INTRODUCCIÓN Y BIOGRAFÍAS DE LOS MATEMÁTICOS RELACIONADOS
Dentro de un ciclo de jornadas
matemáticas de una Universidad catalana se daba una conferencia
titulada "Las Matemáticas durante el Renacimiento", el ponente comenzó su exposición
diciendo:
- “U; u, u; u, ... *(en
catalán u = uno)
De pronto uno de los asistentes
exclama en voz suficientemente alta como para ser oído por la mesa:
- ¡Vaya, nos ha tocado un “tartajas”!
Entonces el ponente, con mucha calma,
retomó su conferencia:
- “Bien, como las iba diciendo, u; u u; u dos u; u tres tres u; ...
algunos de ustedes ya se habrán dado cuenta que no se trata de un “tartajas”
sino de Tartaglia, más concretamente del archiconocido triángulo de Tartaglia,
atribuido también a Pascal o, en países asiáticos, a Yang Hui. Sin duda, se trata de una de las
joyas de la matemática,
datado durante el Renacimiento en Europa, con el que quería comenzar esta exposición ...”
· Blaise Pascal nació en Clermont el día 19
de agosto de 1.623.
Era hijo de un insigne magistrado y estudioso
de problemas físicos y matemáticos, recibió de éste su primera
formación. En 1.631 se trasladaron a París y frecuentaron el círculo de intelectuales organizado por Mersenne. Pronto destacó por sus investigaciones en geometría y física.
A los 15 años publicó "Ensayo sobre las cónicas".
Sobre 1.646 se adhirió al jansenismo, hecho que marcó
para él, el comienzo de sus preocupaciones por
el estudio del hombre, pero sin abandonar el campo científico.
Desarrolló la teoría de las combinaciones, creó las bases del cálculo de probabilidades,
y estudió la cicloide.
En física, publicó la obra “Nuevos experimentos
entorno al vacío” (1.647) y elaboró el principio que lleva su nombre y que dice:
Toda presión ejercida sobre un líquido, se transmite
por igual a todos los puntos de su masa y actúa perpendicularmente sobre
las paredes del recipiente que lo contiene.
Publicó un tratado sobre el tema que nos
ocupa "Triángulo aritmético" (1.654)
En el año 1.654 siente una profunda religiosidad que
marcará el resto de su existencia y se une al grupo
de los solitarios de Port-Royal, un grupo laico que vivía dedicado a la
meditación.
En 1.656 escribe, en contra de la ortodoxia,
sus cartas “Provinciales” que fueron condenadas por la Iglesia.
En 1.658 publica su obra póstuma “Pensamientos”.
Debilitada su salud por una larga enfermedad murió el 19 de agosto de 1.662 en París, justo el día de su 39º
aniversario, reconciliado con la Iglesia.
· Yang Hui
era un oficial menor chino que escribió dos libros, datados en
1.261 y en 1.275.
En ellos, utiliza las fracciones
decimales (mucho antes que en Occidente), también aparece documentado el
triángulo aritmético.
La referencia más
antigua al triángulo aritmético es atribuida a Omar Khayyam, un
poeta, matemático y astrónomo persa que, probablemente, precedió a Yang Hui, pero no
se tiene certeza de la fecha exacta en que transcurrió su
vida.
Como muchos de vosotros ya sabréis, este triángulo se genera a partir de
colocar el número 1 en su extremo superior y,
a partir de aquí, las sucesivas filas se construyen colocando un 1 en cada
esquina, el resto de casillas es igual a la suma de los dos números que tiene
justo encima –observad la figura- en una infinita
serie de unos laterales y de sumatorios de casillas que producen un incesante
aumento de los números que lo componen.
Pues bien, esta figura, que podría parecer
para los neófitos un simple entretenimiento de cálculo, esconde una
diversidad de propiedades y curiosidades tan grande que lo convierten en
un pequeño universo matemático en sí mismo y una herramienta de inmensa
utilidad en el campo numérico, etc.
Los matemáticos de todas las épocas,
desde su descubrimiento, han puesto sus ojos en él y han buscado todo tipo de sorprendentes relaciones, utilidades y recursos.
