|
FUNCIONS -(2023-juny-1-1) Calculeu els coeficients `a`, `b`, `c` i `d` de la funció `f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d` si sabem que l’equa- ció de la recta tangent a la gràfica de la funció `f` en el punt d’inflexió `(1, 0)` és `y = –3x + 3` i que la funció té un extrem relatiu en el punt de la gràfica d’abscissa `x = 0`. [2,5 punts] SOLUCIÓ -(2023-juny-1-3) Sigui la funció derivada d’una funció derivable` f(x)` que passa pel punt `A = (0, 3)`. $$ f'(x)=\begin{cases} x-1 \text{, si } x\le2\\ \\ \frac{1}{x-1} \text{, si } x>2\end{cases} $$
b-Calculeu l’equació de la recta tangent a la funció `f'(x)` en el punt d’abscissa `x = 3`. [1 punt] SOLUCIÓ -(2023-juny-1-5) La Núria té un jardí rectangular i vol fer-hi un tan-cat (rectangular o quadrat) de `8` `m^2` per al seu gos. Ha pensat de posar el tancat tocant al mur del jardí, tal com es mostra a la figura de la dreta, per estal- viar-se així un dels quatre costats. El preu de la tanca que vol fer servir és de `2,5` €/m. 
b)Si manteniu la forma rectangular o quadrada del tancat i feu que un dels vèrtexs del jardí coincideixi amb un vèrtex del tancat, quants euros us podeu estalviar? Raoneu com posaríeu el tancat i justifiqueu amb càlculs matemàtics les dimensions de la vos-tra proposta. [0,75 punts] SOLUCIÓ -(2023-setembre-2-2) Sigui la funció `f(x)=1/x`.
b) Calculeu l’equació de la recta tangent a la gràfica de la funció `f` en el punt d’abscissa `x = k`, en què `k` és un nombre real positiu. [0,75 punts] c) Comproveu que, tal com es pot veure en la figura de sota, la recta de l’apartat `b` determina un triangle d’àrea constant amb els semieixos positius de coordenades. Calculeu aquesta àrea. [1 punt]  SOLUCIÓ -(2023-setembre-2-4) Sigui la funció `f(x)` definida per `f(x) = –3x + e^(2x^(3)-1)`.
b) Sigui la funció `h(x) = –3x^2 + e^(2x^(3)–1)`. Calculeu l’àrea de la regió compresa entre les gràfi-ques de les funcions `f(x)` i `h(x)`. [1,25 punts] SOLUCIÓ -(2023-setembre-2-6) Volem construir una peça metà?lica que tingui per secció un trapezi isòsceles amb la base superior tres vegades més llarga que la base inferior. Els altres costats del trapezi fan `10` mm, tal com podeu observar en la figura següent: 
b) Calculeu la longitud de la base inferior del trapezi de manera que l’àrea de la peça sigui màxima i trobeu el valor d’aquesta àrea màxima. [2 punts] SOLUCIÓ -(2020-juny-1-1) Tracem la recta tangent a la funció `f(x)=1/x^2+1` per un punt `P = (a, f(a))` del primer quadrant. Aquesta recta juntament amb els eixos de coordenades formen un triangle.
ve donada per la funció `g(a)=(a^2+3)^2/(4a)`  b) En quin punt `P` l’àrea del triangle és mínima? Calculeu aquest valor mínim. SOLUCIÓ -(2020-juny-1-4) Considereu la funció `f(x)=(ax^2+b)/x`, en què `a` i `b` són dos paràmetres reals. Calculeu els valors de `a` i `b` de manera que la funció `f(x)` tingui una asímptota obliqua de pendent `1` i un mínim en el punt de la gràfica d’abscissa `x = 2`. SOLUCIÓ -(2020-juny-1-6) Considereu la funció `f(x) = x^3`.
b) Calculeu l’àrea de la regió delimitada per `y = f(x)` i la recta `y = 3x + 2`. SOLUCIÓ -(2020-juny-3-2) S’han trobat unes pintures rupestres en una cova situada en una zona molt pedregosa. Hi ha un camí que voreja parcialment la cova format per l’arc de corba `y = 4 – x^2` d’extrems `(0, 4)` i `(2, 0)`. La cova està situada en el punt de coordenades `(0, 2)`, tal com es mostra en la figura, i es vol habilitar un accés rectilini `d` des del camí a la cova que sigui el més curt possible.  a) Identifiqueu a la gràfica de la figura les coordenades de la cova i del punt del camí des d’on es vol habilitar l’accés. Comproveu que la funció `f(x)sqrt(x^4-3x^2+4)` calcula ladistància des de cada punt del camí a la cova. b) Calculeu les coordenades del punt del camí que queda més a prop de la cova i digueu quina serà la longitud de l’accés `d`. SOLUCIÓ -(2020-juny-3-4) Sigui la funció `f(x)=1/x·ln(x)`, en què ln indica el logaritme neperià, definida per a `x > 0`.
