacia el exterior abran el edificio. Por ejemplo, las vigas exentas que cruzan bajo el artesonado de iglesias mudejares ejercen función de tirantes entre las paredes laterales.)

Podemos considerar que el comportamiento estático del arco ojival permite comprender la estabilidad del sistema de bóvedas, e interpretar la estructura del edificio gótico como un sistema mecánico unitario sometido a interacciones.

II.3. Otros tipos de arcos

A final de la Edad Media se inicia en las ciudades italianas la construcción de puentes de distintos tipos, evolución de los anteriores. Estos se desarrollarán hasta principios del siglo XVIII, en que se crean las primeras Escuelas de Ingenieros en Europa en las que se elaboran estudios mecánicos rigurosos.

Los puentes segméntales están formados por arcos de circunferencias cuyo ángulo central es de 90° lo que conduce a una figura más rebajada, de amplias luces, y con inclinación en los apoyos muy marcada. Estéticamente produce condiciones de gran estabilidad. (El ejemplo más difundido es el Ponte Vecchio de Florencia.) Obsérvese que aunque utiliza secciones circulares, como el de medio punto, su comportamiento es distinto. En aquel, el ángulo central es 180° y arranca vertical desde los pilares; en éste, se arranca oblicuamente desde la misma pila.

Una variación del puente segmental de sección circular es el puente de arcos parabólico. Tal vez su construcción fue inspirada por motivos estáticos, pero conceptualmente supuso un nuevo avance al aproximar el arco al antifunicular.

No tenemos conocimiento de grandes puentes colgantes medievales en Europa, pero las informaciones de los misioneros jesuítas en China y Japón, a partir del siglo XVI, los describen. Es previsible que en Occidente se utilizaran como pequeñas pasarelas peatonales en zonas abruptas. El carácter perecedero de los materiales, madera y cuerdas de cáñamo, impide que queden restos.

BIBLIOGRAFÍA

• ARENAS DE PABLO, J.: «Los Puentes en la Edad Media» en Tecnología y Sociedad; Obras Públicas en la Edad Media. Semana de Estudios Medievales. Estella, 1987.
• BEER, F., y JOHNSTON, R.: Mecánica vectorial para ingenieros. Estática. Mac Graw-Hill. Madrid, 1991.
• BELMAR, R; GARMENDIA, A., y LLINARES, J.: Curso de Física Aplicada. Estática. Publicaciones Universidad Politécnica. Valencia, 1990.
• ESCRIG PALLARES, Félix: Las grandes estructuras de los edificios históricos: de la Antigüedad hasta el Gótico. Instituto Universitario de Ciencias de la Construcción. Sevilla, 1997.
• MESQUI, J.: Le pont en France avant le temp des ingenieurs. Ed. Picard. París,1986.
• MUÑOZ, M.; LÓPEZ, A. J., y GARCÍA, L.: Cuadernos de Física para Arquitectos Técnicos. Estática (en prensa).
• WITTFOHT: Puentes; ejemplos internacionales. Edit. Gustavo Gili. Barcelona, 1975.

137 En cualquier sección normal de la losa, la resistencia del material soporta el esfuerzo cortante y momento flector debidos a la componentes perpendiculares al eje longitudinal, y por tanto el único efecto es la transmisión de acciones a lo largo de la propia losa hasta descargar en el apoyo de la base. No puede haber más de una losa en cada lado del triángulo, porque en caso contrario, en la superficie de separación entre ellas se produciría la fractura.

138 Consideremos simplificadamente sillares prismáticos iguales superpuestos; si únicamente tenemos dos hiladas, el avance del voladizo no podrá superar la mitad de la longitud de la base del bloque, si tenemos tres hiladas, el máximo avance de cada una será un tercio,... si tenemos n hiladas, cada avance parcial sólo podrá ser la nsima parte de la base. Es decir, para cualquier número de hiladas, la semiluz -el avance total- del arco aislado no superará la longitud de cada bloque, con independencia de su grosor (que únicamente afecta a la flecha total). Una modificación constructiva es que el voladizo de cada hilada respecto de la inferior, sea progresivamente más acentuado para lograr un perfil de curvatura creciente. Para aumentar la luz del arco, se recurre a la ligadura con mortero entre hiladas y al refuerzo del sistema, en la zona posterior del conjunto de bloques, con cargas de compactación que se oponen al vuelco.

139 Consideremos un prisma apoyado sobre una superficie horizontal, sobre la cual se ejerce una fuerza lateral. Es condición para que el cuerpo no vuelque que la recta directriz de la resultante (diagonal del paralelogramo formado por la fuerza aplicada y el peso) corte a la superficie en un punto de la base de contacto. Si no es así, se puede buscar el equilibrio ampliando la longitud (b) de la base, disminuyendo el valor (F) o bajando la altura (h) del punto de aplicación de la fuerza, o aumentando el peso (P). La condición de no vuelco se expresa físicamente por la inecuación: F.h > 1/2 P.b.

"La técnica de la arquitectura medieval" Amparo Graciani García
Universidad de Sevilla, Secretariado de publicaciones, 2001