- A partir de les dues expressions dels producte escalar de dos vectors:
en podem, aïllant cosa, treure la següent expressió:
que és la que ens serveix per trobar l’angle entre els dos vectors.
Exercici 1: Troba amb la l'angle entre el vector
=(4,4,0), i el vector
=(-3,5,0). .
L'anterior expressió la utilitzarem, també, per trobar els angles dels casos següents.
- Dues rectes que es tallen determinen dos angles suplementaris. Un d’ells és el mateix angle que determinen els vectors directors de la recta. Per tant, trobar l’angle entre dues rectes que es tallen es redueix a trobar l’angle entre els seus vectors directors.
Cal dir que no té sentit parlar de l’angle entre dues rectes en el cas que aquestes es creuen.
Exercici 2: Troba amb la l'angle entre la recta r definida pel punt P=(3,-1,2) i el vector
- Dos plans que
es tallen formen dos angles suplementaris. Un d’aquests dos angles és
igual al que formen els vectors ortonormals als plans. Per tant, trobar
l’angle entre els dos plans que es tallen es redueix a trobar l’angle
entre els seus vectors ortonormals.
Exercici 3: Troba utilitzant la , l'angle que formen els plans 2x-y+z-4=0 i x+y+z+10=0. .
- Una recta i un pla que es tallen formen un determinat angle a. L’angle que formen el vector director de la recta i el vector ortonormal al pla és el complementari d’a. Per tant, per trobar l’angle entre la recta i el pla primer cal trobar l’angle b entre els dos vectors anteriors i, després, trobar l’angle complementari d’aquest a = 90º - b.
Cal dir que l’angle entre els dos vectors esmentats anteriorment podria ser major de 90º. En aquest cas l’angle entre la recta i el pla l’obtindrem restant 90º a l’angle trobat: a = b - 90º.
Exercici 4: Troba utilitzant la , l'angle que formen la recta (x,y,z)=(1,-4,-7)+k·(1,2,3) i el pla 3x-y+z-3=0. .