Y a mí, que también me ha fascinado siempre
este triángulo, me ha llevado a hacer una pequeña investigación sobre
él, fruto de la cual he hallado algunos aspectos interesantes, aparte de
los habitualmente estudiados.
Comenzaré por partes, e iré enumerando
y explicando sus propiedades más características:
- El número 1 de l’extrem superior del
triángulo se considera como la fila cero.
- Cada número se genera a partir de la
suma de los dos números que tiene encima, como ya dije.
Así, por ejemplo, los dos unos de la fila
1 sumados forman el 2 central de la segunda fila.
La tercera fila se forma a partir del
1
+ 2 = 3 y 2
+ 1 = 3. La cuarta es 1
+ 3 = 4, 3 + 3 = 6, etc.
- Todas las filas muestran una estructura simétrica, las de orden par tienen un número central único, las de orden impar tienen dos números idénticos en el centro. La suma de cada semifila impar es, obviamente, igual.
- La suma de los números de cada fila es
igual a 2 elevado al número de la fila.
La cuarta fila, por ejemplo:
1
+ 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 24. La sexta
1
+ 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 = 64 = 26
- Cada fila expresa las sucesivas potencias del número 11, las cuatro primeras de forma clara, y a partir de la quinta fila, si una casilla está formada por más de una cifra, efectuamos una sencilla suma llevándonos alguna cifra. Ejemplos:
- Si nos situamos en las filas correspondientes a los números primeros observaremos que
se forman
triángulos invertidos con sus múltiplos siguiendo un patrón infinito y maravilloso que
he intentado reflejar en esta ilustración.
El número 11, aunque no está completo
en el gráfico, os garantizo que también lo forma y así los sucesivos
números primeros.
Es muy curioso que este patrón sólo se presente en los números primeros y,
en cambio, no suceda con el resto
de números, observad como falla con los números pares o con el 9, el 15,
etc.
Podríais hallar una razón o demostración para esta
propiedad. (Demostración)
- La suma de los números unidos por líneas
rojas, y situados a salto de caballo, forman la conocida serie
de Fibonacci.
Veámoslo: 1,
1, 1 + 1 = 2, 2 + 1 = 3, 1 + 3 + 1 = 5, 3 + 4 + 1 = 8, 1 + 6 + 5 + 1 =
13, 4 + 10 + 6 + 1 = 21, etc.
- Cada fila determina los coeficientes que se obtienen desarrollando las sucesivas potencias del binomio:
- Cada término del triángulo se puede expresar como el resultado del número combinatorio:
Analizaré ahora las diagonales formadas desde la parte superior (con colores en la ilustración).
- La segunda diagonal, situada al lado de la
diagonal formada por los unos exteriores, contiene la evidente sucesión
de números naturales.
- La tercera diagonal, coloreada en amarillo, determina la serie de números triangulares:
De hecho, demostrarlo es bastante sencillo:
Es decir, también los números cúbicos aparecen en el triángulo aritmético si sabemos buscarlos.
Si tomamos los números de esta tercera diagonal de forma alterna, aparecen los números hexamórficos:
- En la cuarta diagonal, coloreada en verde y formada por la serie: 1, 4, 10, 20, 35, etc., si restamos los números haciendo saltos dobles (con el antepenúltimo) aparece la serie de números cuadrados, o sea:
- En la quinta diagonal, coloreada en
rojo y compuesta por la serie:
1, 5, 15, 35, 70, 126, etc., si restamos los números efectuando saltos
triples aparece la suma del cuadrados mágicos
de orden igual al lugar que ocupa el número a la serie, es decir:
15
- 0 = 15 (orden
3, tercer nº de la serie),
35 - 1 = 34(orden
4, cuarto nº.), 70
- 5 = 65 (orden
5, quinto nº)
- Se han estudiado además otras propiedades numéricas del triángulo, criterios de divisibilidad, algoritmos para calcular los restos de las divisiones, etc.
Analizaré ahora algunas relaciones que existen
entre los números de las columnas centrales del triángulo aritmético, lo que
yo denomino la columna vertebral del mencionado triángulo, y en la que he
encontrado dos propiedades muy importantes:
- Si dividimos la suma de cada fila por el valor central, en el caso de las filas de orden par, o por uno de los dos números centrales, en el case de
las filas de orden impar, obtenemos valores que tienden a:
Los números triangulares se generan geométricamente formando triángulos
con aristas que aumenten progresivamente su número de puntos, un ejemplo
fácil de imaginar es formar triángulos con monedas o con bolas
situadas una encima de la otra.
