3.2 ESTADÍSTICA - CORRELACIÓ (RECTA DE REGRESSIÓ)

      (16/10/97) - Tornar a l'índex

      3.2.1-( /2/A) La media de los pesos de cierta población es de 65 Kg y de las alturas 170 cm, mientras que las desviaciones típicas son de 5 kg y 10 cm, respectivamente, y la covarianza de ambas variables es 40. Calcule la recta de regresión de los pesos respecto a las alturas. ¿Qué estima que pesará un individuo de 180 cm de altura? (2 p)


      3.2.2-( /2/A) La taula següent mostra las alçades i els pesos de 5 adults 
      alçada x, m	1.62	1.68	1.72	1.75	1.70
pes y, Kg	65	64	70	80	68
      Calculeu les mitjanes, les variances, la covariància i el coeficient de correlació de les variables x i y, i escriviu-ne les fórmules corresponents. (2 p)


      3.2.3-( /3/B) La taula següent dóna el consum d'energia elèctrica per habitant i la temperatura mitjana de 4 hiverns consecutius d'unaciutat. 
      Temperatura mitjana (°C) x:	2	0	-1	3
Consum (KWh) y:			360	400	420	350
      a/Calculeu el coeficient de correlació de les variables x i y i la recta de regressió de y respecte de x.
      b/El coeficient de correlació és negatiu. Ho trobeu raonable? Expliqueu-ho.
      c/Quin consum d'energia per habitant hem d'esperar durant un hivern amb una temperatura mitjana de 5°C? (4 p)


      3.2.4-( /5/A) Estudiant les qualificacions de Matemàtiques i d'Educació física dels alumnes d'un centre s'ha obtingut un coeficient de correlació entre les dues variables igual a -0.02. Com interpreteu aquest resultat? (2 p)


      3.2.5-( /6/B) En 4 viatges del trajecte Barcelona-Girona un conductor ha observat les velocitats mitjanes i els consums de gasolina següents: 
      velocitat, Km/h.	x:	105	117	90	120
consum, l		y:	6.5	7.5	6	8.2
      a/Calculeu les variàncies de les variables x i y, la covariància i el coeficient de correlació. Escriviu les fórmules corresponents.
      b/Escriviu la recta de regressió de y respecte de x.
      c/Quin consum esperaríeu d'un viatge fet a 130 km/h de mitjana? (4 p)
      Solució


      3.2.6-(1989/2/A) Expliqueu que significa una distribució bidimensional. Poseu-ne un exemple. (2 p)


      3.2.7-(1989/2/A) La següent taula mostra les alçades de 6 nois de 20 anys, juntament amb les alçades dels seus pares. 
      Pare,	x:	1.65	1.60	1.70	1.63	1.75	1.68
Fill,	y:	1.75	1.68	1.73	1.65	1.83	1.67
      a/Calculeu les mitjanes, les variances i la covariància de les variables x i y, anteriors, escrivint prèviament la fòrmula quefeu servir.
      b/Escriviu la recta de regressió de l'alçada dels fills en funció de l'alçada dels pares i digueu quina alçada s'esperaria que tingués el fill d'un pare d'1.80 cm d'alçada. (2 p)


      3.2.8-(1989/3/A) Definiu "coeficient de correlació" i digueu què significa. (2 p)


      3.2.9-(1989/3/A) Volem veure si el preu del barril de petroli afecta la mitjana europea dels índexs de preu al consum (IPC). A la següent taula hi ha recollides les dades de 5 anys; 
      Preu del Barril en $	18	19	20	18	16
IPC			3	5.5	4.5	3.5	4
      a/Calculeu el coeficient de correlació entre les dues variables anteriors, escrivint prèviament la fórmula que feu servir.
      b/Feu la predicció d'IPC si el preu del barril se situa a 21 $, utilitzant la recta de regressió de l'IPC en funció del preu del barril. (2 p)


      3.2.10-(1990/3/B) La taula següent mostra el consum anual d'energia per habitant i l'índex d'analfabetisme de 4 estats. 
      Consum d'energia (en Kg equivalents de carbó),	x:	1828	1993	1355	625
Percentatge d'analfabetisme,			y:	15.7	9.9	25.8	48.6
      Calculeu les variances, la covariancia i el coeficient de correlació de les variables x i y i escriviune les fórmules que utilitzeu.


