”¿Sabías que esta carretera tiene exactamente 365 curvas?"
Yo conozco un
buen número de casos.
¡Parece
como si todas las carreteras sinuosas de este país tuviesen
siempre 365 curvas!
Así
que, llegado a este punto, permitidme una breve definición del número 365:
"¡Paradigma de los años, de las carreteras sinuosas y de los cuadrados!"
¿Cuántos años de
este tercer milenio tendrán exactamente 365 dies?
102+ 112 + 122 = 132 + 142 = 365
(n 2)2 + (n 1)2 + n2 = (n + 1)2 + (n + 2)2
Deducimos, por tanto, que:
n2 4n + 4 + n2 2n + 1 + n2 = n2 + 2n + 1 + n2 + 4n + 4
Agrupemos los términos semejantes y:
n2 12n = 0 => n · (n 12) = 0
las dos
soluciones posibles son: n = 0 (que no nos sirve) y
n = 12
Los
únicos números que lo cumplen son:
102, 112,
122, 132, 142
que sumados dan 365.
365 = 5 · 73= (12 + 22) · (32 + 82)
Sucesiones piramidales y otras relaciones remarcables
n3 = n·n2 = n·2n2/2
Si observamos
estos sumatorios veremos que en los números impares el término central es el
número al cuadrado (en el caso de 33 => 9 = 32, en el
caso de 53 => 25 = 52, etc.).
El primer término siempre es a1= n2 - n + 1
Ej. (25 - 5 + 1 = 21)
y el último es an= n2 + n - 1
Ej. (25 + 5 - 1 = 29)
Entonces podemos expresar 2n2 como
(n2+ n - 1) + (n2 -
n + 1) sumando y restando n - 1
n·2n2/2 = n·[(n2 + n - 1) + (n2 - n + 1)] / 2 = n·(a1+ an) / 2
Esta expresión
justamente es el sumatorio de números impares expuesto.
No parece que para otras potencias exista algo similar...
33+ 43 + 53 = 63
Efectivamente: 27 + 64 + 125 = 256
¡La suma de los cubos de los n primeros números naturales es igual a su suma elevada al cuadrado!
¡Un teorema mítico!
a2 + b2 = c2
pero para las demás potencias, es decir, hallar tres números tales que la suma de los dos primeros elevados a una determinada potencia tenga por resultado el tercero elevado a esta potencia, por ejemplo:
a3 + b3 = c3
o en general:
an + bn = cn
pues bien, ya en el
siglo XII el matemático árabe Al-Jayyam había comprobado que no existía
ninguna solución para la potencia 3, en el conjunto de los enteros.
Y, posteriormente, el gran matemático Pierre Fermat a mediados del siglo
XVII formuló su famosa conjetura en la que afirmaba que
an + bn = cn
(para n > 2) no tenía solución, en el conjunto de los números enteros.
Esta ha sido una de las grandes cuestiones sin resolver, casi un mito, que
ha traído de cabeza a los mejores matemáticos de las tres últimas centurias.
La historia es muy sugerente:
Resulta que Fermat escribió al margen de una obra de Diofanto, en la cual
aparecía el Teorema de Pitágoras, que an
+ bn = cn (para n > 2) no tenía solución y
que él había encontrado una demostración maravillosa para este teorema, pero
que no tenía suficiente espacio para desarrollarla, también lo manifestó en
alguna de sus cartas a amigos matemáticos de la época, pero nunca se halló tal
demostración...
Algunos matemáticos posteriores la demostraron para algunas potencias,
como Euler que lo hizo para las potencias 3 y 4, etc.
Para acabar de
engrandecer el mito se dice que, en cierta ocasión, había sido hallada su
demostración, pero que ésta, inexplicablemente, se perdió.
Así se llegó al siglo XX, habiéndose hallado demostraciones para potencias
inferiores a 100, pero nunca se llegó a una demostración general de esta
conjetura. Incluso se comenzaba a dudar que fuese posible, de hecho se ofrecía
un premio millonario a quién la hallase, aunque el plazo expiraba en el año
2.007.
Pero la noticia saltó a finales del milenio: "¡El Teorema de Fermat ha
sido demostrado!"
A
finales de 1.994 se ratificó que la demostración del matemático británico
Andrew Wiles era correcta y válida.
No hace falta decir más ya que la red está llena de información sobre este
feliz acontecimiento...
¿Cuántos años de este tercer milenio tendrán exactamente 365 dies?
Pues serán exactamente 758 años de 365 días y, obviamente, 242
años de 366 días.
Si habéis pensado que 750 siento deciros que todavía regís vuestros destinos con
el "Calendario Juliano"
Según la reforma de este calendario establecida durante el reinado del Papa
Gregorio XIII en el año 1.582: "Los años acabados en 00
sólo
serán años bisiestos si son múltiples de 400",
por lo cual lo fueron el 1.600
y el reciente 2.000 ("¿Será bisiesto el año 2.000?" debate muy popular los meses
previos), en cambio no lo fueron ni el 1.700, ni el 1.800,
ni el 1.900.
Así que del nuevo milenio tendremos que sólo lo serán
el 2.400 y el 2.800 y por lo tanto, de los 250 posibles debemos restar 8.
¿Lo serán el año 3.000 y el 4.000?
Pues, ¡quizás en el año 4.000 tendremos una sorpresa!, he dicho "tendremos?..."
¡Viva el optimismo!
Si la queréis saber tendréis que escribirme E-milios, y cuando vea un poco de interés
os lo explicaré.
Autor: Blai Figueras Álvarez
E-mail: mentaludix@hotmail.com