Matemàtiques 2n BUP - 4 ESO - Número e Definició de número `e` `e=lim (1+1/n)^n` Si voleu saber d'on surt la necessitat del número e, cliqueu aquí. Tenim una successió que sembla que tendeix a un número, però, és veritat?. Per demostrar que aquesta successió té límit cal provar dues coses: 1-Que la successió és monótona. En el nostre cas, creixent. 2-Que la successió està afitada. Si podem demostrar les dues coses haurem provat que la successió té límit i ens podem permetre el luxe de posar-li nom. 1-La successió `e=lim (1+1/n)^n`, és creixent. Recordem: $$(a+b)^n =$$ $$\binom{n}{0} a^n·b^0+\binom{n}{1} a^{n-1}·b^1 + \binom{n}{2} a^{n-2}·b^2 + \binom{n}{3} a^{n-3}·b^3+ ... + \binom{n}{n-2} a^{2}·b^{n-2} + \binom{n}{n-1} a^{1}·b^{n-1}+ \binom{n}{n} a^{0}·b^{n}$$ Així doncs: `(1+1/n)^n=` $$\binom{n}{0} 1^n·(\frac{1}{n})^0+\binom{n}{1} 1^{n-1}·(\frac{1}{n})^1 + \binom{n}{2} 1^{n-2}·(\frac{1}{n})^2 + \binom{n}{3} 1^{n-3}·(\frac{1}{n})^3+ ... + \binom{n}{n-2} 1^{2}·(\frac{1}{n})^{n-2} + \binom{n}{n-1} 1^{1}·(\frac{1}{n})^{n-1}+ \binom{n}{n} 1^{0}·(\frac{1}{n})^{n}$$ $$1+n·\frac{1}{n} + \frac{n(n-1)}{2!}·(\frac{1}{n})^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}·(\frac{1}{n})^3+ ... + \frac{n(n-1)...1}{n!·n^n}$$ $$1+\frac{n}{n} + \frac{n(n-1)}{2!·n^2} + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!·n^3}+ ... + \frac{n(n-1)...1}{n!·n^n}$$ $$1+1 + \frac{1}{2!}·\frac{n(n-1)}{n^2} + \frac{1}{3!}·\frac{n(n-1)(n-2)}{n^3}+ ... + \frac{1}{n!}·\frac{n(n-1)...1}{n^n}$$ $$2 + \frac{1}{2!}·\frac{n}{n}\frac{n-1}{n} + \frac{1}{3!}·\frac{n}{n}·\frac{n-1}{n}·\frac{n-2}{n}+ ... + \frac{1}{n!}·\frac{n}{n}·\frac{n-1}{n}···\frac{1}{n}$$ $$2 + \frac{1}{2!}·1·(1-\frac{1}{n}) + \frac{1}{3!}·1·(1-\frac{1}{n})·(1-\frac{2}{n})+ ... + \frac{1}{n!}·1·(1-\frac{1}{n})·(1-\frac{2}{n})···(1-\frac{n-1}{n})$$ $$2 + \frac{1}{2!}·(1-\frac{1}{n}) + \frac{1}{3!}·(1-\frac{1}{n})·(1-\frac{2}{n})+ ... + \frac{1}{n!}·(1-\frac{1}{n})·(1-\frac{2}{n})···(1-\frac{n-1}{n})$$ Si ara calculem el terme següent de la succesió, `a_(n-1) = (1+1/(n+1))^(n+1)`. Només cal substituir en la fórmula anterior `n -> n-1` i posar l'últim terme. $$2 + \frac{1}{2!}·(1-\frac{1}{n+1}) + \frac{1}{3!}·(1-\frac{1}{n+1})·(1-\frac{2}{n+1})+ ... + \frac{1}{n!}·(1-\frac{1}{n+1})·(1-\frac{2}{n+1})···(1-\frac{n-1}{n+1})$$ $$+ \frac{1}{(n+1)!}·(1-\frac{1}{n+1})·(1-\frac{2}{n+1})···(1-\frac{n-1}{n+1})·(1-\frac{n}{n+1})$$ Si mirem la part de dalt veurem que hi ha el mateix nombre de termes per `n` i per `n+1`, però en el segon cas encara hi ha la part de sota que suma. Però només es fixarem en la part de dalt. Comparem: `(1-1/n)` amb `(1-1/(n+1))` i `(1-2/n)` amb `(1-2/(n+1))`,... `a/n>a/(n+1)` per la qual cosa `(1-a/n)<(1-a/(n+1))` O sigui: `(1+1/n)^n < (1+1/(n+1))^(n+1)` La succesió `(1+1/n)^n` és creixent 2-La successió `e=lim (1+1/n)^n`, està afitada (evidentment superiorment, ja que la successió és creixent). En efecte la successió està afitada pel número `3`. `(1+1/n)^n < 3` $$2 + \frac{1}{2!}·(1-\frac{1}{n}) + \frac{1}{3!}·(1-\frac{1}{n})·(1-\frac{2}{n})+ ... + \frac{1}{n!}·(1-\frac{1}{n})·(1-\frac{2}{n})···(1-\frac{n-1}{n})$$ `<` $$2 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!}+ ... + \frac{1}{n!}$$ Ja que el que multuplica a cada `1/(n!)` és `>1`. I això és més petit que: `2+1/(2!)+1/(3!)+1/(4!)+...+1/((n-1)!)+1/(n!)<2+1/2+1/2^2+1/2^3+...+1/2^(n-2)+1/2^(n-1)` (*) Ja que: `2!\=2` `3!\=3·2>2·2` `4!\=4·3·2>2·2·2` `...` `n!\=n·(n-1)·(n-2)···3·2 > 2·2···2, n-1` vegades. La qual cosa fa que: `1/(2!)<1/2^2` `1/(3!)<1/2^3` `1/(4!)<1/2^3` ... `1/(n!)<1/2^n` Que prova la desigualtat (*). Si agafem aquesta suma, `1/2+1/2^2+1/2^3+...+1/2^(n-2)+1/2^(n-1)` veiem que és la suma dels `n-1` termes d'una progressió geomètrica de raó `1/2` i primer terme `1/2` `S_n=a_1·(1-r^n)/(1-r)` `S_(n-1)=1/2·(1-(1/2)^(n-1))/(1-1/2)=1/2·(1-(1/2)^(n-1))/(1/2)=1-(1/2)^(n-1)=1-1/2^(n-1)` RECAPITULEM: La nostra successió éstà afitada pel número `3` ja que: `(1+1/n)^n` `=` $$2 + \frac{1}{2!}·(1-\frac{1}{n}) + \frac{1}{3!}·(1-\frac{1}{n})·(1-\frac{2}{n})+ ... + \frac{1}{n!}·(1-\frac{1}{n})·(1-\frac{2}{n})···(1-\frac{n-1}{n})$$ `<` `2 + 1/(2!) + 1/(3!)+ ... + 1/(n!)` `<` `2 + 1/2^2 + 1/2^3+ ... + 1/2^(n-1)` `=` `2 + 1-1/2^(n-1)` `=` `3 -1/2^(n-1)` `<` `3` Tenim una successió: `e=lim (1+1/n)^n` 1-Monótona, creixent. 2-Afitada. Conclusió: aquesta successió té límit. Aquest número n'hi diem, número e. Aquesta e és la e de la fórmula: `e^(i\pi)+1=0`