Siguin `r_1` i `r_2` les rectes definides per `r_1: x – 1 = y = –z` i per `r_2: x = y = z`, respectivament. a) Calculeu l’equació paramètrica de la recta que talla perpendicularment les rectes `r_1` i `r_2`. [1,75 punts] Solució: Tenim les dues equacions de les rectes en forma contínua. és senzill trobar-ne les equacions vectorials i paramètriques: `r_1: (x – 1)/1 = (y-0)/1 = (z-0)/(-1)` `r_1: (x,y,z)=(1,0,0)+(1,1,-1)lambda =(1+lambda, lambda, -lambda)` `r_2: (x – 0)/1 = (y-0)/1 = (z-0)/1` `r_2: (x,y,z)=(0,0,0)+(1,1,1)mu=(mu,mu,mu)` Nosaltres cerquem un vector que vagi d'un punt d'una recta aun punt de l'altra i sigui perpendicular a cadascun dels vectors directors. `\vec{PQ} = (mu,mu,mu)-(1+lambda, lambda, -lambda)=(mu-lambda-1,mu-lambda, mu+lambda)` Fem el producte escalar amb cadascun dels vectors directors i el resultat ha de donar `0`. `(mu-lambda-1,mu-lambda, mu+lambda)·(1,1,-1)=mu-lambda-1+mu-lambda-mu-lambda=mu-3lambda-1=0` `(mu-lambda-1,mu-lambda, mu+lambda)·(1,1,1)=mu-lambda-1+mu-lambda+mu+lambda=3mu-lambda-1=0` Que defineix un sistema amb que trobarem, `lambda` i `mu`, o sigui els dos punts de cadascuna de les dues rectes- $$ \begin{cases} \mu-3\lambda=1\\ 3\mu-\lambda=1 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} -3\mu+9\lambda=-3\\ 3\mu-\lambda=1 \end{cases} $$ `8lambda=-2 => lambda = -1/4` $$ \begin{cases} \mu-3\lambda=1\\ -9\mu+3\lambda=-3 \end{cases} $$ `-8mu=-2 => mu = 1/4` `P=(mu,mu,mu)=(1/4,1/4,1/4)` i `Q=(1+lambda, lambda,-lambda)=(1-1/4,-1/4,1/4)=(3/4,-1/4,1/4)` O sigui, el vector, `\vec{PQ}=(1/4,1/4,1/4)-(3/4,-1/4,1/4)=(-2/4,2/4,0)=(-1/2,1/2,0)` La recta que passi per qualsevol dels dos punts, `P` o `Q` i tingui com a vector director aquest vector `\vec{PQ}` passarà per ambdues rectes i en serà perpendicular a totes dues.. Per la qual cosa l'equació d ela recta demanada pot ser la que passa per `P` i té com a vector director `\vec{PQ}`. `(x,y,z)=(1/4,1/4,1/4)+nu(-1/2,1/2,0)=(1/4-nu/2,1/4+nu/2,1/4)` ANNEX: Podriem haver agafat un vector director proporcional al que tenim, per exemple `(-1,1,0)` i ens donaria una altra expressió de l'equació de la recta: `(x,y,z)=(1/4,1/4,1/4)+nu(-1,1,0)=(1/4-nu,1/4+nu,1/4)` b) Calculeu la distància entre `r_1` i `r_2`. [0,75 punts] Solució: Dues maneres: 1-Si hem fet l'apartat a senzillamant cal que calculem el mòdul del ventor perpendicular a ambdues rectes: `|\vec{PQ}|=|(-1/2,1/2,0)|=\sqrt{(-1/2)^2+(1/2)^2+0^2}=\sqrt{2/4}=\sqrt{2}/2` `u` 2-Podem fer servir la fórmula que ens dona la distància entre dues rectes `D=(|\vec{PQ}·(\vec{a}times \vec{b})|)/(|\vec{a} times \vec{b}|)` On `P` i `Q` són els vectors de posició de les dues rectes i `\vec{a}` i `\vec{b}` els vectors directors. `\vec{PQ}=(1,0,0)-(0,0,0)=(1,0,0)` `\vec{a}=(1,1,-1)` i `\vec{b}=(1,1,1)` $$ \vec{a}\times \vec{b}=\begin{vmatrix} i&j&k\\\ 1&1&-1\\\ 1&1&1 \end{vmatrix}=2i-2j+0k=(2,2,0) $$ `|\vec{PQ}·(\vec{a}times \vec{b})|=|(1,0,0)·(2,2,0)|=2` `|\vec{a} times \vec{b}|=|(2,2,0)|=\sqrt{2^2+2^2+0^2}=\sqrt{8}` `D=2/\sqrt{8}=(2\sqrt{8})/8=\sqrt{8}/4=\sqrt{4·2}/4=2\sqrt{2}/4=\sqrt{2}/2` `u`