Fig.4.1. El THEMATETRAHEDRYONKIE

Després de l'èxit obtingut en l'elaboració de la figura tetradimensional de la família del quadrat ens vam introduir en un nou projecte, la construcció d'una nova figura en quatre dimensions, però aquest cop de la família del triangle, el que anomenarem el THEMATETRAHEDRYONKIE.

Tot i tenir un petit desencís inicial al no trobar cap solució per la teoria de la circumferència, el poder trobar la figura en quatre dimensions, i sobretot el descobriment de les seves propietats que ens van permetre construir la taula de resultats van fer que ens animéssim i procuréssim arribar a uns resultats equivalents, encara que fos per altres mètodes, utilitzant una altra llei general per aquesta família. La que més ens va satisfer va ser la següent:

Com sempre, a la dimensió inicial, la zero trobem un punt, el Gran Patriarca, que és la única figura que podem trobar a aquesta dimensió. Per passar a la primera dimensió farem servir el mateix procès utilitzat per la construcció de la recta unidimensional en la teoria del quadrat. O sigui, dupliquem el punt, el fem sortir de la seva dimensió i unim el dos punts resultants amb una recta, obtenint un segment. Ens trobem ja a la primera dimensió.

Quan arribem a aquest punt és quan hem de començar a establir diferències amb la teoria del quadrat. Allà el que fèiem era duplicar la recta original i separar-la de la còpia per unir els seus punts, en aquest cas el que farem conté una petita diferència, perquè no volem construir una figura amb quatre costats, sinó amb tres. El procés començaria duplicant la recta, però a continuació el que farem serà obrir-les mantenint un punt en comú, si ara unim els dos vèrtexs homònims sobre els que no hem fet l'obertura actuant com a frontissa amb una recta. D'aquesta forma obtenim el triàngle.

Un cop tenim el triàngle hem de duplicar-lo i obrir-lo, mantenint un dels seus costats utilitzant-lo com a frontissa. Amb aquest procés el que hem aconseguit és sortir de la dimensió en la que estem treballant. Ara només ens cal unir els dos vèrtexs del triàngle que han quedat lliures per construir el tetràedre, com sempre ho farem amb una recta.

Fig.4.2. Aquesta seria l'evolució del triangle fins al THEMATETRAHEDRYONKIE

Un cop arribats a aquest punt hem de fer un petit descans al nostre camí, que ens servirà per tenir les idees més clares i per poder veure amb més claredat com haurà de ser la nostra figura en quatre dimensions.

El primer pas seria observar que cadascuna de les figures amb les que treballem té un vèrtex més que la de la dimensió anterior, això es deu a que quan obrim la figura mantenint una part com a frontissa, només ens queda un punt lliure.

La segona característica la trobem en què qualsevol vèrtex de qualsevol figura es troba comunicat amb tots els altres mitjançant una recta.

La tercera propietat que podem trobar ens diu que amb cada figura de la família del triangle que tenim podem trobar un polígon bidimensional amb totes les seves diagonals. D'aquesta forma trobem que el Gran Patriarca és la figura de cap dimensió amb totes les seves diagonals, encara que no ho sembli. El segment de la primera dimensió també és un polígon amb totes les seves diagonals. Per la seva banda el triangle també té totes les seves diagonals dibuixades i és un polígon de tres costats. Al tetràedre si el col.loquem convenientment podrem veure un quadrat amb les seves dues diagonals.

Ara, després d'aquestes dades ja estem preparats per poder arribar al que serà el nostre THEMATETRAHEDRYONKIE, la figura tetradimensional de la família del triangle. El que hem de fer és duplicar el tetràedre i desplegar-lo mantenint com a eix una cara, tot i que aquest procés és impossible per a nosaltres podem arribar al resultat final, perquè comparteixen una de les cares. Aquest procediment és exactament el que ens evidencia el canvi de dimensió. Amb tot això obtenim el THEMATETRAHEDRYONKIE.

El que ens falta és cerciorar-nos de que la nostra obra compleix totes les característiques de les figures de les figures de la família del triangle.

El primer que hem de fer és comprovar si posseeix un vèrtex més que el tetràedre, que en té quatre. El THEMATETRAHEDRYONKIE té exactament cinc vèrtexs.

Després hem de veure si tots els punts estan comunicats entre ells. Aquest aspecte és un dels que hem de millorar perquè la figura obtinguda no té rectes que uneixin tots els punts. El que veiem és que el nou punt creat i el seu punt original, l'homòleg, no estan comunicats, la resta sí que ho està. El que farem per acabar de definir-lo correctament és unir-los amb una recta que donarà a la figura una aparença estranya i característica que ens ha de fer pensar que és una figura tetradimensional.

Fig.4.3. Aquest és el tetràedre en quatre dimensions, el THEMATETRAHEDRYONKIE

Però l'últim aspecte que hem de tenir en compte és el fet de poder veure la representació d'una figura plana amb totes les seves diagonals. Si girem el nostre model adequadament dins les nostres tres dimensions veurem que arriba un moment en el que podem observar un deformat pentàgon (deformat per la precarietat dels nostres recursos, no per la seva configuració ideal) amb totes les diagonals possibles traçades. Com que el que podíem veure amb el tetràedre era un quadrat era previsible que ara fos un pentàgon. Aquesta petita demostració la podem veure en la següent figura:

Fig.4.4. En el THEMATETRAHEDRYONKIE hi podem veure un pentàgon

Ara, com vam fer amb el THEMANCUBUSKIE, podem procedir a elaborar una taula amb el nombre total de vèrtexs, arestes, cares, etc... Aquest és el resultat:

Per a començar la taula, veiem que els vèrtexs evolucionen així: v_n = d_n + 1, on v_n són els vèrtexs en la dimensió n, que es representa d_n.

Un cop hem marcat aquesta evolució, podem estudiar la Llei Universal del Tetràedre, que és: La dada de la casella de dalt més la dada de la casella de baix és igual a la dada que correspon a la casella de la dreta de baix.