Arquímedes no va poder trobar l'àrea d'un segment general de elipse o d'hipèrbol·la. En el seu treball sobre conoides i esferoides, calcula l'àrea de la elipse completa:

Les àrees de les elipses sòn entre si mateixes com el rectangles construits sobre els seus eixos, això es el mateix que dir que l'àrea de la elipse:

o bé pot ser que l'àrea ès igual a l'àrea d'un cercle on el seu radi sigui la mitjana dels dos semieixos de la elipse. Arquímedes demostra com en aquest mateix tractat com calcular els volums dels segments que s'obtenen al tallar un elipsoide, parabol·loide o hiperbol·loide.

El mètode d'Arquímedes, ès ABC un segment recte de parabol·loide de revolució d'eix CD:

Diem que el cilindre circular ABFE circunscrit al sòlid, on l'eix es també CD. Es divideix aquest eix n en parts iguals de longitud h i tracem pels punts de divisió plans paral·lels a la base. Construïm sobre els cercles en que aquests plans tallen al parabol·loide cilindres escrits i circunscrits tal com indica la figura. ês fàcil demostrar llavors utilitzan l'equació de la parabol·la i la suma d'una progressió aritmètica, que es verifiquen les següents proporcions i desiguals :

Arquímedes va demostrar que la diferència entre els volums dels sòlids circunscrits i inscrits era igual al volum de la rodanxa dels cilindres cricunscrits.

Presentació     Introducció     Tales     Pitàgores     Euclides     Arquímedes     Altres