Més aportacions pitagòriques
2. EL PENTÀGON
1. Els irracionals: En generalitzar el Teorema de Pitàgores, ens trobem amb nombres que no són racionals. Els pitagòrics van haver de demostrar l'existència d'uns nombres "nous", els irracionals.
Demostració per l'absurd de la irracionalitat d'arrel de 2
Suposem un quadrat
de costat 1. La seva diagonal
és 
,
no pot ser enter, perquè 
i
Suposem
que existeix una fracció irreductible a/b
el quadrat de la qual és igual a 2.
O sigui 
.Agafem
la fracció irreductible, a
i b són primers entre
ells,. Ës a dir, no tenen cap divisor comú. Elevant al quadrat
. Això
vol dir que s'ha simplificat la fracció
i
ens ha donat 2 però
això és impossible perquè a
i b no tenen cap divisor
comú. La suposició inicial és falsa. no
és racional.
2. El pentàgon: El pentàgon estrellat era el símbol de l'escola pitagòrica i també una de les qüestions més discutides de la seva geometria .
Si dibuixem un pentàgon regular de costat 1, i hi dibuixem 5 diagonals cadascuna fa 1,618....
 |
 |
Si de cada diagonal mesurem la relació A/B, és de 1,618... i així indefinidament. Cada diagonal del pentàgon queda dividida en mitjana i extrema raó.
Un segment és dividit en mitjana i extrema raó, si el dividim en dues parts tals, que la més gran és mitjana proporcional entre tot el segment i l'altre part.
3. Els nombres amics: La frase "Tot és número atribuïda a Pitàgores" evidencia l'interés de l'escola pitagòrica pels nombres i les relacions existents entre ells. Dos nombres a i b són amics si la suma dels divisors propis (tots els divisors del nombre excepte ell mateix) d'a és b, i la suma dels divisors propis de b, és a.
El parell de nombres amics més petits és 220 i 284.
DIVISORS DE 220:1,2,4,5,10,11,44,55,110.
DIVISORS DE 284:1,2,4,71,142.
La suma dels divisors de 220; 1+2+4+5+10+11+22+44+55+110=284
La suma dels divisors de 284; 1+222+4+71+142=220
4. Els nombres figurats. Són aquells que poden representar figures geomètriques, els nombres triangulars, els quadrats, els pentagonals,...
ELS NOMBRES TRIANGULARS:1,3,6,10,15,21,...
N=1+2+3+4+.....+n
El nombre 10, venerat pels pitagòrics és el quart nombre triangular.
ELS NOMBRES QUADRATS:1,4,9,16,25,...
N=1+3+5+7+9+.....+(2n-1)
5. Els nombres perfectes . Un nombre és perfecte, abundant o deficient segons la suma dels seus divisors propis sigui igual, més gran o menor que el nombre.
El nombre perfecte més petit és el 6, seguit del 28.
Divisors de 6:1,2,3 . Si els sumem:1+2+3=6
Divisors de 28:1,2,4,7,14. Si els sumem:1+2+4+7+14=28
6. L'estudi de les mitjanes: l'aritmètica, la geomètrica i l'harmònica.
