1. Feu una circumferència genèrica i l’hexàgon
regular inscrit en aquesta circumferència. A la mateixa pantalla
feu una altra circumferència amb el dodecàgon regular inscrit.
Deseu la figura amb el nom XXXX_M41.FIG
2. La construcció clàssica del pentàgon regular
inscrit en una circumferència, tal com va ser donada per Ptolomeu,
té els següents passos:
a) En una circumferència de centre O es traça un diàmetre
MN i un radi OA perpendicular a MN
b) Es traça la circumferència que té centre en
el punt mitjà entre O i N i que passa per A
c) Aquesta circumferència talla MN en B, i AB és el costat
del pentàgon.
Construïu un pentàgon regular seguint aquestes instruccions
i adjunteu-lo com XXXX_M42.FIG
3. Construïu una macroconstrucció per obtenir la mesura
angular d'un arc definit per tres punts, com els que s'obtenen amb l'eina
Arc del grup Corbes.
Anomeneu-la XXXX_ARC.MAC
4. Seguiu els passos per a la construcció de l'arc capaç
i comproveu la correcció del resultat. Deseu la figura com XXXX_M43.FIG
i obteniu-ne una macro XXXX_ACAP.MAC que proporcioni l'arc capaç
a partir de l'angle (3 punts) i els extrems de l'arc.
Podeu justificar per què així s’obté l’arc capaç?
Escriviu-ho al document de text XXXX_M4.
5. Observant la figura TRISEC.FIG completada i reflexionant uns instants
sobre la mesura dels angles inscrits us serà molt fàcil justificar
la trisecció de l’angle. Poseu el vostre raonament per escrit a
XXXX_M4.
6. Construïu una circumferència tangent a dues rectes donades
i tan genèrica com us sigui possible.
Deseu la figura com XXXX_M44.FIG
7. Comenceu fent una circumferència i traceu un hexàgon
circumscrit a ella i tan genèric com us sigui possible. Traceu els
segments que uneixen els vèrtexs oposats d’aquest hexàgon.
Observareu alguna relació interessant. Comproveu que es conserva
encara que moveu la figura. Formuleu el resultat que heu obtingut. Aquest
és el Teorema de Brianchon.
Deseu la figura com XXXX_M45.FIG i el teorema al document de text XXXX_M4.
8. Traceu una circumferència i preneu sis punts d’ella. Aquests
sis punts es poden unir formant un hexàgon. Uniu-los de qualsevol
manera: no cal que ho feu “en ordre”. Us sortirà un hexàgon
inscrit a la circumferència, que potser serà còncau
o creuat.
Marqueu d’un mateix color (verd, blau i vermell) cada parell de costats
oposats de l’hexàgon. Són oposats els costats primer i quart,
segon i cinquè, i tercer i sisè.
Feu la intersecció de cada parell de costats oposats. Observareu
alguna relació interessant. Comproveu que es conserva encara que
moveu la figura. Formuleu el resultat que heu obtingut. Aquest és
el Teorema de Pascal.
Deseu la figura com XXXX_M46.FIG i el teorema al document de text XXXX_M4.
9. Observant la figura CIRTAN.FIG formuleu, en termes d’igualtats i
desigualtats amb els radis i la distància entre els centres, la
caracterització de les posicions relatives entre dues circumferències.
Escriviu les vostres conclusions a XXXX_M4.
10. Què podeu dir dels punts on una de les tangents exteriors
talla a una de les tangents interiors? (són quatre punts). Escriviu
les vostres conclusions a XXXX_M4.
11. Investigueu quins són els centres d’homotècia de la
circumferència circumscrita a un triangle i de la circumferència
dels nou punts d’aquest mateix triangle (mòdul
3, pràctica 3). Escriviu les vostres conclusions a XXXX_M4.
Atenció: encara que dues circumferències no tinguin
algun tipus de tangents comunes, no per això deixen de tenir els
dos centres d'homotècia.
12. Si teniu un conjunt de 3 circumferències, cada parell determina
dos centres d’homotècia. Teniu, doncs, sis centres d’homotècia
en total. Què podeu dir sobre la posició d’aquests sis centres?
Feu una figura que ho mostri i anomeneu-la XXXX_M47.FIG. Escriviu també
les vostres conclusions a XXXX_M4.
13. Preneu una recta, un punt P sobre ella i un punt Q fora d’ella.
Traceu la circumferència que passi per P i per Q i que sigui tangent
a la recta.
Deseu la figura com XXXX_M48.FIG
14. Investigueu quin és el centre radical de les circumferències
que tenen per diàmetres:
a) els tres costats d’un triangle
b) les tres altures d’un triangle
c) les tres medianes d’un triangle
d) les tres bisectrius d’un triangle
Passa el mateix amb un conjunt qualsevol de tres cevianes?
Escriviu les vostres conclusions a XXXX_M4.
15. Dibuixeu la circumferència ortogonal a una circumferència
donada, que tingui el centre en un punt donat exterior a la primera circumferència.
Deseu la figura com XXXX_M49.FIG
Ara compacteu amb el Winzip les vuit figures i el fitxer de text, anomeneu
el resultat XXXX_M4.ZIP i adjunteu-lo a un missatge que enviareu al vostre
tutor del curs.
