La superfície de l'esfera equival a 4 cercles
Fixeu-vos en l'esfera de la següent animació:
De fet no és una esfera, és un poliedre pràcticament equivalent. Com que podem imaginar una descomposició en piràmides tan petites com vulguem, treballarem amb aquesta aproximació.
Si voleu manipular lliurament el desplegament i canviar el punt de vista de l'animació podeu descarregar aquí la construcció de GeoGebra amb la que està feta l'animació.
De què ens serveix aquesta idea de la descomposició d'una esfera en moltes piràmides?
Doncs per relacionar la fórmula del volum de l'esfera i la fórmula de la superfície esfèrica.
Veiem-ho:
Com que coneixem la forma de calcular el volum de les piràmides i totes aquestes piràmides tenen en comú que la seva l'altura és el radi de l'esfera, tenim:
( El signe 
significa "Suma". Feu doble clic per aturar l'animació)
És a dir si coneixem la fórmula del volum de l'esfera deduïm la fórmula de la superfície de l'esfera i a l'inrevés.
Com que coneixem la fórmula del volum de l'esfera (si no és el cas mireu aquí ! ) tenim immediatament que:
Construcció d'un "poliedre quasi esfèric" amb 4 "quasi cercles"
Hem vist doncs, que la superfície d'una esfera equival a la de 4 cercles. La superfície esfèrica és corbada i no la podem desplegar sobre un pla, però si fem l'aproximació de substituir l'esfera per un poliedre que s'hi acosti, podem intentar-ho.
Aquest és l'objectiu de l'activitat manipulativa que us proposem a continuació. Es tracta de construir a partir de 4 cercles (més exactament un conjunt de polígons amb una figura semblant a cercles), una superfície esfèrica. (més exactament un poliedre semblant a una esfera).
Descarrega aquesta plantilla 
, imprimeix-la 4 cops, retalla les 4 peces, doblega-les, i enganxa-les.
Així que amb 4 peces semblants a cercles hem construït un poliedre que s'assembla a una esfera.
Recorda doncs:
El poliedre resultant és una derivació del cuboctaedre que podem anomenar cuboctaedre geodèsic. El cuboctaedre és un poliedre arquimedià que es forma a partir del cub, truncat els seus 8 vèrtexs per plans que passen pel punt mig de cada aresta. Les cares del cuboctaedre són 8 triangles equilàters i 6 quadrats. El cuboctaedre geodèsic consisteix a incorporar-hi 6 piràmides a cada quadrat. L'altura de cadascuna d'aquestes piràmides és la que correspon per tal que el poliedre quedi inscrit a l'esfera. |
 |
A la plantilla, veureu dibuixades 3 circumferències els radis de les quals corresponen a les esferes inscrites, circumscrites i de mateix volum que el cuboctaedre geodèsic.
Si aconseguiu dissenyar, o coneixeu, un altre poliedre similar a l'esfera que desplegat formi 4 figures similars a cercles, escribiu-me ! us ho agrairé. Ho incorporaré a aquesta pàgina.
En aquest vídeo es visualitza amb la pell d'una taronja
Web realitzada per Enric Brasó i Campderrós, podeu contactar amb mi a través del mail ebraso@xtec.cat
El treball inicial ha estat fet en el marc de la llicència retribuïda concedida pel Dep. d'Educació (DOGC núm:4968 del 14-09-2007)Els materials estan sota la llicència Creative Commons Reconeixement-No
comercial-Compartir
