2.1 FUNCIONS - DERIVADES i REPRESENTACIÓ
(14/10/97) - Tornar a l'índex2.1.1-( / /B) Deriveu la funció f(x) = x2sin x2 i calculeu f'(0). (2 p)
2.1.2-(1989/1/B) Definiu "funcio creixent" i "punt màxim d'una funció". (2 p)
2.1.5-(1989/3/B) Digueu una condició suficient perquè la funció y = f(x) tingui un màxim en el punt a. (2 p)
2.1.7-(1989/4/B) Doneu una condició suficient perquè una funció y = f(x) tingui un mínim en un punt. (2 p)
2.1.9-(1989/5/B) Expliqueu la noció de derivada en un punt. (2 p)
2.1.12-(1990/ /A) Representeu gràficament la funció f(x) = 1/(x2+1) i demostreu que en el punt (0,1) la funció té un màxim. (2 p)
2.1.13-(1990/1/B) Quina relació hi ha entre la derivada d'una funció en un punt i la recta tangent al gràfic de la funció en aquest punt? (2 p)
2.1.17-(1991/Mostra/A) Doneu una condició suficient en termes de derivades primera i segona d'una funció f(x) perquè aquesta tingui un màxim relatiu en un punt a. (2 p)
2.1.20-(1991/1/A) Expliqueu breument el significat geomètric de la derivada de una funció en un punt. (2 p)
2.1.23-(1992/2/A) És possible que la derivada d'una funció sigui nul.la en un punt i, alhora, que la funció sigui creixent en el mateix punt? Poseu-ne un exemple. (2 p)
2.1.24-(1992/3/B) Calculeu el valor mínim de la funció y = x2(x-12)2. Ho podeu fer sense haver de calcular-ne la derivada? Per què? (2 p)
2.1.25-(1992/6/A) Representeu gràficament la funció següent:
f(x)={1/(1-x) si x£0; 1-x si x>0} (2 p).
2.1.27-(1993/2/B) Calculeu els màxims i els mínims de la funció f(x) = x4-2x2+2. Utilitzeu les dades anteriors per comprovar que f(x) és positiva per a tot x. (2 p)
2.1.28-(1993/3/A) Calculeu els màxims i mínims de la funció següent:
f(x) = 2x3-9x2+12x+1. Feu-ne també una representació gràfica aproximada. (2 p)
2.1.29-(1993/3/B) Tenim la funció següent: f(x)=1/(1+x2) (4 p)
a/ Representeu-la gràficament i calculeu-ne els màxims, els mínims i l'asímptota horitzontal.
b/ Calculeu l'àrea de la regió del pla compresa entre el gràfic de la funció, l'eix d'abscisses i les rectes x=0 i x=1.
2.1.31-(1993/6/A) Tenim la funció següent: f(x)=x2/(x-3) (4 p)
a/ Calculeu els extrems (siguin màxims o mínims) de la funció.
b/ Estudieu-ne la continuïtat. Hi Ha cap punt en què el pendent de la tangent a la corba valgui 1? Raoneu la resposta.
2.1.32-(1994/3/B/Juny) D'una funció sabem que f'(x)>0. Què podem afirmar sobre la funció f en el punt x = 5? Raoneu la resposta. (2 p)
2.1.33-(1994/2/B/Setembre) Demostreu que la funció f(x)=1/x és decreixent en tot el seu domini (2 p)
2.1.34(1994/1/A) Demostreu que la funció: f(x)=1/(x+1) és creixent en tot el seu domini. (2 p)
2.1.35(1994/1/B) Calculeu les asímptotes horitzontals i verticals de la corba d'equació: f(x)=x2/(x2-1).
2.1.36(1994/5/A) Calculeu les asímptotes horitzontals i verticals de la corba f(x)=(x2-x-2)/(2x2-8). Calculeu també els seus punts d'intersecció amb els eixos. (2 p)
2.1.37(1994/5/B) Donada la funció f(x)=(x2-7x+10)/(x-1) (4 p)
a) Indiqueu el seu domini i asímptotes.
b) Calculeu els intervals on la funció és creixent i indiqueu-ne els màxims i mínims.
