Aquesta pràctica es dedica als polígons regulars més simples que es poden construir amb regle i compàs, sense explorar les seves propietats.

Activitats

1. L'hexàgon regular

Obriu la figura HEXAGON.FIG, que mostra un triangle equilàter ABC.

Feu els simètrics de B i C respecte del punt A i respecte dels costats AC i AB. Uniu per segments B, C i els quatre punts obtinguts.

La figura que obteniu és un hexàgon regular. Teniu, doncs, la construcció de l’hexàgon regular a partir del costat.

El punt A és el centre de l’hexàgon. La circumferència que té centre A i passa per B passa també pels altres vèrtexs de l’hexàgon. 

Calculeu el radi d’aquesta circumferència i compareu-lo amb el costat de l’hexàgon.
 

La propietat anterior permet construir l’hexàgon regular inscrit a una circumferència donada.

Per fer-lo és útil servir-se de la macroconstrucció CONTINUACIÓ_ARC.MAC que reprodueix successivament un arc sobre una circumferència. Un cop activada funciona fent clic a l’origen de l’arc, el final de l’arc i el centre de la circumferència.

Per doblar el nombre de costats d’un polígon regular inscrit només cal fer el punt mitjà de cada arc. Aquesta és la missió de la macroconstrucció BISECCIÓ_ARC.MAC. Un cop activada funciona fent clic a l’origen de l’arc, al final de l’arc i a la circumferència.

Exercici 1
 

2. El pentàgon regular

Hi ha diverses construccions del pentàgon regular inscrit en una circumferència. Potser la més directa és la que veureu si obriu la figura PENTAGON.FIG. Es fa així:

a) En la circumferència de centre O es traça un diàmetre BC i un segment OA perpendicular a ell. 
b) Sigui X el punt mitjà entre A i O. Es tracen les bisectrius interior i exterior de l'angle CXO (l'exterior és simplement la perpendicular a la interior).
c) Les bisectrius tallen BC en Y i Z.
d) Es tracen les perpendiculars a BC per Y i Z.
e) Aquestes perpendiculars tallen la circumferència en quatre dels cinc vèrtexs del pentàgon. L'altre és C.

Una construcció alternativa més venerable, deguda a Ptolomeu, la trobareu a l' Exercici 2 

La construcció del decàgon regular inscrit pot fer-se per bisecció a partir del pentàgon. Hi ha, però, una construcció directa més simple que ve il·lustrada a la figura DECAGON.FIG
.

Completeu el decàgon utilitzant la macroconstrucció CONTINUACIÓ_ARC.MAC.
 

3. L'heptadecàgon regular

 La més espectacular de les construccions de polígons regulars és la de l’heptadecàgon o polígon de 17 costats, que va ser establerta per Gauss.

Els seus passos són:

1) es traça una circumferència de centre O.
2) es tracen dos diàmetres perpendiculars d'ella; siguin P i B els extrems dels dos radis.
3) es pren J sobre OB tal que BJ és el triple de OJ.
4) es pren E sobre OP tal que l'angle OJE és la quarta part de l'angle OJP.
5) es pren F sobre el diàmetre d'OP tal que FJE sigui de 45 graus.
6) es traça la circumferència de diàmetre FP, que talla OB en K.
7) es traça la circumferència de centre E que passa per K, i que talla el diàmetre en M i N.
8) es tracen per M i N perpendiculars al diàmetre, i tallen la circumferència en 3 i 5.
9) es bisecta l'arc entre 3 i 5, obtenint el punt 4. Llavors el segment entre 3 i 4 és el costat de l'heptadecàgon.

Reproduïu-la, si us ve de gust.
 
 

Resum

 

En aquesta pràctica heu d'aprendre: (A) La construcció de l'hexàgon regular (B) La construcció del pentàgon i del decàgon regulars. (C) Els criteris perquè un polígon regular pugui construir-se amb regle i compàs.

________________________________________________________

Comentaris al marge

El programa Cabri-Géomètre incorpora una eina per traçar polígons regulars de qualsevol nombre de costats. Aquesta eina és completament antieuclidiana i no serà emprada en tot el curs, atenent a raons de conservació de la bona salut geomètrica.

Es tracta de l'eina Polígon regular del grup Rectes. Requereix fer clic a dos punts i, sense deixar de prémer el botó del ratolí, anar girant en sentit negatiu per obtenir els polígons regulars "normals" i en sentit positiu per obtenir els polígons regulars estrellats.