TEORIA DE CIRCUMFERÈNCIA

         
Index - Pag. principal - Temes - Teoria de circumferència
         
  CIRCUMFERÈNCIA  
 

És una línia corba els punts de la qual són tots a una mateixa distància d'un punt interior fix, que s'anomena centre .

 
 

 

 
 
 
 

Cercle:
És l'espai limitat per la circumferència, és a dir, el conjunt de tots els punts interiors a la circumferència.

 
 

 
 
 
 

Radi:
És tot el segment que uneix el centre de la circumferència amb qualsevol altre dels seus punts. Tots els radis d'una circumferència són iguals, per la mateixa definició de circumferència.

 
 

 
 

un punt es interior o exterior a una circumferència segons que a seva distància del centre O sigui més gran o més petita que el radi.

 
 

OP1 < r < OP2

Quan OP1 < r, el punt és dins de la circumferència.
Quan r< OP2, el punt és fora de la circumferència.

 
 
 
 

 
 
 

 

  
 
 
 

Quadrant:
És la quarta part d'una circumferència.

 
 

 
 
 
 
 
Secant:
És tota aquella recta que talla la circumferència en dos punts.
 
 
 
 

•  Si una recta és secant, la seva distància del centre és sempre inferior a la longitud del radi.

 
 

•  Una recta i una circumferència no poden tenir més de dos punts comuns.

 
 

•  Per tres punts alineats no pot passar cap circumferència.

 
 
 
 

Corda:
És la part de la secant interior a la circumferència.

 
 

Tot radi perpendicular a una corda divideix aquesta i l'arc en dues parts iguals.

 
 
 
 

Tangent:
És tota recta secant a la circumferència en què els dos punts de tall es confonen en un sol punt T , anomenat punt de contacte. Per cada punt d'una circumferència es pot traçar una tangent i només una. Tots els punts d'una tangent són exteriors a la circumferència, menys el punt de contacte.

 
 

 
 
 
 
 

Normal:

 
 

 
 

La normal d'una corba qualsevol és la perpendicular a la recta tangent en el punt de contacte.

 
 

En la circumferència, la normal és el radi perpendicular r a la recta t que passa pel punt de contacte T entre la circumferència i el centre O.

 
 
 
 

Diàmetre:
És la corda que passa pel centre. Tots els diàmetres d'una circumferència són iguals perquè un diàmetre qualsevol és la suma de dos radis.

 
 
 
 
 
 
Dos diàmetres perpendiculars entre si divideixen la circumferència en quatre parts iguals: els quadrants.
 
 
 
 

Arc de circumferència:
És una fracció qualsevol d'una circumferència.

En una mateixa circumferència, dos arcs són iguals quan es poden superposar de manera que els seus extrems coincideixin; a arcs iguals corresponen angles centrals iguals.

En circumferències iguals o en una mateixa circumferència, tenim que cordes iguals sostenen arcs iguals i que la corda més gran sosté l'arc més gran.

 
 

 
 
 
 
 

Fletxa o sagita:
És el segment que uneix el punt mitjà d'un arc i el de la corda corresponent.

 
 
 
 
 
 

Segment circular:
Superfície limitada per la corda i l'arc

  
 

 
 
 
 

Corona o anell circular:
Superfície compresa entre dues circumferències concèntriques.

 
 

 

 
 
 
 

Sector circular:  Superfície delimitada per un arc de circumferència i els radis que passen pels extrems A i B d'aquest arc.

 
   
 
 
 
         
 
PROPIETATS DE LA CIRCUMFERÈNCIA
  
         
  a) Als arcs que són iguals els corresponen cordes iguals.  
  b) El diàmetre coincideix amb la mediatriu de totes les cordes de la circumferència.  
  c) El mediatriu d’una corda divideix la corda i l’arc en dues parts iguals.  
  d) Si per un punt P de la circumferència tracem una sèrie de cordes pel punt mitja de cadasuna, trobem que hi passa una circumferència que és tangent interior a la donada en el punt P.  
  e) Les construccions dels polígons regulars inscrits apliquen les propietats dels elements de la circumferència.  
         
 
 
         
   
 
   
Posicions relatives entre recte i circumferència
  
         
  Posicions relatives de dues circumferències  
  Si variem la distancia d’entre els ventres de la circumferències, tenim:  
  - Exteriors:
Les dues circumferències són exteriors una de l’altra quan la distància entre els dos centres és més gran que la suma dels radis.
  
   
   
         
  La definició també es pot formular a la inversa: si la distància dels centres és més gran que la suma dels radis, les circumferències són exteriors l’una d l’altra.  
         
  - Tangents interiors:
Quan les dues circumferències es toquen interiorment en un sol punt, la distància entre els dos centres és igual a la diferència dels radis.
  
   
   
         
  Per tant, si la distància entre els dos centres és igual a la diferència dels radis, les dues circumferències es toquen en el punt T; aleshores, aquest punt pertany a la recta que uneix els dos centres.  
         
  - Tangents exteriors:
Quan les dues circumferències es toquen exteriorment en un sol punt, la distància entre els dos centres és igual a la suma dels radis.
  
   
   
         
  Per tant, si la distància entre els centres és igual a la suma dels radis, les circumferències són tangents exteriors.  
         
  - Interiors:
Quan les dues circumferències estan separades però una conté l’altra, la distància entre els dos centres és més petita que la diferència dels radis.
  
   
   
         
  Per tant, si tenim que la distància dels centres de les dues circumferències és més petita que la diferència dels radis, una circumferència és interior a l’altre.  
         
  - Secants:
Si dues circumferències es tallen, la distància dels centres de les dues circumferències és més petita que la suma dels radis i més gran que la diferència d’aquests.
 
   
   
         
  Angles de la circumferència:
En una circumferència, hi poden haver sis tipus d’angles vinculats:
  
     
  · Angle central: el vèrtex de l’angle coincideix amb el centre, i els costats amb el radi de la circumferència. Quan l’angle central és un angle pla tenim una semicircumferència, en canvi quan és un angle recte, tenim un quadrant d’aquesta.  
  · Angle inscrit: té el vèrtex a un punt de la circumferència i els seus costats són cordes. L’angle val la meitat que l’angle central que abraça.  
  · Angle semiinscrit: té el vèrteix sobre la circumferència. Aquest, però, té un costat que és una corda i un altre que és tangent a la circumferència. El valor és la meitat del central que abraça el mateix arc.  
  · Angle interior: té el vèrtex dins la circumferència. El seu valor igual a la meitat de la suma dels angles centrals corresponents als arc determinats pels costats i llurs prolongacions.  
  · Angle exterior: té el vèrtex a un punt exterior de la circumferència. Els seus costats són tangents o secants. El seu valor és la meitat de la diferència dels angles que abracen els arcs situats entre els costats.  
  · Angle circumscrit: te el vèrtex en un punt exterior a la circumferència i els seus dos costats són tangents. El seu valor és igual a la meitat de la diferència dels angles centrals compresos entre els costats de l’angle.  
         
 
 
         
 
 
         
  Divisió en parts iguals d’una circumferència:  
         
  Mètode general: Tracem el diàmetre vertical AB i el dividim en parts iguals, tantes com costats té el polígon. Tot seguit, amb una magnitud igual al diàmetre de la circumferència, tracem dos arcs amb centres a A i B, els quals determinen el punt P en la seva intersecció. A continuació, unim el punt P amb la segona divisió del diàmetre mitjançant una semirecta que prolonguem fins que talli la circumferència en el punt I. La distància AI és la que dividira en X parts iguals la nostra circumferència.  
         
  Mètode particular:      
  · Tres i sis divisions: Transportant el radi sobre la circumferència obtindrem sis divisions iguals. Si les agafem alternades, tindrem la circumferència dividida en tres parts iguals, si les agafem totes, en sis.  
  · Quatre divisions: Traçant dos diàmetres perpendiculars entres si.  
  · Cinc i deu divisions: Dibuixem dos diametres perpendiculars entre si. Tracem la mediatriu del radi OC i determinem el punt M. Amb centre a M, prenem la distància MA i dibuixem l’arc que talla el radi OD en el punt I. El segment AI té la mateixa mida que l’arc que hem de fer servir per dividir la circumferència en cinc parts, i el segment OI és la distància del compàs per dividir-la en deu parts.  
  · Set divisions: Donada la circumferència, tracem els diametres perpendiculars entre si. Prenem el radi de la circumferencia i, amb el centre en el punt C, tracem un arc que talli la circumferència en els punts 1 i 2. Unim aquests dos punts amb un segment que, en tallar-se am el radi, determina el punt 3. La mida 3-1 és la distansa de les divisions.  
  · Eneagon: Partim de la circumferència de centre O i dibuixem els diàmetres perpendiculars AB i CD. A continuació, prenem el radi de la circumferència. Prolongem el diàmetre horitzontal i hi determinem el punt 2 traçant un arc de centre A i radi la distància A1. Amb centre a 2 i radi 2B, tracem l’arc que determina el punt 3 en la intersecció amb el diàmetre horitzontal. La distància C3 és la magnitud del costat de l’eneàgon inscrit a la circumferència.  
 
Poligons regulars