Relaciones Angulares

En este apartado es posible comprobar algunas relaciones que se cumplen entre diversos ángulos de un polígono estrellado, al hacer variar N(el número de vértices) o P(el salto entre los vértices).

Cada polígono estrellado de N vértices delimita en su interior un polígono regular, de N vértices también, y aquí aparece destacado en color lila. A su vez, a cada polígono estrellado se le puede asociar otro polígono regular que lo circunscribe (de color turquesa, en este caso). Ambos polígonos regulares me han sido de ayuda para la obtención de las fórmulas y también sirven para justificar la semejanza entre ambos.

Las relaciones angulares, expresadas mediante fórmulas activas en el applet, están escritas de nuevo, a continuación del mismo, junto con otras equivalentes y una justificación de la semejanza de ambos polígonos regulares asociados al polígono estrellado.

Creado con GeoGebra

RELACIONES ENTRE ÁNGULOS

Se cumple que:

RELACIÓN ENTRE EL ÁNGULO DE LA PUNTA (VÉRTICE EXTERIOR) Y EL ÁNGULO CENTRAL

,

es decir, la diferencia entre los dos parámetros N y P, indica cuántas veces es más grande el ángulo de la punta que el central, si le sumamos 180º.

de la relación anterior obtenemos:

RELACIÓN ENTRE EL ÁNGULO DEL VÉRTICE INTERIOR Y EL ÁNGULO CENTRAL :

de donde:

y también:

RELACIÓN ENTRE EL ÁNGULO INTERIOR DE LOS POLÍGONOS REGULARES Y EL ÁNGULO CENTRAL :

,

de donde:

SEMEJANZA ENTRE LOS POLÍGONOS REGULARES EXTERIOR E INTERIOR

- Los vértices exteriores del polígono estrellado(PE) son puntos igualmente espaciados en la circunferencia, y a su vez son vértices de un polígono regular circunscrito al mismo, que es el Polígono Regular Exterior.

Los segmentos que conforman el PE intersectan unos con otros, cada uno con el siguiente, sólo una vez. Estas intersecciones son también equiespaciadas, generando una nueva sucesión de puntos que describen la misma figura que la inicial (el polígono regular exterior), y que serán los vértices del Polígono Regular Interior.

Como ambos polígonos regulares tienen el mismo número de vértices equiespaciados ( y por tanto, sus lados serán todos iguales), los ángulos interiores de los polígonos serán iguales, por lo que ambos polígonos son semejantes.

- Se puede comprobar la igualdad de uno de los ángulos de cada uno de ellos en la aplicación de GeoGebra.

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