>>
|
|
Algunes activitats d'estadística i probabilitat amb la Wiris |
>>
|
|
Continguts (conceptes i procediments) |
Com ja sabem, la desviació típica 
és
un paràmetre que ens pot donar una idea de si les dades es concentren
molt o poc al voltant de la mitjana 
(quan
és petita les dades estan molt concentrades al voltant de la mitjana,
mentre que si és gran, s'espera que les dades estiguin més disperses
i no tan allunyades de la mitjana).
Donada una distribució de dades per a la variable X, doncs, serà
poc probable trobar valors d'ella que estiguin molt allunyats de la mitjana
.
Hi ha alguna manera de saber com és de probable que trobem un cert valor
dintre d'un entorn de radi k·
centrat en la mitjana? La resposta és sí. Txebyshev va demostrar
que la probabilitat que, si escullo a l'atzar un valor de la variable X, aquest
valor caigui en un interval de radi k·
centrat en la mitjana
sempre serà com a mínim 1-1/k2. Aquest resultat es
pot expressar així:
Posem un exemple pràctic: suposem que tenim una distribució de
dades en la qual la mitjana val =250
i la desviació típica val =
5. Si trio k=2 en el teorema, és a dir, si amb la variable X com a molt
m'allunyo 2 desviacions típiques cap a l'esquerra i cap a la dreta de
la mitjana ens diria que la probabilitat de trobar un valor entre 250-2·5
i 250+2·5, o sigui, entre 240 i 260 és superior o igual a 1-1/22=3/4=0,75,
és a dir, com a mínim un 75% dels valors cauen dintre de
l'interval (240,260). Si coneguéssim els detalls de quins són
els valors de la distribució (o la seva forma) podríem donar no
un valor mínim de % sinó un valor exacte usant el mètode
que vam veure quan calculàvem percentils; però si no sabem res
més que la mitjana i la desviació típica, el teorema de
Txebyshev ens dóna un resultat orientatiu (ens diu, coma mínim,
quin % de valors hi haurà en (240,260)).
Vegeu un altre exemple: una distribució de dades té mitjana 50
i desviació típica 4. Com a mínim, quin percentatge de
dades hi ha en (44,56)? La solució és fàcil: l'interval
(44,56) està centrat en la mitjana. El radi de l'interval és de
6 unitats, és a dir, k·=6.
Com que =4,
aïllant la k de k·4=6 obtinc que k=1,5. Si ara vaig al teorema i
substitueixo la k obtindré que, com a mínim, la probabilitat de
trobar un valor dintre d'aquest interval serà de 1-1/k2=1-1/1,52=0,5556=55,56%.
Us suggereixo que trobeu quin percentatge de dades hi ha, com a mínim, en l'interval (110,130) per a una variable estadística X que té 120 com a mitjana i 2 com a desviació típica.
Activitats:
