|
(2024-juny-1-6) Considereu els punts `A = (1, 2, 3)` i `B = (–3, –2, 3)`. a) Calculeu l’equació del pla `pi` que és perpendicular a la recta `AB` i que passa pel punt mitjà entre `A` i `B`. Justifiqueu que aquest pla està format, precisament, pels punts `P = (x, y, z)` que estan a igual distància de `A` que de `B`, és a dir, `d(P, A) = d(P, B)`. [1 punt] b) Calculeu les distàncies de A i de B al pla p i comproveu que són iguals. És casualitat? Raoneu la resposta. [0,75 punts] c) Sigui `C = (–7, 6, 3)`. El triangle `ABC` és isòsceles? Calculeu la seva àrea. [0,75 punts] Solució:
Punt mig `p=\frac{(1-3, 2-2 ,3+3)}{2}=(-1,0,3)` Vector `\vec{BA}=(1,2,3)-(-3,-2,3)=(4,4,0)` Per la qual cosa l'equació del pla és `4x+4y+D=0` I com sabem que ha de passar pel punt, `(-1,0,3) =>` `4·(-1)+4·0+D=0` `-4+D=0` `D=4` Els punts `(x,y,z)` que estan a igual distància de `A` i `B` són: `x^2-2x+1+y^2-4y+4+z^2-6z+9=x^2+6x+9+y^2+4y+4+z^2-6z+9` `-2x+1-4y+4-6z+9=6x+9+4y+4-6z+9` `0=6x+9+4y+4-6z+9+2x-1+4y-4+6z-9` `0=8x+8y+8` `x+y+1=0` Ens surt la mateixa equació. b) Per trobar la distància d'un punt a un pla farem servir la fórmula: `d(P,p)= |(Ap_1+Bp_2+Cp_3+D)|/\sqrt{A^2+B^2+C^2}` `d(P,A)= |1+2+1|/\sqrt{1^2+1^2}=4/\sqrt{2}` `d(P,B)= |-3-2+1|/\sqrt{1^2+1^2}=4/\sqrt{2}` Definim punt mitjà com el punt que diviodiex en dos vectors iguals el segment que hi ha entre dos punts, com els vectors són iguals, el seu mòdul, distància, evidentment, ha de ser la mateixa. c) `A = (1, 2, 3)`, `B = (–3, –2, 3)`, `C = (–7, 6, 3)` `\vec{BA}=(4,4,0)` `\vec{BC}=(-4,8,0)` `\vec{AC}=(-8,4,0)` `|\vec{AC}|=\sqrt{(-8)^2+4^2}=\sqrt{80}` És isòscel·les, ja que dos costats són iguals (llargada) Per trobar l'area del triangle recordem que és pot calcular calculant el mòdul del producte vectorial de dos dels seus vectors dividit per `2`. $$ \begin{vmatrix} i&j&k\\\ 4&4&0\\\ -8&4&0 \end{vmatrix}=(0,0,48) $$ Àrea `=48/2=24` `u^2` |