2.2 FUNCIONS - PROBLEMES DE FUNCIONS

      (16/10/97) - Tornar a l'índex

      2.2.1-( / /B) Els ciutadans d'un estat paguen en concepte d'impost una quantitat y=f(x) on x és l'ingrés anual en milions de ptes. i f(x)=
      0.06x², si 0<= x <=10
      0.6x, si 10 < x       (2 p)

      Dibuixeu el gràfic de f(x). Quin percentatge del seu ingrés paga un ciutadà que guanya 6 milions l'any?


      2.2.2-( /5/A) Les vendes d'un article són funció del preu d'aquesta manera que y=2000000/(100+x)², x>0 on x és el preu en ptes/Kg i y el nombre de quilograms venuts setmanalment: (4 p)
      a/Dibuixeu el gràfic d'aquesta funció.
      b/El benefici (brut) setmanal s'obté multiplicant el preu pel nombre de quilograms venuts. Calculeu el preu a què s'ha de vendre si es vol obtenir el benefici màxim i quin serà aquest.


      2.2.3-( / /A) Quina mida fan el radi r i l'altura h del cilindre de volum 2 que té superfície mínima (comptant l'àrea de les bases i la de la superfície lateral)? El volum d'un cilindre és pi²h, i la superfície 2pi²+2pi.h. (2 p)


      2.2.4-(1991/1/B) La població en milions d'habitants ve donada per la funció P(t)=[20(t-1)]/[4+(t-1)²]+40, t >=0, on t és el temps en anys.
      a/ Calculeu la població actual (per a t=0), la població màxima i el límit de P(t) quan t tendeix a infinit.
      b/ Dibuixeu el gràfic de P(t). (4 p)


      2.2.5-(1992/1/A) Un agricultor ha recollit 10 tones de fruita que emmagatzemades, es deterioren a raó de 50 kg/dia. El seu preu actual de mercat és de 200 ptes./Kg, però el preu de la fruita augmenta 2 ptes./Kg cada dia. Quina quantitat de fruita li queda passats t dies? A quin preu es ven el kg en aquell moment? Quants dies ha d'esperar abans de vendre-la per obtenir el benefici més gran? (2 p)


      2.2.6-(1992/2/B) Certa substància és eliminada pel cos humà segons la llei y(t)=yo.e^(-at), on y(t) és la concentració en la sang a l'instant t hores i yo és la concentració inicial (quan t=0).
      a) Indiqueu les propietats de la funció exponencial relacionades amb el producte, el quocient i la potenciació.
      b)Determineu la constant a i el temps que trigarà la concentració a baixar fins al 10% de la inicial sabent que, per a t=1, la concentració era d'un gram per litre i, per t=2, havia baixat fins a 0.8 g/l (4 p).


      2.2.7-(1992/4/A) La cotització a borsa de les accions de certa empresa va seguir durant el 1991, aproximadament, l'evolució següent: f(t)=342+39t-3t² on t és el temps en mesos (0<=t<=12).
      a)Dibuixeu el gràfic de la funció f(t).
      b) En quin mes es va atènyer la cotització màxima? Calculeu el percentatge de benefici que hauria obtingut un individu que hagués comprat accions en el moment de mínima cotització i que hagués venudes en el de màxima (4 p).


      2.2.8-(1992/5/A) Suposem que, després de la ingestió d'una beguda alcohòlica (a l'instant en què t=0), la concentració d'alcohol a la sang respon a la funció següent: f(t)=e^(1-t) grams/litre, on t s'expressa en hores. (4 p).
      a) Escriviu la regla de la derivada d'un producte de funcions i utilitzeu-la per a calcular la derivada de la funció f(t).
      b) Calculeu l'instant que serà màxima la concentració d'alcohol i el valor d'aquesta.


      2.2.9-(1992/5/B) La població d'un estat és, en millions d'habitants, P(t)=20/[4e^(t/100)+1], on t és el temps en anys. Calculeu-ne la població actual (per a t=0) i la població límit que tindrà quan el temps tendeixi a infinit (2 p).


      2.2.10-(1993/1/B) Una empresa fabrica galledes de plàstic fent servir una màquina embotidora. En la fabricació en sèrie el cost de cada galleda depèn del nombre de galledes de la sèrie segons la funció següent: f(x)=3/4x+e^(-3/4x+1/2)on x representa centenars de galledes i f(X) representa centenars de pessetes.
      a/ Calculeu el cost de producció d'una galleda, si només en produïm una. b/ Calculeu el nombre de galledes que cal produir - arrodoniu a l'enter més proper - per tal que el cost per galleda sigui mínim.
      (Indicació: recordeu el valor de a per tal que e^a = 1.)


