EL MERAVELLŇS TRIANGLE DE TARTAGLIA

INTRODUCCIÓ I BIOGRAFIES DELS MATEMÀTICS RELACIONATS

   Dintre d'un cicle de jornades matemàtiques d'una Universitat catalana es donava una conferèn-cia titulada "Les Matemàtiques durant el Renaixement", el ponent començà la seva exposició dient:
        - “U; u, u; u, ...
    Sobtadament un dels assistents exclamà en veu prou alta com per ser escoltat a la taula:
        - ¡Vaya, nos ha tocado un “tartajas”!
    Llavors el ponent, amb molta calma, va reprendre la seva conferència:
        - “Bé, com els anava dient, u; u u; u dos u; u tres tres u; ... alguns de vostès ja s’hauran adonat que no es tracta d’un “tartajas” sinó d’en Tartaglia, més concretament el conegudíssim triangle de Tartaglia, atribuït també a Pascal o, en països asiàtics, a Yang Hui. Sens dubte, es tracta d’una de les joies matemàtiques, datat durant el Renaixement a Europa, amb el que volia començar aquesta exposició ...”

   Anècdotes apart, començaré aquest capítol dedicat a l’esmentat triangle aritmètic, terme amb el qual també es coneix, donades les diverses paternitats atribuïdes, amb una breu referència històrica dels tres matemàtics amb el que està associat:
    · Niccolo Fontana més conegut com Tartaglia, va néixer a Brescia l'any 1.499, i va morir a Venècia el 13 de desembre de 1.557. Era fill d’un humil carter.
    Als dotze anys, va sobreviure miraculosament quan el 1512 els francesos van envair la seva vila provocant una monstruosa matança, però les horribles cicatrius que li van quedar a la cara l’obligaren a portar barba tota la seva vida adulta, a més, en ésser malmeses les seves cordes vocals, parlava amb dificultats i d’aquí el sobrenom de Tartaglia, que vol dir tartamut o quec en italià.
    Va estar el primer matemàtic en idear un procediment general de resolució d’equacions de tercer grau, mantenint en secret el seus mètodes.
    Cardano, un altre gran matemàtic italià de l’època, el va enganyar sota la promesa de mantenir-ho en secret, però finalment, i faltant a la seva paraula d’honor, els publicà a la seva obra Ars Magna.
    El 1537 va publicar el seu primer llibre sobre teoria balística.

    · Blaise Pascal va néixer a Clermont el dia 19 d'agost de 1623.
    Era fill d’un insigne magistrat i estudiós de problemes físics i matemàtics, va rebre la seva primera formació del seu pare. El 1631 es traslladen a París i freqüentaren el cercle d’intel·lectuals organitzat per Mersenne. Aviat es va distingir per les seves investigacions en geometria i física. Als 15 anys publicà "Assaig sobre les còniques".
    Sobre el 1646 es va adherir al jansenisme, fet que marca per a ell, el començament de les seves preocupacions per l’estudi del home, però sense abandonar el camp científic. Va desenvolupar la teoria de les combinacions, creà les bases del càlcul de probabilitats, i va estudiar la cicloide.
    En física, va publicar l’obra “Nous experiments en torn al buit” (1647) i va elˇlaborar el principi que porta el seu nom i que diu: Tota pressió exercida sobre un líquid, es transmesa per igual a tots els punts de la seva massa i actua perpendicularment sobre las parets del recipient que el conté.
    Va publicar un tractat sobre el tema que ens ocupa "Triangle aritmètic" (1654)
    L’any 1654 sent una profunda religiositat que marcarà la resta de la seva existència i s’uneix al grup de los solitaris de Port-Royal, un grup laic que vivia dedicat a la meditació.
    El 1656 escriu, en contra de l’ortodòxia, les seves cartes “Provinciales” que foren condemnades per l’Església.
    El 1658 publica la seva obra pòstuma “Pensaments”.
    Minvada la seva salut per una llarga malaltia va morir el 19 d'agost de 1662 a París, just el dia del seu 39è aniversari, reconciliat amb l’Església.

    · Yang Hui era un oficial menor xinès que va escriure dos llibres, datats al 1261 i 1275.
    En ells, utilitza les fraccions decimals (molt abans que a Occident), també apareix documentat el triangle aritmètic.
    La referència més antiga al triangle aritmètic es atribuïda a Omar Khayyam, un poeta, matemàtic i astrònom persa que, probablement, va precedir Yang Hui, però no es té certesa de la data exacta de la seva vida.