b) Calculeu l’àrea del recinte delimitat per la corba `y = f(x)`, les rectes verticals `x = 1` i `x = e` i l’eix de les abscisses. SOLUCIÓ -(2020-juny-3-6) Una empresa de ceràmica vol posar a la venda una rajola quadrada de `20` `cm` de costat pintada a dos colors, de manera que la superfície de cada color sigui la mateixa i que si es posen les rajoles l’una al costat de l’altra es vegi un dibuix continu (figura 1).  Per a fer-ho, l’empresa utilitza en cada rajola la funció `f(x) = x^3 – 3x^2 + 2x + 1` enquadrada entre els punts de coordenades `(0, 0)`, `(0, 2)`, `(2, 0)` i `(2, 2)`, tal com es mostra en la figura 2, i fa servir com a unitat de mesura el decímetre.
b) Justifiqueu que aquesta funció divideix el quadrat esmentat en dues parts que tenen la mateixa superfície. SOLUCIÓ -(2020-setembre-4-1) Siguin les funcions `f(x) = x^3` i `g(x) = a · x^2`, en què `a` és un nombre real positiu.
b) Calculeu el valor de `a` perquè l’àrea compresa entre `y = f(x)` i `y = g(x)` sigui `27/4` `u^2`. SOLUCIÓ -(2020-setembre-4-3) Sigui `f(x)` una funció derivable la gràfica de la qual passa pel punt `(0, 1)`. La gràfica de la seva derivada, `f'(x)`, és la que es mostra en la figura. 
b) Trobeu les abscisses dels punts singulars de la funció `f(x)` i classifiqueu-los. SOLUCIÓ -(2020-setembre-4-5) Una empresa està treballant en el disseny d’unes càpsules de cafè. L’empresa ha construït la secció transversal de les càpsules inscrivint-la en una semicircumferència de radi `1`, traçant a continuació una corda `CD` paral·lela al diàmetre `AB` i incorporant el punt `E` en el punt mitjà de l’arc `CD`. D’aquesta manera queda traçat el pentàgon `ACEDB`, tal com es mostra en la figura. 
b) Quina ha de ser la distància (indicada en la figura per `h`) a què s’ha de situar la corda `CD` de `AB` per tal que l’àrea del pentàgon `ACEDB` sigui màxima? SOLUCIÓ -(2019-juny-1-1) Les pàgines d’un llibre han de tenir cada una `600` `cm^2` de superfície, amb uns marges al voltant del text de `2` `cm` a la part inferior, `3` `cm` a la part superior i `2` `cm` a cada costat. Calculeu les dimensions de la pàgina que permeten la superfície impresa més gran possible. SOLUCIÓ -(2019-juny-1-4) Considereu la funció `f(x)=(2x^3-5x+4)/(1-x)`.
b) Observeu que , `f(0) = 4` i `f(2) = –10`. Raoneu si, a partir d’aquesta informació, podem deduir que l’interval `(–2, 0)` conté un zero de la funció. Podem deduir-ho per a l’interval `(0, 2)`? Trobeu un interval determinat per dos enters consecutius que contingui, com a mínim, un zero d’aquesta funció. SOLUCIÓ -(2019-juny-1-6) Considereu les funcions `f(x) = x^2` i , i la recta `x = e`.
b) Calculeu l’àrea de la regió descrita en l’apartat anterior. SOLUCIÓ -(2019-juny-4-1) Volem construir un marc rectangular de fusta que delimiti una àrea de `2` `m^2`. Sabem que el preu de la fusta és de `7,5` `€/m` per als costats horitzontals i de `12,5` `€/m` per als costats verticals. Determineu les dimensions que ha de tenir el rectangle perquè el cost total del marc sigui el mínim possible. Quin és aquest cost mínim? SOLUCIÓ -(2019-juny-4-4) Considereu la funció f(x), que depèn dels paràmetres reals `n` i `m` i és definida per $$ f(x)=\begin{cases}e^x & si & x\le 0\\\ \frac{x^2}{4}+n & si & 0 < x\le 2\\\ \frac{3x}{2}+m & si & x>2\end{cases} $$
b) Per al cas `n = –4` i `m = –6`, calculeu l’àrea de la regió limitada per la gràfica de `f(x)`, l’eix de les abscisses i les rectes `x = 0` i `x = 4`. SOLUCIÓ -(2019-juny-4-6) Sabem que una funció `f(x)` és contínua i derivable a tots els nombres reals, que té com a segona derivada `f "(x) = 6x` i que la recta tangent en el punt d’abscissa `x = 1` és horitzontal.
b) Sabent, a més, que la recta tangent en el punt d’abscissa `x = 1` és `y = 5`, calculeu l’expressió de la funció `f`. SOLUCIÓ -(2019-setembre-5-1) Considereu les rectes `y = x` i `y = 2x`, i la paràbola `y = x^2`.
b) Calculeu l’àrea de la regió de l’apartat anterior. SOLUCIÓ -(2019-setembre-5-4) Considereu la funció `f(x)=1/(1+x^2)`.
b) Calculeu les coordenades del punt de la gràfica de la funció `f(x)` en què el pendent de la recta tangent és màxim. SOLUCIÓ -(2019-setembre-5-6) Considereu la funció `f(x)=ln(x)/x`.
b) Calculeu l’àrea de la regió del pla determinada per la gràfica de la funció `f`, les rectes `x = 1` i `x = e`, i l’eix de les abscisses. SOLUCIÓ |