      3.2.11-(1990/5/A) La mitjana de les qualificacions de Llengua d'uns estudiants és 6.5, i la variància, 3, mentre que la mitjana de les qualificacions de Física és 5.5, i la variància, 5. La covariància de les variables X (notes de Llengua) i Y (notes de Física) és 2.4. Calculeu la recta de regressió de Y respecte de X. Quina nota de Física caldria esperar d'un estudiant que té un 8 de Llengua? (2 p)


      3.2.12-(1992/1/B) Unes dades recollides durant els darrers anys sobre la pluviositat i la venda de paraigües en una ciutat indiquen el següent: 
      				1989		1990		1991
Pluja en mm 		  	830		1050		760
nombre de paraigües venuts	32427		34200		28642
      a/ Calculeu les mitjanes i les desviacions estàndards de les dues variables, i també el coeficient de correlació. Escriviu-ne les fórmules corresponents.
      b/ Quin signe té el pendent de la recta de regressió? Podem contestar-ho sense haver de fer càlculs? Per què? (4 p)


      3.2.13-(1992/2/A) En unes proves de rendiment físic i esportiu d'uns estudiants s'observaren les pulsacions per minut en repòs i els temps invertits en un cursa. La mitjana de les pulsacions fou 72 amb una desviació estandard de 4, i la mitjana dels temps, 14 minuts amb una desviació estandard de 5. El coeficient de correlació fou 0,4. Estimeu mitjançant la recta de regressió el temps d'un estudiant que té 76 pulsacions per minut.. (2 p)


      3.2.14-(1992/5/B) En un experiment per a estudiar la relació que hi ha entre la dosi d'un medicament i el temps de reacció d'una persona estimulada davant un senyal auditiu, s'han recollit les dades següents: 
      dosi(mg)	1	3	4	7	9	12	13	14
temps(s)	3,5	2,4	2,1	1,3	1,2	2,2	2,6	4,2
      a/Feu un núvol de punts en el pla de coordenades posant a les abscisses la dosi, i les ordenades, el temps. Creieu que el temps depèn de la dosi?
      b/Es pot ajustar el núvol mitjançant una recta? Té sentit calcular el coeficient de correlació en aquest cas? Què mesura el coeficient de correlació? (4 p)


      3.2.15-(1992/6/A) Cinc nenes, de 2, 3, 5, 7 i 8 anys, pesen respectivament 14, 20, 30, 42 i 44 kg.
      a/Calculeu l'equació de la recta de regressió del pes sobre l'edat.
      b/Quin seria el pes estimat d'una nena de 6 anys? (2 p)


      3.2.16-(1993/1/B) En la taula següent indiquem la producció d'automòbils d'un país en milions d'unitats; la variable X correspont als anys i la variable Y, a la producció: 
      X	1980	1981	1982	1983	1984
Y	70	74	75	78	85
      Sabem que la mitjana de la variable X és 1982 i que la desviació estàndard és 1.41; la mitjana de la variable Y és de 76.4 amb una desviació estàndard 5.00. Trobeu l'equació de la recta de regressió de Y sobre X i feu-la servir per predir la producció d'automòbils que podem esperar l'any 1993.


      3.2.17-(1993/2/A) A la taula segënt tenim els percentatges de població rural d'una comunitat: 
      any		1962	1968	1975	1982	1992
% de pol.	58	55	51	49	45
      Anomenem X els anys i Y el percentatge de població rural, i trobem que la mitjana de X val 1975,8, amb una desviació estàndard de 10,51, i que la mitjana de Y val 51,6, amb una desviació estàndard de 4,54.
      a/ Calculeu la recta de regressió de Y sobre X en aquesta distribució. Podríem saber el signe del pendent sense haver de fer cap càlcul?
      b/ Estimeu, amb l'ajut de la recta de regressió, el percentatge de població rural que hi haurà l'any 200. (4 p)


      3.2.18-(1993/2/B) Una distribució bidimensional (xi, yi) en què xi correspon a l'alçada de les dones i yi correspon a l'alçada de llurs filles respectives, totes mesurades en cm, té com a recta de regressió y=0'72x+43'19 (2 p)
      a/ Que vol dir que el coeficient de regressió sigui positiu?
      b/ Quina serà l'alçada estimada de la filla d'una dona que faci 160 cm?


