Dibuix o geometria?

 Des de l’antiguitat es sabia construir amb regle i compàs els polígons de 3, 4, 5 i 15 costats, i tots aquells que resultin de doblar successivament qualsevol d’aquests nombres. Va ser el 29 de març de 1796 quan Carl Friedrich Gauss, llavors de 18 anys, va crear la construcció amb regle i compàs de l’heptadecàgon. La construcció va ser publicada el 1801.

 Herbert W. Richmond (King’s College, Cambridge) va donar en 1893 la versió d’aquesta construcció que és coneguda avui dia (vegeu la pràctica 1 del mòdul 4)

 Aconsello al lector que prengui un full gran de paper, un llapis, un regle, un compàs i un rellotge, que traci una circumferència ben gran i que efectuï la construcció sencera fins obtenir el polígon. Quan hagi acabat, que calculi el temps que ha esmerçat i en prengui nota.

 Després, amb les mateixes eines, li proposo que obtingui, per tempteig i fins a un grau d’aproximació raonable, els punts de divisió de la circumferència en 17 parts iguals, i que dibuixi el polígon. Quan hagi acabat, cal que compari el temps de cada construcció i les figures que ha obtingut.

 Un dels resultats més sorprenents de l’educació secundària és el respecte que els alumnes aprenen a tenir a les matemàtiques. És freqüent que, després de fer els dos exercicis anteriors, l’alumne hagi de comparar una figura patètica que ni tan sols forma un polígon - però ha estat dibuixada amb regle i compàs - i un heptadecàgon aparentment perfecte però dibuixat per tempteig ... i conclogui que la primera és la millor perquè és la més precisa - "ha estat feta amb regle i compàs!" - , malgrat l’evidència del contrari.

 Aquesta creença té els seus fonaments. La figura patètica representa un teorema interessant, i el bonic polígon és només això, un dibuix bonic i res més.

 Exagerem. Algú seguiria les llarguíssimes instruccions - que existeixen - per a dibuixar un 257-àgon? La nostra experiència ens diu que la perfecció d’una construcció geomètrica, per senzilla que sigui, està en funció del temps que fa que hem tret punta al llapis.

 En el fons, estem interessats en la teoria matemàtica que hi ha al darrera d’aquest ús de les eines. Si no fos així, ens dedicaríem a una altra cosa que a estudiar geometria. Les construccions geomètriques són un exercici mental. Els dibuixos són imperfectes i només valen per suggerir els teoremes - aquests sí, perfectes.