Unidad 4 - Actividad 8

ACTIVIDAD 4.8
INTRODUCCIÓN A LAS BASES: LA BASE CANÓNICA

En la actividad 2.10 hemos visto qué quiere decir expresar un vector como combinación lineal de dos vectores y : encontrar dos escalares x e y que verifiquen = x+ y.
En esta actividad estudiaremos qué sucede si como vectores y escogemos los vectores (1,0) y (0,1). Estos dos vectores se acostumbran identificar con dos letras concretas, que son y , por lo tanto pondremos (1,0)= y (0,1)=.

Poner un vector =(u₁,u₂) como combinación lineal de los dos vectores y querrá decir encontrar dos escalares x e y que verifiquen = x+ y. Ahora bien, esto equivale a (u₁,u₂) = x(1,0)+y(0,1) y es bien fácil obtener x e y, basta con hacer x=u₁ e y=u₂. Es decir, cualquier vector =(u₁,u₂) se puede poner como combinación lineal de y escribiendo (u₁,u₂) = u₁ + u₂.
Los vectores =(1,0) y = (0,1) reciben el nombre de base canónica de los vectores del plano, y los escalares u₁ y u₂, componentes de =(u₁,u₂) en la base canónica.

Te preguntarás cómo es que a los componentes "habituales" de un vector ahora los llamamos componentes en la base canónica. Ten paciencia: la importancia de todo lo explicado la verás en la actividad siguiente, dónde veremos que pueden haber bases no canónicas y,componentes de un vector en una base no canónica.

ACTIVIDAD INTERACTIVA

a) Dibuja los siguientes vectores dados como combinación lineal de los vectores y de la base canónica:

= 7+ 5

= 6

= -+ 2

= - 5

= - 4 - 3

= 4

¿Cuáles son sus componentes en la base canónica?.

b) Dibuja los siguientes vectores dados por sus componentes en la base y :

= (4 , 6)

= (6 , 0)

= (-2 , 1)

= (0 , -3)

= (-3 , -4)

= (0 , 4)

¿Qué expresión tienen como combinación lineal de los vectores de la base canónica.
SOLUCIÓN