      3.2.19-(1993/3/A) Per tal d'estudiar l'efecte d'un nou fertilitzant, hem assignat diferents nivells a quatre camps similars i hem recollit les dades de producció següents: 
      X (fertilitzant en kg)	1	2	4	5
Y (producció en tm)	70	70	80	100
      Sabem que la mitjana de X val 3, amb una desviació estàndard 1,58, i que la mitjana de Y val 80, amb una desviació estandard 12,24: (4 p)
      a/ Representeu el núbol de punts i calculeu el coeficient de correlació.
      b/ Utilitzeu la recta de regressió de Y sobre X per fer una predicció de la producció en cas que hi posem 3 kg de fertilitzant.


      3.2.20-(1993/3/B) En un estudi sobre la influència de la pluja en la producció de blat hem obtingut les dades següents (les variables són X = "collita de blat en quintars per hectàrea" i Y = " pluja de primavera en litres per metre quadrat") (2 p)
      				X		Y
mitjana				28,02		4,42
desviació típica		22,58		20,1
coeficient de correlació	0,80
      Estimeu la producció de blat per una pluja de primavera de 23 l/m2

      3.2.21-(1993/6/B) Les alçades de quatre noies xi i de llurs mares respectives yi són les següents: 
      xi	155	160	150	162
yi	150	180	140	160
      a/ Representeu els valors de la taula com a núbol de punts.
      b/ Tenim x = 156,75 (mitjana de x); y = 157 (mitjana de y); Sx = 4,65; Sy = 14,79 (desviació típica de y i de x). Calculeu el coeficient de correlació Pxy i la recta de regressió Y sobre X. (4 p)


      3.2.22-(1994/3/B/Juny) L'evolució de la venda de televisors d'un país en els darrers anys s'indica a la taula següent, on la variable X indica els anys i la variabl Y, la venda de televisors, en milers d'unitats: 
      X	1980	1981	1982	1983	1984
Y	70	74	75	78	85
      a)Calculeu la mitjana anual de televisors venuts i la seva desviació estàndart.
      b)Hem calculat que la desviació estàndart de la variable X és 1,41. Calculeu la recta de regressió de Y sobre X i la venda de televisors prevista per l'any 1993. (4 p)


      3.2.23-(1994/1/B) La taula següent indica l'evolució de la població amb feina respecte a la població activa d'un país en els darrers anys: 
      any			1962	1968	1975	1982	1992
% població ocupada	58	55	51	49	45
      Si anomenem X els anys i Y el percentatge de població amb feina, hem calculat que la mitjana de X val 1975,8; la seva desviació estandard val 10,51; la mitjana de Y val 51,6 i la seva desviació estandard val 4,54.
      a) Abans de fer cap càlcul, indiqueu justificadament allò que es pugui saber sobre el signe del pendent de la recta de regressió d'aquesta distribució. Calculeu a continuació la recta de regressió.
      b) Quin percentatge de població ocupada que amb la recta de regressió podem preveure per a l'any 1996? (4 p)


      3.2.24-(1994/4/B) Durant el primera any de vida, a la Marta l'han pesada cada mes. La taula següent s'indica els corresponents pesos: (4 p.) 
      Edat x(mesos)	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
pes y kg	3,2	3,7	4,2	5,3	5,7	6,5	6,8	7,2	7,9	7,7	8	8,5
      a) Calculeu la mitjana dels pesos i la seva desviació típica.
      b) Determineu l'equació de la recta de regressió de y en x.


      3.2.25-(1994/5/B) Una empresa vol preveure les seves necessitats de matèries primeres per mitjà d'una previsió del seu volum de negocis. Disposa de les dades següents d'una sèrie de períodes, on xi representa la quantitat, en tones, de matèries primeres i yi representa, en milions de pts, el volum de negoci: 
      xi	0,9	1,2	0,6	0,5	1,4	1
yi	37	40	33	33	41	35
      Sabent que Sxz= 0,93, calculeu la recta de regressió i feu-la servir per preveure les necessitats de matèries primeres quan yi = 39. (2 p)


      3.2.26-(1994/6/B) Disposem de la taula següent corresponent a una distribució bidimensional: 
      xi	2	3	4	4	5	6	6	7	7	8	10	10
yi	1	3	2	4	4	4	6	4	6	7	9	10
      a) Sense fer cap càlcul, justifiqueu el signe que tindrà el quoeficient de regressió.
      b) Hem calculat Xm = 6; Ym = 5; Sxy = 5,92; Sx = 2,45. Calculeu la recta de regressió de y sobre x.


