Les demostracions algebràiques del Teorema atribuides a Pitàgores :

La tradició, estableix que pitàgores havia donat una prova empírica del teorema amb base en les figures seguents :

Però molts historiadors coincideixen en que la demostració de Pitàgores es basaria en la seva propia teoria de les proporcions ( imperfecta per aplicar-se només a quantitats conmensurables ), de manera que la prova de Pitàgores podria haver estat alguna de les dos següents :

Èssent ABC un triangle rectangle, amb l’angle recte en A i èssent AD perpendicular al costat BC. SSegons els Elements VI.8 els triangles DBA i DAC són tots dos semblants amb el triangle ABC.  

• Primera prova :

De la semblança dels triangles ABC, DBA, DAC resulta :

BA = BC ,  AC = BC       Elements VI.4

BD    BA    CD    AC

D’on sobtenen les expressions de anomenat catet :

Ba² = bd · bc, ac² = cd · bc

Sumant sobté :

BA² + AC² = ( BD + CD ) · BC = BC · BC = BC²

És a dir :

BA² + AC² = BC²

• Segona prova :

De la semblança dels triangles ABC, DBA i DAC resulta, segons els Elements VI.19 (  “ La raó entre les àrees d’un triangle semblants será igual al quadrat de la raó de semblança ” ) :

DBA = DAC = ABC

 AB²     AC²     BC²

Però de les propietats de la suma de proporcions ( Elements V.12 ) resulta :

ABC = DBA = DAC = DBA + DAC =     ABC         

 BC²     AB²      AC²   AB² + AC²      AB² + AC²

Per tant tenim :

AB² + AC² = BC²

Com veiem aquestes demostracions del teorema de Pitàgores mantenen la seva total vigencia en els llibres de text de matemàtiques elementals.

Pitàgores i els pitagòrics van buscar àvidament el camí per obtenir exemples de números a, b, c que cumplisim a² + b² = c², i van trobar una llei de formació que es pot expressar en la forma :

a = m ( m imparell )

b =  1 ( m² – 1 )

       2

c = 1 ( m² + 1 )

      2

que permet obtenir les anomenades ternes pitagòriques, que resulten ser ternes en les que la hipotenusa i el catet major es diferencien en una unitat. A més, per a m = 3 resulta el triangle egipci, mentres que per m= 5 resulta l’origen del triangle indi.

Aquest apartat té una gran finalitat, que és demostrar el teorema de Pitàgores de dues formes diferents, però com ben sabem aquest teorema, és segurament el més gran de totes les matemàtiques. Si la grandessa es mesurés pel número de demostracions diferents de les quals pot presumir un teorema, llavors l’obra mestra de Pitàgores guanya amb diferència, doncs existeixen literalment centenars d’argumentacions que estableixen la seva validessa.

Certament, algunes proves geomètriques, algebràiques són petites variants d’unes altres i en conjunt tendeixen a confundir més que a il·luminar, però la seva existencia deixa un punt ben clar : aquest teorema ha tingut ocupats als matemàtics des de l’època clàssica fins al present.

Presentació     Introducció     Tales     Pitàgores     Euclides     Arquímedes     Altres