Así necesitaríamos 1 bola para formar un triángulo de una sola
fila, 3 para uno de dos filas, 6 para uno de tres filas, 10 para uno de cuatro,
etc.
El algoritmo que genera estos números triangulares es: an
= n · (n + 1) / 2
Los Pitagóricos
adoraban
los números triangulares, incluso, antiguamente tenían un cierto valor místico.
Tienen muchas y muy curiosas propiedades, veamos varias antes de volver
al tema:
· Cada número al cuadrado es igual a ocho veces un
número triangular más 1.
· Todo número triangular se puede expresar como la suma de tres
números triangulares. (Gauss)
· Es posible hallar una infinitud de números triangulares que
multiplicados entre sí, su resultado
sea un número al cuadrado., etc.
Son los números
generados, geométricamente, al formar hexágonos contenidos progresivamente unos dentro
de los otros. El número de puntos necesarios para formarlos son los
números hexamórficos.
El algoritmo que permite calcularlos
es: H(n)
= n · (2n - 1)
La serie obtenida es: 1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120,
etc.
Imaginemos un hexágono
de 6 puntos, uno por arista, dentro de uno mayor de 2 puntos por arista
(comparten algunos puntos en común) contenido en el interior de uno
de 3 puntos por arista, etc.
Leonardo de Pisa, hijo de Bonacci, y más conocido por Fibonacci, matemático del siglo XIII publicó la serie numérica que lleva su nombre y que, comenzando por 1, 1, se genera sumando los dos números anteriores de la serie:
Estos son los primeros veintiún términos de la serie de Fibonacci:
1, 1, 2, 3, 5,
8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4081, 6665,
10746
DEMOSTRACIÓN de los TRIÁNGULOS GENERADOS por NÚMEROS PRIMOS
Si
utilizamos la expresión general de las diversas cifras del triángulo
aritmético en función de los números combinatorios veremos más clara esta cuestión.
Cada término del triángulo se
puede expresar como el resultado del número combinatorio:
DEMOSTRACIÓN DE LA SERIE DE NÚMEROS AL CUADRADO DE LA CUARTA DIAGONAL
Para hacer esta demostración expresaré los
valores de la diagonal en forma de números combinatorios (n sobre m),
la cual me permitirá operar y simplificar rápidamente.
Observamos que en esta diagonal para cada valor
n,
tenemos que m = n – 3, por ejemplo,
el 4 es n
= 4, m = 1, el 10 es n
= 5, m = 2, o el 20 es n
= 6, m = 3, etc.
Si restamos dos términos de esta diagonal separados
por dos saltos y expresados en forma de números combinatorios, obtenemos:
DEMOSTRACIÓN de la
APARICIÓN de la SUMA
de los CUADRADOS MÁGICOS
en la QUINTA DIAGONAL del TRIÁNGULO ARITMÉTICO
Como hemos visto en el capítulo sobre los cuadrados mágicos, el algoritmo para obtener la suma mágica S(x) de files, columnas y diagonales de un cuadrado mágico de orden n, compuesto por n2 números naturales, es:
Para hacer esta demostración expresaré los
valores de la diagonal en forma de números combinatorios (n sobre m),
la cual me permitirá operar y simplificar rápidamente.
Observemos que en esta diagonal para cada valor
n,
tenemos que m = n – 4, por ejemplo, el 5
es n = 5, m = 1, el 15
es n
= 6, m = 2, o el 35 es n
= 7, m = 3, etc.
Si restamos dos términos de esta diagonal separados
por tres lugares o saltos obtendremos:
DEMOSTRACIÓN DEL LÍMITE DE LA RELACIÓN ENTRE VALORES CENTRALES
Los valores centrales de un fila
n cualquiera
ocupen el lugar n / 2, para simplificar la demostración asignaré al número
de fila el valor 2n i, por tanto, al
término
central la posición n.
La razón entre los dos números centrales de dos filas
de orden par consecutivas, en forma de
números combinatorios,
es:
(volver al índice
matemaravillas)
E-mail: mentaludix@hotmail.com