Cap a l’any 225 a.C, Arquímedes va escriure un tractat breu "La mesura d'un cercle".

Els geomètrics d’aquell temps sabien que la raò de la circumferencia d’un cercle al seu diàmetre es constant, i els matemàtics d’ara ho defineixen amb el número PI.

Per tant la fòrmula era:

Aquesta no ès llavors la definició de la constant , la circumferencia d’un cercle i el seu diàmetre. Com que dos àrees circulars sòn l’una respecte l’altre com els quadrats dels seus diàmteres, i per tant la raó de l’àrea del cercle al cuadrat del seu diàmetre es una constant. Aquesta constant era K i que:

A continuació va donar el resultat del perimetre d'un polígon regular on el centre=A, el perímetre=Q i l'apotema= h. per tant tenim el polígon de la figura 2 que te n costats cada costat amb una longitud B, es tracen rectes desde O fins als vertexs, llabors el polígon queda dividit en triangles, on cadascun d'aquests amb base b i altura l'apotema= h, llavors l'àrea del poligon serà:

Llavors Arquímedes va deduir que contra més vertexs tingui el polígon més s'aproximaria a l'àrea del cercle.

Segons un raonament d'Arquímedes "reductio ad absurdum" va aconseguir una proposició per calcularl'àrea del cercle.

Va demostrar que l'àrea del qualsevol cercle es igual a la d'un triangle rectangle en que un dels costats de l'angle recte es igual al radi i l'altura a la circumferencia del cercle. A la figura següent es veu que 0 es el centre, r el radi i C es la longitud de la circumferencia. A la figura del  costat hi ha un triangle rectangle de base igual a la longitud C i altura r, i l'àrea del triangle es T i l'àre del cercle ès A:

T=(1/2)rC.

Es tracta de demostrar que A=T.

Veurem que:  A no pot ser  > T

                     A no pot ser < T

I, com a conseqüencia, A = T

Primer cas A no pot ser  > T:

Ho farem pel mètode de reducció a l'absurd.

Suposem  A > T ,   llavors l'àrea del cercle es major a la del triangle, Arquímedes va fer A-T, per tant això era igual:

A-àrea del polígo < A-T.

si pasem A a l'altre costat tindrem:

T < àrea del polígon.

Aquest és un polígon que és inscrit, per tant el seu perímetre Q es menor que la circumferencia del cercle C i la seva apotema h es inferior al radi r del cercle.

Tenim:

àrea del polígon inscrit =

D'aquesta manera va deduir que:

àrea del polígon inscrit < T.

T < àrea del polígon inscrit.

llavors arribem a una contradicció. Per tant no es pot complir A > T , l'àrea del cercle no pot ser major a la del triangle.

Segon cas A no pot ser  <  T:

Ho farem també pel mètode de reducció a l'absurd.

Suposem que A < T llavors l'àrea del cercle es menor que la del triangle (T-A) era més gran el triangle que el cercle, sabem que:

àrea del polígon circunscrit - A < T-A

Això es igual a:

àrea del polígon circunscrit < T

Però l'apotema d'aquest es igual al radi del cercle mentres que el perímetre del polígon es més gran que la circumferencia del cercle.

Per tant:

àrea del polígon circumscrit ès:

I això també es una contradicció.

Per tant no es pot complir A < T , l'àrea del cercle no pot ser menor a la del triangle.

Resumint:

         A no pot ser  > T

         A no pot ser < T

         I, com a conseqüencia, A = T

I aquí acaba la demostració

Arquímedes va deduir que:

Si un cercle te te un àrea A1 i un diàmetre D1 i un segon cercle te un àrea A2 i un diàmetre D2, llavors Arquímedes va demostrar que:

Posem que Pi es una constant, ell abans havia deduit que cada costat d'un hexàgon era igual al radi del cercle, per tant:

PI = Circumferencia del cercle/ Diàmetre del cercle > Perímetre de l'hexàgon/Diàmetre del cercle=

Llavors va duplicar el número dels costats del polígon i axí obté un dodecàgon,llavors el perímetre del nou polígon requeria que es fesi l'arrel quadrada de tres:

Llavors Arquímedes va seguir dividint aquest polígon fins arribar a un de 96 costats, on el seu càlcul va ser:

PI=Circumferencia del cercle/Diametre del cercle > perímetre del polígon de 96 costats/diametre del cercle >

Aixi Arquímedes va trobar la mida del cercle on els polígons circumscrits de 12, 24, 48 i 96 va conduir al límit superior de

.

Presentació     Introducció     Tales     Pitàgores     Euclides     Arquímedes     Altres