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Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera

Para definir las razones trigonométricas de un ángulo mayor de 90º no podemos hacerlo a través de un triángulo rectángulo ya que no pude tener un ángulo mayor de 90º.

Vamos a definir de nuevo las razones trigonométricas de un ángulo de manera que sirva para cualquier ángulo y sea equivalente a la definición anterior para ángulos entre 0º y 90º.

Dibujemos una circunferencia de radio 1 en un sistema de ejes de coordenadas cartesianas. Cada punto de la circunferencia representa un ángulo.

 

Definimos:

Coseno(a) = x

Seno(a) = y

Tangente(a) = y/x

 

Para ángulos entre 0º y 90º esta definición es equivalente a la anterior ya que la hipotenusa vale 1 el cateto contiguo es x y el cateto opuesto es y.



Observaciones:

  1. Ahora el sigo de las razones trigonométricas no es siempre el mismo ya que dependiendo del cuadrante del ángulo la x y la y pueden tener signo positivo o negativo:

    2. Primer cuadrante (0º-90)

    Coseno + (positivo)

    Seno +

    Tangente +

    Segundo cuadrante (90º-180º)

    Coseno - (negativo)

    Seno +

    Tangente – (negativo dividido entre positivo)

    Tercer cuadrante (180º-270º)

    Coseno -

    Seno -

    Tangente + (negativo dividido entre negativo)

    Cuarto cuadrante (180º-270º)

    Coseno +

    Seno -

    Tangente -

     

    Para ayudar a entender mejor esto, podemos experimentar con el programa:

    "Razones trigonométricas.exe"

     

     

  2. Dicho programa nos permite mostrar y calcular las razones trigonométricas de ángulos entre 0º y 360 y también de los ángulos negativos entre 0º y –360º. Esto nos hace ver que las razones trigonométricas se pueden definir para cualquier ángulo.

Así si quisiéramos saber las razones trigonométricas de 450º, ángulo superior a 360º vemos que equivale a una vuelta (360º) más 90º. Así decimos que las razones trigonométricas de 450º son las mismas que las de 90º.

Ejercicios

Ejercicio 5 - Mediante le programa anterior calcula lo siguiente:

Sen(17º) Respuesta 0’29

Cos(100º) Respuesta –0’17

Tan(137º) Respuesta –0’93

Cos(213º) Respuesta –0’84

Sen(330º) Respuesta –0’5

Cos(-17º) Respuesta 0’96

 

 

Ejercicio 6 - Mediante le programa anterior, o una calculadora, calcula las razones trigonométricas de 0º, 90º, 180º, 270º, 360º (En radianes 0, p/2, p, 3p/2, 2p)

Respuesta:

Sen(0º) = 0 Cos(0º) = 1 Tan(0º) = 0

Sen(90º) = 1 Cos(90º) = 0 Tan(90º) = No existe

Sen(180º) = 0 Cos(180º) = -1 Tan(180º) = 0

Sen(270º) = -1 Cos(270º) = 0 Tan(270º) = No existe

Sen(360º) = 0 Cos(360º) = 1 Tan(360º) = 0 (Igual que las de 0º)

 

 

Ejercicio 7 - Mediante le programa anterior, o una calculadora, calcula las razones trigonométricas de 15º, 165º, 195º, 345º, ¿Qué observas?

Respuesta:

Que todas las razones trigonométricas son iguales en valor absoluto.

Sen(15º) = 0’26 Sen(165º) = 0’26 Sen(195) = -0’26 Sen(345º) = -0’26

Cosen(15º) = 0’97 Cosen (165º) = -0’97 Cosen (195) = -0’97 Cosen (345º) = 0’97

Tan(15º) = 0’27 Tan (165º) = -0’27 Tan (195) = 0’27 Tan (345º) = -0’27

Ejercicio 8 - En el ejercicio anterior has podido comprobar que dado un ángulo del primer cuadrante existe un ángulo en cada uno de los otros cuadrantes que tiene las mismas razones trigonométricas en valor absoluto. Sabrías decir cuales son los ángulos del 2º, 3º y 4º cuadrante con las mismas razones trigonométricas en valor absoluto que 20º.

Respuesta: 160º 200º 340º

 

 

Ejercicio 9 - Sabrías decir cuales son los ángulos del 1º, 3º y 4º cuadrante con las mismas razones trigonométricas en valor absoluto que 145º.

Respuesta: 35º 215º 325º

 

Ejercicio 10 - Con ayuda de una calculadora calcula las razones trigonométricas de 15º, 375º, 735º, 1095º

a)¿Qué observas?

Respuesta: Son iguales

b) Sabrías decir cual es el siguiente ángulo que seguiría a esta sucesión.

Respuesta: 1455º, debe irse añadiendo 360º

b) Contesta las anteriores preguntas para –345º, -705º, -1065º.

Respuesta: Las mismas razones que 15º, el siguiente ángulo seria –1425º debe irse estando 360º

 

Ejercicio 11 - ¿Cuál seria la sucesión de ángulos que tienen las mismas razones que 100º?

Respuesta: 460º, 820º, 1180º, 1540º... i –260º, -620º, -980º, -1340º...

 

Observación:

Si a un ángulo a le añadimos 360º (1 vuelta) o 720º (2 vueltas) o 1080º (3 vueltas)... o le añadimos -360º (-1 vuelta) o -720º (-2 vueltas) o -1080º (-3 vueltas)... Los ángulos resultantes tienen las mismas razones trigonométricas que el ángulo inicial a.