CARACTERÍSTIQUES i PROPIETATS DEL TRIANGLE ARITMÈTIC

    Com molt de vosaltres ja sabreu, aquest triangle es genera a partir de situar el número 1 al seu extrem superior, a partir d’aquí les successives files es construeixen col·locant un 1 a cada cantonada i la resta de caselles és igual a la suma dels dos nombres que té al damunt –observeu la figura- en una infinita sèrie d’uns laterals i de sumatoris de caselles que produeixen un incessant augment dels nombres que el composen.
   Doncs bé, aquesta figura, que podria semblar pels neòfits un simple entreteniment de càlcul, amaga una diversitat de propietats i curiositats tan gran que el converteixen en un petit univers matemàtic en sí mateix i una eina d’immensa utilitat en el camp numèric, etc.
    Els matemàtics de totes les èpoques, des del seu descobriment, han posat els seus ulls en ell i han buscat tota mena de sorprenents relacions, utilitats i recursos.
    I a mi, que també m’ha encisat sempre aquest triangle, m’ha portat a fer una petita investigació sobre ell, fruit de la qual he trobat algunes cosetes interessants, apart de les habitualment estudiades.

   Començaré per parts, i aniré enumerant i explicant les seves propietats més característiques:
    - El número 1 de l’extrem superior del triangle es considera com la fila zero.

    - Cada número es genera a partir de la suma dels dos nombres que té a sobre, com ja he dit.
    Així, per exemple, els dos uns de la fila 1 sumats formen el 2 central de la segona fila.
    La tercera fila es forma a partir del 1 + 2 = 3  i  2 + 1 = 3. La quarta és 1 + 3 = 4, 3 + 3 = 6, etc.

    - Totes les files mostren una estructura simètrica, les de ordre parell tenen un número central únic, les de ordre senar tenen dos nombres idèntics al centre. La suma de cada semifila imparell és, òbviament, igual.

    - La suma dels nombres de cada fila és igual a 2 elevat al número de la fila.
    La quarta fila, per exemple: 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 24. La sisena 1 + 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 = 64 = 26

    - Cada fila expressa les successives potències del número 11, les quatre primeres de forma clara, i a partir de la cinquena fila, si una casella està formada per més d'una xifra, hem de fer una senzilla suma portant-se alguna xifra. Exemples:

110 = 1, 111 = 11, 112 = 121, 113 = 1.331, 114 = 14.641
    Ara comencen els canvis: 115seria 15(10)(10)51, però fem la suma portant i obtenim: 115 = 161.051
116 = 16(15)(20)(15)61 => 116 = 1.771.561, etc.

    - Si ens situem a les files corresponents als nombres primers observarem que es formen triangles invertits amb els seus múltiples seguint un patró infinit i meravellós que he intentat reflectir en aquesta il·lustració.

    El nombre 11 per molt que no està complet en el gràfic us garanteixo que també el forma i així els successius nombres primers.
    Es ben curiós que aquest patró només es presenti en els nombres primers i no succeeixi amb la resta de nombres, observeu com falla amb el nombres parells o amb el 9, el 15, etc.
    Podríeu donar una raó o demostració per aquesta propietat.  (Demostració)
    - La suma dels nombres units per línies roges, i situats a salt de cavall, formen la coneguda sèrie de Fibonacci.
    Vegem-ho: 1, 1, 1 + 1 = 2, 2 + 1 = 3, 1 + 3 + 1 = 5, 3 + 4 + 1 = 8, 1 + 6 + 5 + 1 = 13, 4 + 10 + 6 + 1 = 21, etc.

    - Cada fila determina els coeficients que s’obtenen en desenvolupar les successives potències del binomi:

(a + b)n
        Per exemple, la segona fila està composta per les xifres 1, 2, 1 i aquests són, precisament, els coeficients del desenvolupament de:    (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
        La fila 3 està formada pels valors 1, 3, 3, 1, que determinen, per tant, els coeficients del desenvolupament de:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
        Generalitzant el desenvolupament del binomi:
(a + b)n = k0an + k1an-1b +  k2an-2b2 + k3an-3b3 + ... + kn-1abn-1 + knbn
        kn són els coeficients que trobem en el triangle. De fet, k0 = kn = 1, k1 = kn-1 = n

    - Cada terme del triangle es pot expressar com el resultat del número combinatori:

        Nombre de combinacions possibles d’un conjunt de n elements agafats en grups de m elements.
        (n! es llegeix "n factorial" i es calcula: n! = n·(n - 1)·(n - 2)·... ·2·1.  (per exemple,  5! = 5·4·3·2·1 = 120)
        En el triangle aritmètic n és, també, el número de la fila i m el número de la columna.
        Per això els nombres del triangle reben també el nom de nombres combinatoris.
        Per exemple, la tercera fila està formada pels nombres combinatoris: C3,0 = 1 ,C3,1 = 3, C3,2 = 3, C3,3 = 1
        A la quarta fila trobem: C4,0 = 1 ,C4,1 = 4, C4,2 = 6, C4,3 = 4, C4,4 = 1, etc.
        El número combinatori Cn,m  representa el nombre de grups diferents de m elements que es poden formar a partir de n objectes, combinacions de n elements agafats de m en m.
        Per exemple, si volem calcular quants grups de 4 membres es poden formar dintre d’un conjunt de 10 persones, tenim que el resultat és C10,4; combinacions de 10 elements agafats de 4 en 4.
        Això es pot calcular amb l’algoritme anterior o bé cercant al triangle aritmètic: fila 10, terme 4, on trobem el valor 210 que és el resultat exacte.

Analitzaré ara les diagonals formades des de la part superior (amb colors a la il·lustració).


    - La segona diagonal, situada al costat de la diagonal formada pels uns exteriors, conté l'evident successió de nombres naturals.

    - La tercera diagonal, acolorida en groc, determina la sèrie de nombres triangulars:

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, etc.
        L’algoritme que genera aquests nombres triangulars és: an  = n · (n + 1) / 2
        La sèrie dels nombres triangulars presenta moltes curiositats o propietats interessants, com:
        · La suma de dos termes consecutius an  i  an-1 d’aquesta sèrie és igual al quadrat del número n.
          Per ex.: 3 + 1 = 4, 6 + 3 = 9, 10 + 6 = 16, etc.

          De fet, demostra-ho és bastant senzill:

(n + 1) · n / 2 + n · (n - 1) / 2 = (n2 + n + n2 - n) / 2 = 2n2 / 2 = n2
        · La resta de dos termes consecutius an  i  an-1 de la sèrie és igual al propi número n.
          Per exemple: 3 - 1 = 2, 6 - 3 = 3, 10 - 6 = 4, etc. De manera anàloga a l’anterior demostració tenim que:
(n + 1) · n / 2 - n · (n - 1) / 2 = (n2 + n - n2 + n) / 2 = 2n / 2 = n
        · La diferència dels quadrats de dos termes consecutius an2  i  an-12 d’aquesta sèrie és igual al cub del número n. Per exemple: 32 - 12 = 8 = 23, 62 - 32 = 27 = 33, 212 - 152 = 216 = 63, etc.
[(n + 1) ·n]2 / 22 – [n·(n - 1)]2 / 22 = (n4 + 2n3 + n2 – n4 + 2n3- n2) / 4 = 4n3 / 4 = n3

    És a dir, també els nombres cúbics apareixen en el triangle aritmètic si sabem buscar-los.

      Si prenem els nombres d'aquesta tercera diagonal de forma alterna, apareixen els nombres hexamòrfics:

1, 6, 15, 28, 45, 66, ...

    - A la quarta diagonal, acolorida en verd i formada per la sèrie: 1, 4, 10, 20, 35, etc., si restem els nombres fent salts dobles (amb l'antepenúltim) apareix la sèrie de nombres quadrats, és a dir:

1 - 0 = 1, 4 - 0 = 4, 10 - 1 = 9, 20 - 4 = 16, 35 - 10 = 25, 56 - 20 = 36, 84 - 35 = 49, 120 - 56 = 64, etc.
    Això es pot demostrar sense gaires dificultats. (Demostració quadrats)
    També aquesta diagonal és la sèrie dels nombres tetramòrfics.

    - A la cinquena diagonal, acolorida en vermell i composta per la sèrie: 1, 5, 15, 35, 70, 126, etc., si restem els nombres fent salts triples apareix la suma del quadrats màgics d'ordre igual al lloc que ocupa el número a la sèrie, és a dir:
    15 - 0 = 15 (ordre 3, 3r núm. de la sèrie),  35 - 1 = 34(ordre 4, 4rt núm.), 70 - 5 = 65(ordre 5, 5è núm.)

126 - 15 = 111(ordre 6, 6è núm.),  210 - 35 = 175(ordre 7, 7è núm.),  330 - 70 = 260(ordre 8, 8è núm.), etc.
    Si us interessa podeu veure la seva demostració, però prefereixo situar-la apart per no cansar-vos gaire.
(Possible novetat en el triangle aritmètic)

    - S’han estudiat a més altres de propietats numèriques del triangle, criteris de divisibilitat, algoritmes per a calcular els residus de les divisions, etc.

