Gráfica de la función 1/f(x), o función recíproca

La función recíproca de f(x) es 1/f(x). Por ejemplo, si A(x)=log(x), la función recíproca de A es B(x)=1/log(x).

Digo esto porque no hay que confundir la función recíproca con la función inversa, que no tiene nada que ver. La confusión es corriente porque muchas veces se escribe A^-1(x) como abreviatura de la función inversa de A(x), y el signo A^-1 también significa 1/A.

Si ya sabemos hacer la gráfica de A(x) es fácil hacernos una idea de cómo será la gràfica de B(x)=1/A(x). El truco para acordarse de cómo se hace es dibujar el dibujo de la izquierda, que explica lo que pasa cuando cambiamos x por 1/x. El 2 se convierte en 1/2 y el 1/2 se convierte en 2.

Esto significa que todo lo que en la gráfica de A está por encima del uno, en la gráfica de 1/A quedará embutido entre el cero y el uno.

Este cambio de y por 1/y no es una reflexión, pero se parece bastante, porque todo lo que está por encima del cero queda cabeza abajo.

Por debajo del eje horizontal tenemos otra reflexión parecida. Lo que está entre 0 y -1 pasa debajo del -1.

La transformación deja el 1 y el -1 en el mismo sitio en que están.

El cero es un caso especial. En los puntos en que A(x) es cero, B(x) no existe.
Ejemplo:

Si nos piden la gráfica de 1/(1/2+x²). Lo primero será dibujar mal y deprisa la gráfica de A(x)=0,5+x², que es fácil. Quedará más o menos así:

Aquí toda la gráfica de A está por encima del eje horizontal, la gráfica de la función B=1/A estará toda ella por encima del eje horizontal. Sólo que B estará lejos del eje cuando A esté cerca, y recíprocamente.

Por lo mismo, en las partes donde la A baja (la gráfica de A tiene pendiente negativa), la B subirá.

Así que la B a la izquierda del cero sube y a la derecha del cero baja.
Cuando la x va a la derecha, la A se dispara hacia el infinito y B=1/A se acercará a cero. Cuando la x se acerca al cero, la A se acerca hacia 1/2 y por lo tanto la B se acercará a 2. Con esto ya tenemos bastante información para hacer a mano un dibujo malo, que señale que la B primero sube, luego llega hasta el 2, y luego baja.

Aquí podemos ver el mismo dibujo hecho a máquina.

Las dos curvas sólo se cruzan en los puntos en que A(x)=1, es decir, en los dos puntos en que 1/2+x²=1.

Si la A(x) es siempre negativa, la B(x) también será siempre negativa.

Igual que antes, B baja cuando A sube.

Es un poco más difícil dibujar la gráfica de 1/A cuando la gráfica de la A pasa cruza el eje horizontal. En los puntos en que A(x)=0 la función B no está definida. En estos casos se dibuja la gráfica a trozos. En los trozos en que A(x) es positiva pasa lo mismo que en el caso (1) de antes y donde es negativa lo mismo que en el caso (2), véase: