Arquímedes va escriure un gran nombre de tractats, però el que més va sorpdendre als seus successors va ser el de Sobre els espirals. Arquímedes ara parla d'un altre, Sobre l'esfera i el cilindre. Va demanar que es tallara sobre la seva tomba un representació d'una esfera inscrita en un cilindre circular recte d'altura igual al diàmetre de l'esfera, ja que la va descubrir i la va demostrar, que la raò dels volums del cilindre a l'esfera es la mateixa que la raò de les seves àrees, és a dir la de tres a dos.

El primer que Arquímedes va descubrir i va demostrar va ser que l'àrea de l'esfera ès exactament es igual a quatre vegades l'àrea d'un cercle màxim de dita esfera. Arquímedes va demostrar també que la superfície d'un segment esfèric qualsevol ès igual a un cercle on el seu radi es el segment tallat desde el vèrtex del segment esfèric fins a un punt qualsevol de la circumferència (base del segment). L'àrea del segment no depén de manera directa de la distància del centre de l'esfera sino únicament de l'altura o grosor del segment.

Si s'escriu un polígon en un segment de cercle LAL, de manera que tots els seus costats menys la base siguin iguals i el nombre d'aquests costats, igual que LK...A...K' L', segueix sent A el punt mig o vèrtex del segment , i si tracem les corresponents, llavors (BB+CC..+LM):AM=A'B: BA, on M es el punt mig de LL' i AA' es el diàmetre que pasa per M:

Aixo ve de ser equivalent geomètric de l'equació trigonomètrica:

A partir d'aquest teorema es fàcil obtenir l'expressió moderna:

multiplicant tots els mebres de l'equació anterior per o/n i agafant límits quan n es infinit.Així el membre de l'esquerra es converteix en:

On:

Per tant el membre de la dreta es converteix llavors en:

El equivalent del cas especial:

Una esfera qualsevol ès igual a quatre vegades el con que te com base un cercle màxim de l'esfera i altura igual al radi de l'esfera.

Aquest teorema es demostra per mitjà del mètode d'exhaució usual. El diagrama que representa a l'esfera inscrita en un cilindre es va grabar efectivament sobre la tomba d'Arquímedes.

Presentació     Introducció     Tales     Pitàgores     Euclides     Arquímedes     Altres