    Analitzaré ara algunes relacions que existeixen entre els nombres de les columnes centrals del triangle
aritmètic, el que jo denomino la columna vertebral de l’esmentat triangle, i en la que he trobat dues propietats
molt importants:
    - Si dividim la suma de cada fila pel valor central, en el cas de les files d'ordre parell, o per un dels dos nombres centrals, en el cas de les files d'ordre senar, obtenim valors que tendeixen a:

    La suma de cada fila, com ja hem vist, és igual a 2n, mentre que, en forma de nombres combinatoris, el nombre central de cada fila és igual a n sobre n / 2.
    Sí, increïblement ens trobem amb el número p present en el triangle aritmètic, a partir d'una simple divisió de dos valors enters com són la suma de cada fila i la xifra central. Meravelles insondables de les matemàtiques!!

    - Si ens fixem només en els valors centrals de les files d'ordre parell i fem les successives divisions entre cada terme i el seu anterior, començant des de l’extrem superior, observarem que aquests quocients augmenten progressivament i tendeixen a un valor finit.
    Doncs bé, calculant el límit quan l’ordre de les files tendeix a infinit obtenim que la raó tendeix a 4.
    Si us interessa us ofereixo la demostració d'aquesta propietat.
(Possible novetat en el triangle aritmètic)
    Si analitzem aquests resultat obtingut veurem que és molt lògic que tendeixi a 4.
    Les files d'ordre imparell tenen dos valors centrals idèntics que, per tant, generen un valor doble que és, precisament, el número central de les files d'ordre parell. Aquest és sempre més gran que els seus dos veïns, però que quan avancem cap a les files d’ordre infinit, els valors centrals tendeixen a igualar-se donant lloc a un augment progressiu de les divisions.
    Si el salt de les files d’ordre senar a parell té per raó 2, les altres també tendeixen a 2 i, llavors, la raó del salt entre dues files parells consecutives tendeix a 2 per 2, o sigui, 4.

NOMBRES TRIANGULARS

    Els nombres triangulars es generen geomètricament formant triangles amb arestes que augmenten progressivament el seu nombre de punts, un exemple fàcil d'imaginar és formar triangles amb monedes o amb boles situades una sobre de l'altre.
    Així necessitaríem 1 bola per formar un triangle d’una sola fila, 3 per un de dues files, 6 per un de tres files, 10 per un de quatre, etc.
    L’algoritme que genera aquests nombres triangulars és: an  = n · (n + 1) / 2
    Els Pitagòrics adoraven els nombres triangulars, fins i tot, antigament tenien un cert valor místic.
    Tenen moltes i molt curioses propietats, vegem-ne unes quantes abans de tornar al tema:
        · Cada número al quadrat és igual a vuit vegades un número triangular més 1.
        · Tot número triangular es pot expressar com la suma de tres nombres triangulars. (Gauss)
        · És possible trobar una infinitud de nombres triangulars que multiplicats entre sí, el seu resultat
        sigui un número al quadrat., etc.

(tornar)


NOMBRES HEXAMÒRFICS o HEXAGONALS

    Són els nombres generats, geomètricament, al formar hexàgons continguts progressivament uns a dintre dels altres. El nombre de punts necessaris per formar-los són els nombres hexamòrfics.
    L’algoritme que permet calcular-los és:  H(n) = n · (2n - 1)
    La sèrie obtinguda és: 1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, etc.
    Imaginem un hexàgon de 6 punts, un per aresta, a dins d’un més gran de 2 punts per aresta (comparteixen alguns punts en comú) contingut a l’interior d’un de 3 punts per aresta, etc.

(tornar)


SÈRIE DE FIBONACCI

    Leonardo de Pisa, fill de Bonacci, i més conegut per Fibonacci, matemàtic del segle XIII va publicar la sèrie numèrica que porta el seu nom i que, començant per 1, 1, es genera sumant els dos nombres anteriors de la sèrie:

1 + 1 = 2, 2 + 1 = 3, 2 + 3 = 5, 3 + 5 = 8, 5 + 8 = 13, etc.

