La cinta de Möbius

August Ferdinand Möbius va néixer a Schulpforta al 1790 i va morir a Leipzig al 1868.Aquest matemàtic i astrònom alemany  va ser director de l’observatori de Leipzig. Va col·laborar en la fundació de la topologia introduint diversos conceptes de gran interès per al desenvolupament de la geometria projectiva, en especial l’algebraica. Però el seu nom estarà sempre lligat a la superfície d’una sola cara, coneguda com a cinta o banda de Möbius, de la qual en va ser descobridor.

La Cinta de Möbius és especialment interessant, dintre del camp dels entreteniments matemàtics, perquè desafia la nostra intuïció i ens sorprèn constantment amb resultats gairebé màgics quan poques vegades esperem.

 
Introducció

Agafem una tira de paper ABCD d’uns 30 cm de llarg i uns 2 cm d’ample i enganxem els extrems com indica la figura, unint la vora AB amb CD (el vèrtex A amb el C i el B amb el D)
Cinta normal

Aquesta cinta té dues cares: la interior i l’exterior. Podem contestar algunes preguntes trivials

  • Quants color et caldrien per pintar-la si cada cara l’hem de fer d’un color diferent?

  • Quantes vores té?

  • Què passarà si tallem la cinta com indica la figura?

Tall de la cinta normal

El que hem vist fins ara no té cap misteri. Observem què passa si abans d’enganxar la tira de paper li fem un gir de 180º a un dels extrems tal com s’indica a la figura, enganxant les vores AB i CD però unint els vèrtexs A amb D i B amb C
Tira de paper Cinta de Möbius

Tornem-nos a fer preguntes:

  • Què observem si intentem  pintar la part interior?

  • Quantes cares té aquesta cinta? 

  • I quantes vores?

Aquesta cinta tan curiosa d’una sola cara i una sola vora es coneix com a Cinta o Banda de Möbius. Hi ha enginyers que posen les cintes transportadores de les màquines d’aquesta manera perquè el desgast sigui el més igual possible a totes dues “cares”.