2.1.38-(1995/3/A) Una funció és creixent en tot el seu domini, però la seva derivada és decreixent en tot el domini de la funció. Poseu un exemple de funció que verifiqui aquesta condició i expliqueu el significat d'aquest fet. (2 p)
2.1.39-(1995/3/B) Sigui una funció f de la qual sabem que f(1) = 3, f(2) = 4, f(3) = 5. Només amb aquestes dades, podem assegurar que la funció és creixent a l'interval obert ]1,3[?, podem assegurar que f'(2) és positiva? Raoneu les respostes. (2 p)
2.1.40-(1995/4/B) Calculeu les asímptotes horitzontals de la funció: f(x)=(3x2-6)/(2x2-1) (2 p)
2.1.41-(1995/1/B) De les funcions elementals que coneixeu, en quina la seva derivada f’ és la mateixa funció f ? Expliqueu breument el significat d’aquest fet. (2 p)
2.1.42-(1995/2/B) No passa amb gaires funcions reals que si es dobla el valor de x es dobli també el valor de y. Quin nombre reben aquestes funcions? Quina és la seva representació gràfica? Poseu-ne un exemple. (2 p)
2.1.44-(1995/6/B) Considereu la funció: f(x)=x2/(x2+1)
a)Calculeu-ne les asímptotes i els seus posibles màxims i mínims relatius.
b)Feu-ne una representació gràfica aproximada. (4 p)
2.1.45-(1996/3/A/Juny)
a) La funció f(x) = xn, amb n senar, és sempre creixent. És correcta aquesta afirmació? Raoneu la resposta en cas afirmatiu, poseu-ne un exemple.
b) D’una funció sabem que és positiva en tot el seu domini y que la seva derivada és negativa en tot el seu domini. Què podem dir sobre la funció? Justifiqueu la resposta mitjançant un gràfic y doneu-ne un exemple. (2 p)
2.1.46-(1996/3/B/Juny) Donada la funció f(x)=(x2-x)/(2x2-8). indiqueu-ne el domini, calculeu les asímptotes horitzontals i verticals, i els punts on la seva gràfica talla els eixos.
2.1.47-(1996/4/A/Setembre) Considerem la funció f(x)=(8-3x)/(x2-2x)
a) Calculeu el domini (camp d’existència) (1 p)
b) Calculeu-ne la primera derivada i indiqueu els intervals de creixement i decreixement de la funció. (2 p)
c) Representeu-la gràficament de manera aproximada. (1 p)
2.1.48-(1996/1/A) La funció f(x) indica el comportament dels beneficis obtinguts per una empresa des del moment en què va començar:
on f(x) representa els beneficis de l'empresa expressats en milions de pessetes, i x representa els anys, on x = 0 indica el moment de constitució de l'empresa.
a) Feu una representació gràfica aproximada de la funció i indiqueu-ne el domini matemàtic i el domini vàlid en el context del problema. (2p)
b) Al cap de quant temps l'empresa obté el màxim benefici? Quin és aquest benefici? (1p)
c) Perdrà diners l'empresa en algun moment? És possible que arribi un moment en que no obtingui ni beneficis ni pèrdues? Raoneu les respostes. (1p)
2.1.49-(1997/6/A/1/Juny) Donada la funció f(x) = (x2-x)/(8x2+1), es demana que calculeu els límits quan x -> ¥ i quan x -> - ¥, les asímptotes i els punts de tall amb els eixos, i que feu un dibuix aproximat de la seva gràfica. (4 p)
2.1.50-(1997/3/A/1/Setembre) Considereu la funció:
Busqueu-ne el domini de definició, els límits quan x -> ¥ i quan x -> -¥, els intervals de creixement i decreixement, i els possibles màxims i mínims. Feu-ne després la representació gràfica. [4 punts]
2.1.51-(1997/3/B/3/Setembre) Sabem que el domini de definició d'una certa funció f(x) és tot l'eix d'abscisses. Sigui x0 un punt d'aquest eix. Si el pendent de totes les rectes tangents a la gràfica de f(x) en qualsevol punt d'abscissa menor que x0 és positiu i el pendent de totes les rectes tangents en qualsevol punt d'abscissa més gran que x0 és negatiu, què podem afirmar de x0? Raoneu la resposta i poseu un exemple en què passi això. [2 punts]