Aquests són els primers vint-i-un termes de la sèrie de Fibonacci:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4081, 6665, 10746

FIBONACCI: LA SČRIE ENCANTADA

 

(tornar)



DEMOSTRACIONS

DEMOSTRACIÓ DELS TRIANGLES GENERATS PER NOMBRES PRIMERS

    Si utilitzem l'expressió general de les diverses xifres del triangle aritmètic en funció dels nombres combinatoris veurem més clara aquesta qüestió.
    Cada terme del triangle es pot expressar com el resultat del número combinatori:

    Nombre de combinacions possibles d’un conjunt de n elements agafats en grups de m elements. En el triangle aritmètic n és, també, el número de la fila i m el número de la columna.
    Quan parlem de les files dels nombres primers, la n representa aquesta xifra i sabem, en aquest cas, que no és divisible per cap factor del denominador, (només per n i per 1).
    Tenint en compte que el resultat dels nombres combinatoris és sempre un número natural, deduirem que el denominador (m – n)! · m! ha de ser divisor de (n - 1)!, donat que de n no pot ser-ho, per tractar-se d’un número primer, per tots els valors de m , és a dir tota la fila completa.
    Això implica que (n - 1)! / (m – n)! · m! = p  ( on p és un valor enter necessàriament)
    Per tant, i donat que n! = n(n - 1)!, obtenim que n! / (m – n)! · m! = p·n
    És a dir, tots els nombres d’una fila n, on n és un número primer, són múltiples d’aquest número primer. I tots el valors inferiors del triangle generats per la suma de dos múltiples de n també ho seran, la qual cosa genera el triangle invertit dels nombres primers dintre del triangle.

(tornar)

DEMOSTRACIÓ DE LA SÈRIE DE NOMBRES AL QUADRAT DE LA QUARTA DIAGONAL

    Per  fer aquesta demostració expressaré els valors de la diagonal en forma de nombres combinatoris (n sobre m), la qual cosa em permetrà operar i simplificar ràpidament.
    Observem que en aquesta diagonal per a cada valor n, tenim que m = n – 3, per exemple,
el 4 és n = 4, m = 1, el 10 és n = 5, m = 2, o el 20 és n = 6, m = 3, etc.
    Si restem dos termes d'aquesta diagonal separats per dos salts i expressats en forma de nombres combinatoris, obtenim:


Operant el numerador queda: nˇ(n2 + 3n + 2) – [nˇ(n2 - 3n + 2)] = n · 6n = 6n2
Donat que 3! = 6, llavors queda 6n2 / 6 = n2
    És a dir, restant a un valor de la diagonal l’antepenúltim, queda un número al quadrat com es volia demostrar.

(tornar)

DEMOSTRACIÓ DE L'APARICIÓ DE LA SUMA DELS QUADRATS MÀGICS
A LA CINQUENA DIAGONAL DEL TRIANGLE ARITMÈTIC

    Com hem vist en el capítol sobre els quadrats mŕgics, l’algoritme per obtenir la suma mŕgica S(x) de files, columnes i diagonals d’un quadrat mŕgic d’ordre n, compost per n2 nombres naturals, és:

S(x) =  n·(n2 + 1) / 2

    Per  fer aquesta demostració expressaré els valors de la diagonal en forma de nombres combinatoris (n sobre m), la qual cosa em permetrà operar i simplificar ràpidament.
    Observem que en aquesta diagonal per cada valor n, tenim que m = n – 4, per exemple, el 5 és n = 5, m = 1, el 15 és n = 6, m = 2, o el 35 és n = 7, m = 3, etc.
    Si restem dos termes d'aquesta diagonal separats per tres llocs o salts obtindrem:


Operant el numerador: nˇ(n3 + 6n2 + 11n + 6) – [n(n3 - 6n2 + 11n - 6)] = n(12n2 + 12)
Com que 4! = 24, el resultat del quocient serà:
n·(n2 + 1) / 2
Resultat que coincideix amb l’algoritme de la suma màgica.

(tornar)

DEMOSTRACIÓ DEL LÍMIT DE LA RELACIÓ ENTRE VALORS CENTRALS

    Els valors centrals d'un fila n qualsevol ocupen el lloc n / 2, per a simplificar la demostració assignaré al número de fila el valor 2n i, per tant, al terme central la posició n.
    La raó entre els dos nombres centrals de dues files d’ordre parell consecutives, en forma de nombres combinatoris, és:

C2n,n : C2n-2,n-1 = (2n! / n!2) : [(2n – 2)! / (n - 1)!2] = 2n! · (n – 1)!2 / n!2 · (2n – 2)! =
    Simplificant els factorials obtenim:
= 2n · (2n – 1) / n2  = 2 · (2n – 1) / n
    Finalment aplicant el límit quan n tendeix a infinit, trobem que:

(índex matemeravelles)

Tornar a la pŕgina principal

Autor: Blai Figueras Álvarez

E-mail: mentaludix@hotmail.com