Relaciones entre SegmentosEn este apartado se pueden comprobar, mediante fórmulas activas del applet, algunas relaciones entre diversos segmentos del polígono estrellado, como la relación entre el radio y el segmento de salto, así como la relación de semejanza entre los radios de los polígonos regulares interior y exterior, asociados al polígono estrellado. A continuación del applet se exponen una serie de resultados teóricos sobre el perímetro de un polígono estrellado y la fórmula de la razón de semejanza entre los polígonos regulares exterior e interior asociados.
Creado con GeoGebra
PERÍMETRO DE UN POLÍGONO ESTRELLADO - Un polígono estrellado se representa como Los vértices quedan, por tanto, como puntos extremos de un segmento.
- La distancia entre ambos puntos es la longitud LS de cada segmento que conforma el polígono estrellado, y es:
Para cada polígono estrellado de N vértices hay N segmentos. La suma de las longitudes de los N segmentos es el Perímetro del Polígono Estrellado, PerPE (definido por construcción): Si calculamos el límite de esta expresión para P fijo y N tendiendo a infinito, obtenemos: Es decir, el límite del perímetro de un polígono estrellado, de N vértices, tomados de P en P, cuando N tiende a infinito, es P veces la longitud de la circunferencia que lo contiene.
PERÍMETRO DEL POLÍGONO NO CONVEXO QUE DELIMITA EL POLÍGONO ESTRELLADO Todo polígono estrellado está delimitado por un polígono no convexo.
En la imagen, como ejemplo de un
Para cada PE de N vértices, hay 2N segmentos. La suma de las longitudes de todos los lados es el Perímetro del 2N-ágono No Convexo y, para un PE cualquiera de N vértices, tomados de P en P, es: El límite de esta expresión, calculado para P fijo y N tendiendo a infinito, es
Es decir, el límite del Perímetro del polígono no convexo que delimita un Polígono Estrellado es la longitud de la circunferencia que lo contiene.
RAZÓN DE SEMEJANZA ENTRE SEGMENTOS Los vértices exteriores del polígono estrellado son también vértices de un polígono regular exterior circunscrito al mismo. Y los segmentos de un polígono estrellado se cortan de manera que se genera un polígono regular interior. Entre ambos polígonos regulares está la poligonal de segmentos que conforman el polígono estrellado. Ambos polígonos regulares son semejantes ( ver apartado de Relaciones Angulares) y la Razón de Semejanza entre sus lados, o entre sus radios, para cualquier valorde N y P, es la siguiente: con R el radio del polígono regular exterior, y r el radio del polígono regular interior.
|
, donde N es el número de vértices equiespaciados sobre una circunferencia y P es el salto entre los vértices, s
, dicho polígono no convexo tiene 18 lados (coloreados en rosa sobre el polígono estrellado, en azul). 
. 