      3.2.27-(1995/3/A/Juny) Per tal de gestionar més bé el seu magatzem, una empresa decideix estimar les seves necessitats de primeres matèries mitjançant el volum de negoci i el total de salaris. Durant els sis darrers mesos ha obtingut les dades següents: 
      Mes	1	2	3	4	5	6
X	0,9	1,2	0,6	0,5	1,4	1
Y	37	40	33	33	41	35
Z	3,9	3,7	3,2	3,3	3,6	3,7
      on X representa, en tones, la quantitat de primeres matèries, Y representa el volum de negocis en milions de pessetes i Z el total salarial en milions de pessetes. Hem calculat també:(Nota crec recordar que n'hi ha algún d'equivocat)
      Xm =0,99; Ym =36,5; Zm =3,57
      Sx =0,31; Sy =3,14; Sm =0,24
      Sxy =0,93; Sxz =0,04

      a) Calculeu els coeficients de correlació lineal entre X i Y i entre X i Z.
      b) Feu servir la recta de regressió de Y sobre X per estimar les necessitats de primeres matèries quan el volum de negocis sigui 39 milions de pessetes. (4 p)


      3.2.28-(1995/2/B) La taula que segueix ens dóna les dades sobre importacions i exportacions d’un país determinat en anys successius: 
      Any			1	2	3	4	5	6	7
Importacions (xi)	510	640	745	860	910	1025	1095
Exportacions (yi)	525	605	715	790	900	1055	1125
      Nota: Totes les quantitats són en milers de milions de pessetes.
      Hem calculat la covariança de yi sobre xi, i ens ha donat 39.462; Sx = 193,2; Sy = 206,9 i Pxy = 0,987.
      a)Calculeu la recta de regressió de les importacions sobre els anys. Deduïu-ne una estimació de les importacions de l’any dotzè.
      b)A la vista d’aquestes dades, hi ha una forta correlació entre les importacions i les exportacions d’aquest país durant els anys indicats a la taula? (4 p)


      3.2.29-(1996/3/A/Juny) El consum d’energia per càpita en milers de kwh i la renta per càpita en milers de dòlars de sis països de la UE són els següents: 
      		Alema.	Belgicà	Dinam.	Espanya	França	Itàlia
Consum (y)	5,7	5,0	5,1	2,7	4,6	3,1
Renda (x)	11,1	8,5	11,3	4,5	9,9	6,5
      a) Calculeu la recta de regressió del consum d’energia (y) sobre la renda (x). (1.5 p)
      b) Indiqueu el valor de la correlació entre el consum i la renda dels països indicats, i interpreteu-ne el resultat. (1.5 p)
      c)Quina predicció podem fer sobre el consum d’energia per càpita de Grècia si sabem que la seva renda és de 4,4 milers de dolars? (1 p)


      3.2.30-(1996/4/A/Setembre) En una població s’estúdien simultàniament els paràmetres X i I, i obtenim la taula de resultats següent: 
      X	1	2	3	4	5	6
I	8,9	8,1	7,1	5,8	5,1	4,1
      a) Calculeu el quoeficient de correlació d’aquesta distribució, i interpreteu-ne el resultat.
      b) Calculeu la recta de regressió de Y sobre X i el valor estimat quant X = 10. (2 p)


      3.2.31-(1997/6/B/1/Juny)Es vol relacionar la quantitat gastada en un producte determinat i els ingressos del comprador. Per fer-ho disposem de la informació referent a 10 individus que es dóna a continuació:

      Indivi. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
      Ingres. 300 420 450 500 560 610 780 780 800 1300
      Despe. 11,1 12,2 12,5 13 13,4 15,6 15,8 16,0 16,1 20,8

      Calculeu el quoeficient de correlació entre els ingressos i la quantitat gastada (despeses) d'aquests individus i digueu si creieu que la correlació que hi ha entre aquestes dues variables és forta o més aviat feble. Calculeu després la recta de regressió per obtenir la quantitat gastada en funció dels ingressos (expliqueu ben bé què feu i les fórmules que utilitzeu). (4 p)
      Solució