Tema:

Geometria lineal de l'espai 3D

Nivell:

Superior

Títol:

Domina les equacions de rectes i plans a l'espai 3D!

Paraules clau:

Geometria, Geometria lineal, Geometria de l'espai, Geometria analítica, Àlgebra, Recta, Pla.

Objectius generals:

• Fer un aprenentatge significatiu de les definiciones de rectes i plans de l'espai.

• Ser capaç de reconèixer les equacions paramètriques com a concrecions de les definicions.

• Ser capaç d'obtenir vectors de les direccions a partir de punts de la recta o del pla.

• Ser capaç d'escriure les equacions d'un pla o d'una recta a partir de punts que hi pertanyin.

• Conèixer com convertir equacions paramètriques a cartesianes i v. v.

• Ser capaç de trobar punts de plans o rectes donades, a partir de les seves equacions, paramètriques o cartesianes.

Objectius didàctics:

Dominar la Geometria analítica lineal de dimensió 3.

Resum:

Un conjunt d'activitats pensades per a ensenyar les definicions vectorials de rectes i plans a l'espai 3D, com produir-ne les equacions a partir d'aquestes definicions i com manipular-les.

Què es necessita i on trobar-ho:

• El mathplet Geometria Lineal 3D (quatre idiomes) a la web de la XTEC.

• El Linear Solver, o la Solveuse Linéaire, a "Interactive mathematics on the internet",

Temes relacionats:

• Geometria lineal del pla.

• Sistemes lineals de més de dues variables.

Requeriments inicials:

• Vectors de l'espai. Suma, multiplicació per escalars i combinacions lineals.

• Translacions d'un punt mitjançant un vector.

• El mètode d'eliminació de Gauss per a diagonalitzar un sistema lineal.

• Saber escriure la solució general d'un sistema lineal.

Enllaços d'interès:

• "Directions, Planes and Lines" és una col·lecció de fórmules per a rectes i plans que inclou distàncies entre ells i a punts. És una part de "Geometry Formulas and Facts".

• DPGraph 2000 és un software de dibuix per a 2D, 3D, 4D... de qualitat fotogràfica, molt potent. Tan fàcil com escriure GRAPH3D(X^2+Y^2+Z^2=9) per a un pla. Permet fer animacions.

• Un llibre: Crowe, Michael J. "A History of Vector Analysis: The Evolution of the Idea of a Vectorial System". New York: Dover, 1994. 270 p. USD 7.95.

Procediments:

• Presentació inicial:

  • En una demostració de classe feu servir el mathplet Geometria lineal 3D i, començant amb un punt fix i un vector fix, mostreu com <point>+k<vector> produeix vectors amb totes les puntes sobre una mateixa recta.

  • Amb el mateix Mathplet i, començant amb un punt fix i dos vectors fixos, mostreu com <point>+k<vector₁>+l<vector₂> produeix vectors amb totes les puntes sobre un mateix pla.

  • Introduïu les equacions paramètriques d'una recta i d'un pla.

• Activitat principal (1): Els alumnes val ara a les màquines (dos alumnes/màquina és una bona proporció) i fan servir el mathplet Geometria lineal 3D.

  • Amb un punt i un vector, miren de construir una recta d'equacions paramètriques donades.

  • Amb dos punts, miren de construir una recta d'equacions paramètriques donades.

  • Amb un punt i dos vectors, miren de construir el pla que té unes equacions paramètriques donades.

  • Amb tres punts, miren de construir el pla que té unes equacions paramètriques donades.

• Presentació intermèdia: Les equacions paramètriques com a solucions generals de sistemes lineals. Useu el mathplet Geometria lineal 3D i el Linear Solver.

Activitat principal (2): Els alumnes tornen ara a les màquines i fan servir el mathplet Geometria lineal 3D i el Linear Solver.

• Exercicis de càlcul d'equacions cartesianes de rectes i plans.

• Exercicis de conversió d'equacions cartesianes a paramètriques.

• Exercicis de conversió d'equacions paramètriques a cartesianes.

• Activitats d'ampliació:

  • Exercicis interactius on line a "Interactive mathematics on the internet":

    • Deux points d'une droite dans l'espace. Donner deux points d'une droite définie dans R³ par deux équations.

    • Équation d'un plan dans l'espace. Trouver l'équation d'un plan d'après les coordonnés de trois points.

    • Équations d'une droite dans l'espace. Trouver deux équations définissant une droite d'après les coordonnés de deux points

    • Trois points d'un plan dans l'espace. Donner trois points d'un plan défini dans R³ par une équation.

  • Exercicis de llàpis i paper:

    • Trobar punts a rectes i plans a partir de les seves equacions paramètriques.

    • Trobar punts a rectes i plans a partir de les seves equacions cartesianes.

    • Trobar les equacions paramètriques d'una recta a partir d'un punt i d'un vector donats.

    • Trobar les equacions paramètriques d'una recta a partir de dos punts donats.

    • Trobar les equacions cartesianes d'una recta a partir d'un punt i d'un vector donats.

    • Trobar les equacions cartesianes d'una recta a partir de dos punts donats.

    • Trobar les equacions paramètriques d'un pla a partir d'un punt i de dos vectors donats.

    • Trobar les equacions paramètriques d'una pla a partir de tres punts donats.

    • Trobar les equacions cartesianes d'un pla a partir d'un punt i de dos vectors donats.

    • Trobar les equacions cartesianes d'un pla a partir de tres punts donats.

    • Trobar les equacions cartesianes de rectes i plans a partir de les seves equacions paramètriques.

    • Trobar les equacions paramètriques de rectes i plans a partir de les seves equacions cartesianes.

    • Problemes de rectes i plans a http://www.ping.be/math/Prmk.htm (Idioma: Anglès).

Avaluació:

• Autoavaluació: Tot treballant amb el mathplet Geometria lineal 3D els alumnes poden avaluar el seu propi treball en visualitzar com les seves accions produeixen o no els resultats que es demanen.

• Professor: Investigueu la proficiència dels vostres alumnes en exercicis de llàpis i paper del tipus del que es proposen a les Activitats d'ampliació.

Exemples:

• Quant a la presentació inicial.

• Quant al treball dels alumnes.

Informació sobre el(s) autor(s):

• Nom: Carles Romero
• Institució: IES "Manuel Blancafort" i Virtual School (EUN) Mathematics Department
• Pais: Catalunya, Espanya
• Professor/estudiant Professor
• e-mail: cromero@pie.xtec.es
• Pàgina personal: http://www.xtec.es/~cromero/index.htm

Rebuda:

2000/10/05