ACTIVIDAD 5.9
REENCONTRAMOS UN TEOREMA DE TALES DE MILETO

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Uno de los teoremas más antiguos que se conocen se atribuye a Tales (620-560 aC). No es el clásico teorema de Tales sobre la proporcionalidad de los segmentos interceptados por un haz de rectas paralelas, se trata de otro teorema que seguro que conoces: un ángulo inscrito en una semicircunferencia es siempre recto.

No sabemos exactamente que tipo de demostración hizo Tales de este teorema (ni siquiera si lo demostró o solamente lo enunció). Nosotros haremos una demostración utilizando el producto escalar. Concretamente, veremos que el producto escalar de los dos vectores y que forman este ángulo inscrito en la semicircunferencia es siempre cero; entonces podremos concluir que los dos vectores y son siempre perpendiculares.

La demostración es muy sencilla:
Descompongamos el vector en la suma =+, y el vector en la diferencia = -(ver la figura). Si hacemos entonces el producto ·, y utilizamos las propiedades del producto escalar, tenemos
·=(+)·(-)=·-·+·+·=2 -2 =||2 -||2=0

ACTIVIDAD INTERACTIVA

Tienes un triángulo PQR inscrito en una semicircunferencia de radio 10. Los dos vectoresyson perpendiculares ya que su producto escalar es cero. Puedes mover el punto R sobre la circunferencia.

1) Sitúa R en puntos de coordenadas enteras, como R(8, 6), R(6, 8) y R(0, 10), y comprueba que el producto escalar de los dos vectoresyes siempre cero (por tanto, son perpendiculares).

2) Sitúa después R en puntos de coordenadas no enteras y comprueba que este producto escalar es cero o un valor muy pequeño (debería ser cero, y si no lo es exactamente, es debido a los redondeos que hace el applet).
                                                   SOLUCIÓN

PROPUESTA DE TRABAJO


Utilizando productos escalares, demuestra que las dos diagonales de un rombo son perpendiculares.
Indicación: fíjate en la figura, pon las dos diagonales 1 y 2 como combinación lineal de los vectores y , calcula el producto escalar 1·2  y comprueba que vale cero.

¿Por qué esta demostración no puede aplicarse a un romboide?

FIN DE LA ACTIVIDAD 5.9
REENCONTRAMOS UN TEOREMA DE TALES DE MILETO

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