      2.2.11-(1993/4/B) Els guanys i pèrdues f(x), en milions de pessetes, d'una empresa fundada fa dos anys segueixen l'evolució següent:f(x)=
      1/2 x² - 2, -2 <= x <= -1
      3x/(2x+4), x > -1
      on x indica el nombre d'anys transcorreguts, si entenem x=0 com el moment actual. (4p.)
      a/ Representeu gràficament la funció f(x) i estudieu-ne la continuïtat.
      b/ Indiqueu el moment que les pèrdues de l'empresa han estat més grans i la situació econòmica en què es troba l'empresa avui.


      2.2.12-(1993/5/B) En una localitat, en el rebut trimestral de l'aigua es cobra una quota fixa de 600 ptes. Els primers 40 m³ consumits es paguen a 60 ptes./m³, i, a partir d'aquí, la resta es factura a 80 ptes./m³. (4 p)
      a/ Escriviu, segons els trossos, la fórmula de la funció que ens permeti saber quant hem de pagar en funció dels metres cúbics d'aigua consumits. Representeu-la gràficament.
      b/ Si aquest trimestre hem pagat 5.000 ptes., quants metres cúbics d'aigua hem consumit?


      2.2.13-(1993/6/B) Volem comprar un terreny rectangular de 400 m². Encerclar-lo costa 1200 ptes. el metre de tanca. Calculeu la llargada i l'amplada que ha de tenir el terreny per tal que el cost sigui mínim. Calculeu quant costarà tancar-lo amb aquestes dimensions.


      2.2.14-(1994/2/A/Setembre) A l'oficina central de Correus d'un cert país hi ha exposades les tarifes del servei de cartes, que són les següents: (4 p)
      -Cartes fins a 20 g de pes: 17 pts.
      -per cada 10 g o fracció de 10 g d'excés de pes, s'hi ha d'afegir 5 pts. més.
      a) Escriviu la fórmula de la funció y=f(x) (on x representa el pes de cada carta i y el preu que hem de pagar per enviar-la), fins a 50 g.
      b) Representeu gràficament la funció f. Indiqueu en quins punts del seu domini és discontínua i perquè.


      2.2.15-(1994/1/B) Calculeu dos nombres que sumin 8 i el producte dels quals sigui el més gran possible.


      2.2.16-(1994/4/A) Les tarifes de taxi d'una ciutat indiquen que l'abaixament de bandera costa 250 pts., amb què podem recòrrer fins a 500 m. A partir d'aquest moment, el taxímetre salta 25 pts., i torna a saltar 25 pts. per cada 20 m. recorreguts. Suposant que el taxi no s'atura en tot el viatge,
      a) Dibuixeu la funció y=f(x) que ens dòna el preu y que hem de pagar per a cada viatge de x metres, per a x entre 0 i 600 metres.
      b) Quant hem de pagat per a un viatge de 585 metres? Quin interval de distàncies podem haver recorregut si hem pagat 325 pts.? (4 p)
      Solució


      2.2.17-(1994/4/B) Trobeu el nombre positiu que en restar-li el seu quadrat s'obtingui la màxima diferència. (2 p)


      2.2.18-(1994/6/A) Una empresa de teixits estima que el seu balanç de guanys i pèrdues segueix la funció f(x) = ln(x+1) - x + 2 on x representa els anys naturals a partir de la seva fundació (x = 0 : moment de la fundació de la empresa) i y els guanys o les pèrdues de l'empresa, en milions de pts.
      a) Indiqueu quin és el balanç de l'empresa en el moment de la seva fundació. En quin moment de la seva vida obtindrà el màxim benefici?
      b) Feu servir un gràfic aproximat de la funció per saber si d'aquí a 10 anys l'empresa tindrà beneficis o pèrudues. Comprarieu accions d'una empresa com aquesta? (4 p)


      2.2.19-(1995/4/A) Suposem que pòdem modelitzar la relació entre la temperatura de l'aigua de mar i la fondària en una zona determinada mitjançant la funció:
      f(x)=(x²+4x+1)/(x²+1)
      on x representa la fondària en metres negatius (p. ej.: -4,5 m) i f(x) la temperatura corresponent.
      a) Indiqueu quina és la temperatura de l'aigua en superfície i a quines profunditats la temperatura és de 0 graus. Com evoluciona la temperatura de l'aigua a mesura que anem baixant?
      b) Indiqueu a quina fondària la temperatura és més baixa i quina és aquesta temperatura. (4 p)
      Solució


      2.2.20-(1995/2/A) El dipòsit d’aigua d’uns lavabos públics té una capacitat de 20 litres i el dispositiu funciona de la manera següent: l’aigua entra al dipòsit contínuament a raó de 2 litres per minut i quan el dipòsit és ple es buida de cop. Entenem que el buidatge és instantani.
      a) Dibuixeu el gràfic de la funció que ens dóna el contingut del dipòsit en funció del temps, des de l’instant t = 0, en què el dipòsit és buit, fins a t = 30 minuts. Quant val la derivada de la funció en l’instant t = 3 minuts?
      b) Quin volum d’aigua conté el dipòsit al cap de 12 minuts? En quins punts la funció de l’apartat a) no és derivable? Justifiqueu la resposta. (4 p)