Consideracions generals

• La distància entre qualsevol dos elements serà sempre la mínima. Així, quan els dos elements tinguin punts en comú la distància serà zero; en els altres casos, caldrà calcular la distància amb l’expressió adient. Per tant, abans de calcular la distància entre dos elements, en general, haurem de trobar la posició relativa entre aquest dos elements.

Distància entre dos punts

La distància entre dos punts P i Q és el mòdul del vector entre aquests dos punts:

Exercici 1: Utilitza la , per comprovar que la distància entre els punts A=(-3,1,4) i B=(4,5,2) és igual al mòdul del vector . .

Distància entre un punt i una recta

Entre un punt i una recta la distància és des del punt P fins a la recta r perpendicularment a la recta. Per calcular la distància es pot fer utilitzant el producte vectorial amb l’expressió següent: on A és un punt qualsevol de la recta i és el vector director de la recta.

Exercici 2: Utilitzant la , troba la distància des del punt P=(1,-5,0) a la recta donada r per l'equació (x,y,z)=(2,-3,1)+k·(1,-1,2). .

Distància entre dues rectes paral·leles

• Aquesta distància és perpendicularment entre les dues rectes. Llavors, agafem un punt qualsevol d’una de les rectes i fem la distància des d’aquest punt fins a l’altra recta amb l’expressió del cas anterior.

Exercici 3: Utilitza la , per trobar la distància entre les rectes r: (x,y,z)=(-5,-4,1)+k·(2,1,-1) i s: (x,y,z)=(0,-1,0)+m·(-4,-2,2). .

Distància entre dues rectes que es creuen

La distància en aquest cas ve donada pel segment que és perpendicular a les dues rectes. la longitud d’aquest segment la trobarem fent ús dels productes mixt i vectorial en l’expressió: on P i són el punt i vector director de la recta r; i Q i són els corresponents a la recta s.

Exercici 4: Troba amb la la distància entre les rectes r: x-1=y+2=z+2 i s: (x,y,z)=(0,1,0)+m·(3,1,-4). .

Distància entre un punt i un pla

La distància és perpendicularment des del punt P fins al pla p i la trobarem utilitzant l’equació implícita del pla: en l’expressió següent:

Exercici 5: Troba la distància entre el punt P=(1,2,6) i el pla p: 2x-y-2z+3=0 utilitzant la . .

Distància entre una recta i un pla paral·lels

• Aquest cas es redueix a l’anterior prenent un punt qualsevol de la recta.

Distància entre dos plans paral·lels

• Igual que l’anterior, prenem un punt qualsevol d’un dels plans i fem la distància des d’aquest punt fins a l’altre pla.

Exercici 6: Troba amb la , la distància entre els plans paral·lels 2x-y-2z+3=0 i 2x-y-2z-12=0. .